1、第12章 多元函数微分学的MATLAB求解,编者,Outline,12.1 多元函数的基本概念 12.2 偏导数 12.3 全微分 12.4 多元函数微分学的几何应用 12.5 方向导数与梯度 12.6 多元函数的极值 12.7 多元函数的泰勒公式 12.8 最小二乘法及其MATLAB实现,12.1 多元函数的基本概念,1.平面点集与n元空间坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合，称为平面点集，记作我们用 表示 n 元有序实数组 的全体所构成的集合，为了在集合 中的元素之间建立联系，在 中定义线性运算如下：设 为 中任意两个元素， ，规定这样定义了线性运算的集合 称为 n 维空间。 2.多元函
2、数的定义 设 D 是 的一个非空子集,称映射 为定义在 D 上的二元函数，通常记为，或 其中点集 D 称为该函数的定义域，x，y 称为自变量，z 称为因变量。 一般地，将上述定义中的平面点集 D 换成 n 维空间 内的点集 D ，映射 就称为定义在 D 上的 n 元函数，通常记为或简记为,3.多元函数的极限 设二元函数 在点 的某邻域内有定义（ 可以除外），如果对于任意给定的正数 ，总存在一个正数 ，使当 时，恒有 成立，则称当 时，函数 以常数 A 为极限，记作或 为了区别于一元函数的极限，我们将二元函数的极限叫做二重极限。4.多元函数的连续性 设二元函数 满足以下条件：在点 的某邻域内有定
3、义；极限 存在；则称函数 在点 连续。如果函数 在其定义域 D 的每一点都连续，那么就成函数 在 D 上连续，或者称 是 D 上的连续函数。二元连续函数在图形上表现为一个无空隙、无裂缝的曲面。与闭区间上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上连续的多元函数具有如下性质。 有界性与最大最小值定理 在有界闭区域 上的多元连续函数，必定在 上有界，且能取得它的最大值和最小值。 介值定理 在有界闭区域 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。,12.2 偏导数,1.偏导数的定义 设函数 在点 的某一领域内有定义，当 固定在 而 在 处有增量 时，相应的函数有增量如果 存在，则称此极限为函
4、数 在点 处对 x 的偏导数，记作或 2.偏导数的几何意义 以二元函数 为例，其在点 的偏导数有下属几何意义。设 为曲面 上的一点，过 作平面 ，截此曲面得一曲线，此曲线在平面 上的方程为 ，则导数 ，即偏导数 ，就是这曲线在点 处的切线 对 x 轴的斜率 如图所示。图 偏导数的几何意义,3.偏导数的MATLAB符号求解 在MATLAB中，求解多元函数的偏导数仍然采用diff函数。例：设 ，求 及 。如果函数 的两个二阶混合偏导数 在区域 内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。4. 隐函数的偏导数 设函数 在点 的某一邻域内具有连续偏导数，且 ， 则方程 在点 的某一领域内能唯一确
5、定一个连续且具有连续偏导数的函数 ，它满足条件 ，并且类似地，扩展到 n 元隐函数 ，则可以通过隐函数求出自变量之间的偏导数。具体可以用下面的公式求出 ：,12.3 全微分,1. 全微分的定义 设函数 在点 的某邻域内有定义，如果函数在点 , 的全增量 可表示为 其中 不依赖于 而仅与 有关， ，则称函数 在点 可微分，而 称为函数 在点 的全微分，记作 ，即 如果函数 在区域 内各点处都可微，那么称这函数在 内可微分。下面讨论函数 ， 在点 可微分的必要条件和充分条件。 必要条件 如果函数 在点 可微分，则该函数在点 的偏导数 必存在，且函数 在点 的全微分为充分条件 如果函数 的偏导数 在
6、点 连续，则函数在该点可微分。 2.全微分的应用 由二元函数的全微分的定义及关于全微分存在的充分条件可知，当二元函数 在点 的两个偏导数 连续，并且 都较小时，就有近似等式上式也可以写成,12.4 全微分,1.空间曲线的切线与法平面 设空间曲线 的参数方程为 这里假定上述方程的三个函数都在 上可导，且三个导数不同时 为零。现在要求曲线 在其上一点 处的切线及法平面方程。 设与点 对应的参数为 ，记 ，则向量就是曲线 在点 处的一个切向量，从而曲线 在点 ， 处的切线方程为 通过点 且与切线垂直的平面称为曲线 在点 的法平面，它是通过点 且以 为法向量的平面，因此法平面方程为2.曲面的切平面与法
7、线 我们先讨论由隐式给出曲面方程 的情形。设曲面 由上述隐式方程给出， 是该曲面 上的一点，并设函数 的偏导数在该点连续且不同时为零。在该曲面 上，通过点 M任意引一条曲线 。曲线上通过点 M 的一切曲线在点 M 的切线都在同一个平面上，这个平面称为曲面 在点 M 的切平面。通过点 M 且垂直于上述切平面的直线称为曲面在该点的法线。 切平面方程：法线方程 ：,12.5 方向导数与梯度,1.方向导数 设 是 平面上以 为始点的一条射线， 是与 同方向的单位向量，射线 的参数方程为 设函数 在点 的某个邻域 内有定义， 为 上另一点，且 P 在该邻域内。如果函数增量 ： 与 P 到 的距离 的比值
8、当 P 沿着 趋向于 时极限存在，则称此极限为函数 在点 沿方向 的方向导数，记作 则：2.梯度 与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度，在二元函数的情形，设函数 ： 在平面区域 D 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 ，都可定义出一个向量 这向量称为函数 在点 的梯度 记作 或 即,12.6 多元函数的极值,1.多元函数的极值及其求法 设函数 的定义域为 D ， 为 D内一点，若存在 的某个邻域 ，使得对于该邻域内异于 的任何点 ，都有 则称函数 在点 有极大（小）值 ，点 称为函数 的极大（小）值点。极大值、极小值统称为极值，使得函数取得极值的点称为极值点。 具有二阶连续偏导数的函数 的极
9、值的求法： 第一步 解方程 求得一切实数解，即求得一切驻点； 第二步 对于每一个驻点 ，求出二阶偏导数的值 ； 第三步 定出 的符号，按照函数取得极值的充分条件判定 是不是极值，是极大值还是极小值。 2.条件极值 对于对自变量有附加条件的极值称为条件极值。对于有些条件极值，我们可以通过代入手段将其化为无条件极值，但很大一部分是不能转化的，此时我们可以采用拉格朗日乘数法求解。 要找函数 在附加条件 下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数其中 为参数，求其对 的一阶偏导数，并使之为零，然后与 联立起来： 由该方程组解出 及 ，这样得到的 就是函数 在附加条件 的可能极值点,12.7 多元函数的泰勒公式,设 在点 的某一邻域内连续且有直到 阶的连续偏导数， 为该邻域内任一点, 则有其中记号 表示 表示上述公式称为二元函数 在点 处的二元 阶泰勒公式。,12.8 最小二乘法及其MATLAB实现,设有一系列实验数据 及各点的权系数 （可以是实验的次数或 的可信程度），要求在函数类 中求函数满足式中 为 中任意函数，称这种函数近似表达式的方法为数据（曲线）的最小二乘拟合，称 为最小二乘解。,谢谢大家！,
