1、考研数学三（多元函数微分学）-试卷 1 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则 （分数：2.00）A.f 2 “ +xf 11 “ +(x+z)f 12 “ +xzf 22 “B.xf 12 “ +xzf 22 “C.f 2 “ +x 12 “ +xzf 22 “D.xzf 22 “3.函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )可偏导是函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )连续的( )（分数：
2、2.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件4.设可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极小值，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数为零B.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数大于零C.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数小于零D.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数不存在二、填空题(总题数：10，分数：20.00)5.设 z=f(x 2 +y 2 +z 2 ，xyz)且 f 一阶连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 y=y(x，z)是由方程 e x+y+z =x 2 +y
3、 2 +z 2 确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 z=f(x，y)是由 e 2yz +x+y 2 +z= 确定的函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 y=y(x)由 x 一 1 x+y e 一 t2 dt=0 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 z=z(x，y)由 z+e 2 =xy 2 确定，则 dz= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设 z=f(x+y，y+z，z+x)，其中 f 连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 z=xy+ ，其中 f 可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.由方程 xyz+ （分数
4、：2.00）填空项 1:_13.设 f(x，y，z)=e x yz 2 ，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则 f“ x (0，1，一 1)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(x，y)可微，且 f“ 1 (一 1，3)=一 2，f“ 2 (一 1，3)=1，令 z=f(2x 一 y， （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.设 z=z(x，y)由 z 一 yz+ye z 一 x 一 y =0 确定，求 （分数：2.00）_17.设
5、z=fx 一 y+g(x 一 y 一 z)，其中 f，g 可微，求 （分数：2.00）_18.设 u=f(z)，其中 z 是由 z=y+x(z)确定的 x，y 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函数证明：（分数：2.00）_19.设 xy=xf(z)+yg(z)，且 zf“(z)+yg“(z)0，其中 z=z(x，y)是 xy 的函数证明： （分数：2.00）_20.设 z=f(x，y)由方程 z 一 y 一 z+xe z 一 y 一 z =0 确定，求 dz（分数：2.00）_21.设 u=f(x，y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程 e xy 一 y=0 与 e
6、 z 一 xz=0 确定，求 （分数：2.00）_22.设 y=y(x)，z=z(x)是由方程 z=xf(z+y)和 F(x，y，z)=0 所确定的函数，其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_23.设 y=f(x，t)，其中是由 G(x，y，t)=0 确定的 x，y 的函数，且 f(x，t)，G(x，y，t)一阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_24.设 且 F 可微，证明： （分数：2.00）_25.设变换 可把方程 （分数：2.00）_26.设 z=x+(x 一 y)，y，其中 f 二阶连续可偏导， 二阶可导，求 （分数：2.00）_27.设 f
7、(x+y，x 一 y)=c 2 一 y 2 + ，求 f(u，)，并求 （分数：2.00）_28.求二元函数 f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny 的极值（分数：2.00）_29.试求 z=f(x，y)=x 3 +y 3 3xy 在矩形闭域 D=(x，y)|0x2，一 1y2)上的最大值与最小值（分数：2.00）_30.平面曲线 L: （分数：2.00）_31.设某工厂生产甲乙两种产品，产量分别为 x 件和 y 件，利润函数为 L(x，y)=6x 一 x 2 +16y 一 4y 2 2(万元)已知生产这两种产品时，每件产品都要消耗原料 2000kg，现有该原料 12000kg，问两
8、种产品各生产多少时总利润最大？最大利润是多少？（分数：2.00）_考研数学三（多元函数微分学）-试卷 1 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则 （分数：2.00）A.f 2 “ +xf 11 “ +(x+z)f 12 “ +xzf 22 “B.xf 12 “ +xzf 22 “C.f 2 “ +x 12 “ +xzf 22 “ D.xzf 22 “解析：解析： 3.函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，
9、y 0 )可偏导是函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )连续的( )（分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件 解析：解析：如 f(x，y)= 在点(0，0)处可偏导，但不连续；又如 f(x，y)=4.设可微函数 f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处取得极小值，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数为零 B.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数大于零C.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数小于零D.f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数不存在解析：解析：可微函数 f(x，y)在点(x 0
10、 ，y 0 )处取得极小值，则有 f“ x (x 0 ，y 0 )=0，f“ y (x 0 ，y 0 )=0， 于是 f(x 0 ，y)在 y=y 0 处导数为零，选(A)二、填空题(总题数：10，分数：20.00)5.设 z=f(x 2 +y 2 +z 2 ，xyz)且 f 一阶连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：6.设 y=y(x，z)是由方程 e x+y+z =x 2 +y 2 +z 2 确定的隐函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.设 z=f(x，y)是由 e 2yz +x+y 2 +z
11、= 确定的函数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.设 y=y(x)由 x 一 1 x+y e 一 t2 dt=0 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 一 1）解析：解析：当 x=0 时，y=1，x 一 1 x+y e 一 t2 dt=0 两遍求导得 9.设 z=z(x，y)由 z+e 2 =xy 2 确定，则 dz= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：z+e z =xy 2 两边求微分得 d(z+e z )=d(xy) 2 ，即 dz+e z dz=y 2 dx+2xydy
12、解得 10.设 z=f(x+y，y+z，z+x)，其中 f 连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：z=f(x+y，y+z，z+x)两边求偏导得11.设 z=xy+ ，其中 f 可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：z+xy）解析：解析：12.由方程 xyz+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：dx 一*）解析：解析： 把(1，0，一 1)，代入上式得 dz=dx 一13.设 f(x，y，z)=e x yz 2 ，其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则 f“ x (0
13、，1，一 1)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：f x (x，y，z)= ，x+y+z+xyz=0 两边对 x 求偏导得 ，将 x=0，y=1，z=一 1代入得 14.设 f(x，y)可微，且 f“ 1 (一 1，3)=一 2，f“ 2 (一 1，3)=1，令 z=f(2x 一 y， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 7dx+3dy）解析：解析： 三、解答题(总题数：17，分数：34.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.设 z=z(x，y)由 z 一 yz+ye z 一
14、 x 一 y =0 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程 x 一 yz+ye z 一 x 一 y =0 两边对 x 求偏导得 方程 x 一 yz+ye z 一 x 一 y =0两边对 y 求偏导得 )解析：17.设 z=fx 一 y+g(x 一 y 一 z)，其中 f，g 可微，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：等式 z=f(x 一 y+g(x 一 y 一 z)两边对 x 求偏导得 等式 z=f(x 一 y+g(x 一 y一 z)两边对 y 求偏导得 )解析：18.设 u=f(z)，其中 z 是由 z=y+x(z)确定的 x，y 的函数，其中 f(z)与 (z)
15、为可微函数证明：（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 xy=xf(z)+yg(z)，且 zf“(z)+yg“(z)0，其中 z=z(x，y)是 xy 的函数证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：xy=xf(z)+yg(z)两边分别对 x，y 求偏导，得 )解析：20.设 z=f(x，y)由方程 z 一 y 一 z+xe z 一 y 一 z =0 确定，求 dz（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 z 一 y 一 x+xe z 一 y 一 x =0 两边求微分，得 dz 一 dy 一 dx+e z 一 y 一 x dx+xe z 一y 一 x (dz
16、一 dy 一 dx)=0， 解得 )解析：21.设 u=f(x，y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程 e xy 一 y=0 与 e z 一 xz=0 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 方程 e xy 一 y=0 两边对 x 求导得 方程 e z 一 xz=0 两边对 x 求导得 )解析：22.设 y=y(x)，z=z(x)是由方程 z=xf(z+y)和 F(x，y，z)=0 所确定的函数，其中 f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：z=xf(x+y)及 F(x，y，z)=0 两边对 x 求导数
17、，得 )解析：23.设 y=f(x，t)，其中是由 G(x，y，t)=0 确定的 x，y 的函数，且 f(x，t)，G(x，y，t)一阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 y=f(x，t)与 G(x，y，t)=0 两边对 x 求导得 解得 )解析：24.设 且 F 可微，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 两边对 x 求偏导得 两边对 y 求偏导得 )解析：25.设变换 可把方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 u， 作为中间变量，则函数关系为 z=f(u，)， 则有 将上述式子代入方程 根据题意得 )解析：26.设 z=x+(x 一 y
18、)，y，其中 f 二阶连续可偏导， 二阶可导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：z=fx+(x 一 y)，y两边对 y 求偏导得 =一 f“ 1 “+f“ 2 ， )解析：27.设 f(x+y，x 一 y)=c 2 一 y 2 + ，求 f(u，)，并求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ，从而 f(u，)=u+ 于是 )解析：28.求二元函数 f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny 的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二元函数 f(x，y)的定义域为 D=(x，y|y0， 因为 AC 一 B 2 0 且A0，所以 为 f(x，y)的极小点，极小值
19、为 )解析：29.试求 z=f(x，y)=x 3 +y 3 3xy 在矩形闭域 D=(x，y)|0x2，一 1y2)上的最大值与最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当(x，y)在区域 D 内时， 在 L 1 :y=一 1(0x2)上，z=z 3 +3x 一 1， 因为 z“=3x 2 +30，所以最小值为 z(0)=一 1，最大值为 z(2)=13； 在 L 2 :y=2(0x2)上，z=x 3 6x+8， 由 z“=3x 2 一 6=0 得 x= ，z(0)=8，2( )=8 ，z(2)=4； 在 L 3 ：x=0(一1y2)上，z=y 3 ， 由 z“=3y 2 =0 得 y=
20、0，z(一 1)=一 1，z(0)=0，z(2)=8； 在 L 4 ：x=2(一1y2)上，z=y 3 6y+8， 由 z“=3y2 一 6=0 得 y= ，z(一 1)=13，z( )=8 一 4 )解析：30.平面曲线 L: （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 绕 x 轴旋转一周所得的曲面为 根据对称性，设内接长方体在第一卦限的顶点坐标为 M(x，y，z)，则体积为 V=8xyz 令 由 由实际问题的特性及点的唯一性，当 时，内接长方体体积最大，最大体积为 )解析：31.设某工厂生产甲乙两种产品，产量分别为 x 件和 y 件，利润函数为 L(x，y)=6x 一 x 2 +16y 一 4y 2 2(万元)已知生产这两种产品时，每件产品都要消耗原料 2000kg，现有该原料 12000kg，问两种产品各生产多少时总利润最大？最大利润是多少？（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意，即求函数 L(x，y)=6x 一 x 2 +16y4y 2 2 在 0x+y6 下的最大值 L(x，y)的唯一驻点为(3，2)， 令 F(x，y，)=6x 一 x 2 +16y4y 2 一 2+(x+y 一 6)， 由 )解析：
