1、 1 高中数学椭圆的知识总结 1.椭圆 的定义 ： 平面内一个动点 P 到两个定点12,FF的距离之和等于常数（1 2 1 22P F P F a F F ），这个动点 P 的轨迹叫做椭圆 .这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距 . 注意： 若1 2 1 2P F P F F F，则动点 P 的轨迹为线段12FF；若1 2 1 2P F P F F F，则动点 P 的轨迹无图形 . （ 1） 椭圆 ： 焦点在 x 轴上时 12222 byax（ 2 2 2a b c） cossinxayb（参数方程，其中 为参数），焦点在 y 轴上时2222bxay 1（ 0ab ） 。 2.
2、 椭圆 的几何性质 ： （ 1） 椭圆 （以 12222 byax（ 0ab ）为例）： 范围： ,a x a b y b ；焦点：两个焦点 ( ,0)c ； 对称性： 两条对称轴 0, 0xy，一个对称中心（ 0,0）， 四个顶点( , 0 ), (0, )ab，其中长轴长为 2a ，短 轴长为 2b ； 离心率： ce a ，椭圆 01e， e越小，椭圆越圆； e 越大，椭圆越扁。 （ 2） .点与 椭圆 的位置关系 ：点00( , )P x y在椭圆外 22001xyab； 点00( , )P x y在椭圆上 220220byax 1；点00( , )P x y在椭圆内 22001xya
3、b3 直线与圆锥曲线的位置关系 ： （ 1）相交： 0 直线与椭圆相交；（ 2）相切： 0 直线与椭圆相切； （ 3）相离： 0 直线与椭圆相离； 如 :直线 y kx 1=0 与椭圆 2215xym恒有公共点，则 m 的取值范围是 _； 4.焦点三角形 （椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形） 5.弦长公式 ：若直线 y kx b与圆锥曲线相交于两点 A、 B，且12,xx分别为 A、 B 的横坐标，则 AB 2121 k x x，若12,yy分别为 A、 B 的纵坐标，则 AB 21211 yyk ，若弦AB 所在直线方程设为 x ky b，则 AB 2121 k y y。 6.圆锥曲线的中
4、点弦问题： 遇到 中点弦 问题常用 “韦达定理”或“点差法” 求解。在 椭圆12222 byax 中，以 00( , )P x y 为中点的弦所在直线的斜率 k=0202ya xb ； 如（ 1） 如果椭圆 22136 9xy弦被点 A（ 4， 2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ； （ 2） 已知直线 y= x+1 与椭圆 22 1 ( 0 )xy abab 相交于 A、 B 两点，且线段 AB 的中点在直线 L： x 2y=0 上，则此椭圆的离心率为 _； （ 3） 试确定 m 的取值范围，使得椭圆 13422 yx 上有不同的两点关于直线 mxy 4 对称 ； 特别提醒 ：因为 0 是
5、直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件， 故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验 0 ！ 椭圆知识点 的应用 1.如何确定椭圆的标准方程？ 任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。 确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件 ba, ；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。 2.椭圆标准方程中的三个量 cba , 的几何 意义 椭圆标准方程中， cba , 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数
6、，且三个量的大小关系为：)0( ba ， )0( ca ，且 )( 222 cba 。 可借助右图理解记忆： cba , 恰构成一个直角三角形的三条边，其中 a是斜边， b、 c为两条直角边。 3如何由椭圆标准方程判断焦点位置 椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看 2x ， 2y 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。 4方程 均不为零）CBACByAx ,(22 是 表示椭圆的条件 方程 CByAx 22 可化为 122 CByCAx，即122BCByACx ，所以只有 A、 B、 C同号，且 A B时，方程表示椭圆。当BCAC时，椭圆的焦点在 x 轴上
7、；当BCAC时，椭圆的焦点在 y轴上。 5求椭圆标准方程的常用方法： 待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数 cba , 的值。其主要步骤是“先定型，再定量”； 定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。 6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异 2 共 焦 点 ， 则 c 相 同 。 与 椭 圆 12222 byax )0( ba共 焦 点 的 椭 圆 方 程 可 设 为12 22 2 mb yma x )( 2bm ，此类问题常用待定系数法求解。 7 判断曲线关于 x 轴、 y 轴、原点对称的依据： 若 把
8、曲线方程中的 x 换成 x ，方程不变，则曲线关于 y 轴对称； 若把曲线方程中的 y 换成 y ，方程不变，则曲线关于 x 轴对称； 若把曲线方程中的 x 、 y 同时换成 x 、 y ，方程不变，则曲线关于原点对称。 8如何 求解 与焦点三角形 PF 1F2（ P为椭圆上的点）有关的计算问题？ 思路分析：与焦点三角形 PF 1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式2121 s in2121 PFFPFPFS FPF 相结合的方法进行计算解题。 将有关线段2121 FFPFPF 、，有关角 21PFF ( 21PFF 21BFF )结合起来，建立2
9、1 PFPF 、21 PFPF 之间的关系 . 9如何 计算 椭圆的扁圆程度与离心率的关系？ 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率 )10( eace，因为222 bac ， 0ca ，用 ba、 表示为 )10()(1 2 eabe 。 显然：当ab越小时， )10( ee 越大，椭圆形状越扁；当ab越大， )10( ee 越小，椭圆形状越趋近于圆。 题型 1:椭圆定义的运用 例 1.已知1,FF为椭圆 2212 5 9xy 的两个焦点，过 1F 的直线交椭圆于 A、 B 两点若2212F A F B，则 AB _. 例 2.如果方程 222x ky表示焦点在 x 轴的椭圆，那么实
10、数 k 的取值范围是 _. 例 3.已知 P 为椭圆 2212 5 1 6xy上的一点， ,MN分 别为圆 22( 3 ) 1xy 和圆22( 3 ) 4xy 上的点，则 PM PN 的最小值为 题型 2： 求椭圆的标准方程 例 1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程 . (1)经过两点 ( 3 , 2 ) , ( 2 3 , 1 )AB； (2)经过点 (2， 3)且与椭圆 229 4 3 6xy具有共同的焦点 ； (3)一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且 此焦点与长轴上较近的端点距离为 42 4. 题型 3:求椭圆的离心率 例 1、 ABC 中， 3 0 , 2 , 3 ,oABCA A
11、 B S V若以 ,AB为焦点的椭圆经过点 C ，则椭圆的离心率为 . 例 2、过椭圆的一个焦点2F作椭圆长轴的垂线交椭圆于 P，若 12FPF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 题型 4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等） 例 1.已知实数 ,xy满足 22142xy,则 22x y x的范围为 例 2.已知点 ,AB是椭圆 221xymn（ 0, 0mn）上两点 ,且 AO BOuuur uuur ,则 = 题型 5：焦点三角形问题 例 1.已知12,FF为椭圆 22194xy的两个焦点， p 为椭圆上的一点，已知12,P F F为一个直角三角形的三个顶点，且12PF PF,求 1
12、2PFPF的值 . 例 2.已知12,FF为椭圆 C: 22184xy的两个焦点，在 C 上满足12PF PF的点的个数为 . 例 3.已知椭圆的焦点是 )1,0(),1,0( 21 FF ,且 离心率 1e2 求椭圆的方程 ; 设点 P 在椭圆上 ,且 121 PFPF,求 cos 21PFF . 3 题型 6: 三角代换的应用 例 1.椭圆 22116 9xy上的点到直线 l: 90xy 的距离的最小值为 _ 例 2.椭圆 22116 9xy的内接矩形的面积的最大值为 题型 7：直线与椭圆的位置关系的判断 例 1.当 m 为何值时，直线 y x m 与椭圆 22116 9xy相交？相切？相
13、离？ 例 2.若直线 )(1 Rkkxy 与椭圆 1522 myx恒有公共点，求实数 m 的取值范围； 题型 8：弦长问题 例 1.求直线 24yx被椭圆 224 199xy所截得的弦长 . 例 2.已知椭圆 2 2 12x y的左右焦点分别为 F1,F2，若过点 P（ 0， -2）及 F1 的直线交椭圆于 A,B两点，求 ABF2 的面积； 题型 9：中点弦问题 例 1. 求以椭圆 22185xy内的点 A（ 2， -1）为中点的弦所在的直线方程。 例 2.中心在原点，一个焦点为1(0, 50)F的椭圆截直线 32yx 所得弦的中点横坐标为 12，求椭圆的方程 例 3.椭圆 221m x n
14、y与直线 1xy 相交于 A、 B两点， 点 C 是 AB的中点若 22AB ，OC的 斜率为 22（ O为原点），求椭圆的方程 巩固训练 1. 如图 ,椭圆中心在原点 ,F 是左焦点 ,直线1AB与 BF 交于 D,且 o1 =90BDB,则椭圆的离心率为 2.设12,FF为椭圆 2 2 14x y的两焦点， P 在椭圆上，当12FPF面积为 1 时， 12PF PFuuur uuur的值为 3.椭圆 22136 9xy的一条弦被 4,2A 平分 ,那么这条弦所在的直线方程是 4. 若12,FF为椭圆的两个焦点 ,P 为椭圆上一点 ,若1 2 2 1 1 2: : 1 : 2 : 3P F
15、F P F F F P F , 则此椭圆的离心率为 5.在平面直角坐标系中，椭圆 22 1 ( 0 )xy abab 的焦距为 2c，以 O 为圆心， a 为半径的圆，过点 2( ,0)ac作圆的两切线互相垂直，则离心率 e = 双曲线 基本知识点 双曲线 标准方程（焦点在 x 轴） )0,0(12222 babyax 标准方程（焦点在 y 轴） )0,0(12222 babxay 定义 定义：平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值是常数（小于12FF）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。 aMFMFM 221 212 FFa 范围 xa ， yR ya
16、， xR 对称轴 x 轴 ， y 轴；实轴长为 2a ,虚轴长为 2b 对称中心 原点 (0,0)O 焦点坐标 1( ,0)Fc 2( ,0)Fc 1(0, )Fc 2(0, )Fc xyP 1F2Fx y xyP 1F2Fxy4 焦点在实轴上， 22c a b；焦距：122F F c顶点坐标 （ a ,0） (a ,0) (0, a ,) (0， a ) 离心率 221 , ( 1 )cbeeaa 渐近线 方程 xaby ayxb 共渐近线的双曲线系方程 kbyax 2222 （ 0k ） kbxay 2222 （ 0k ） 直线和双曲线的位置 双曲线 12222 byax与直线 y kx
17、b的位置关系： 利用 22221xyaby kx b 转化为一元二次方程用判别式确定。 二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。 相交弦 AB的弦长 221 2 1 21 ( ) 4A B k x x x x 补充知识点： 等 轴双曲线的主要性质有： （ 1）半 实轴 长 =半虚轴长（一般而言是 a=b，但有些地区教材版本不同，不一定用的是 a,b这两个字母）； （ 2）其标准方程为 22x y C，其中 0C ； （ 3）离心率 2e ； （ 4） 渐近线 ：两条渐近线 y=x 互相垂直； 例题分析： 例 1、动点 P 与点1(05)F ，与点2(0 5)F ，满足126P F P F，则点
18、 P的轨迹方程为（ ） 2219 16xy 22116 9xy 22 1 ( 3 )1 6 9xy y 22 1 ( 3 )1 6 9xy y 同步练习一 :如果双曲线的渐近线方程为 34yx，则离心率为（ ） 53 54 53或 54 3 例 2、已知双曲线 2214xyk的离心率为 2e ，则 k 的范围为（ ） 12 1k 0k 50k 12 0k 同步练习二 :双曲线 221xyab的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 例 3、设 P 是双曲线 222 19xya 上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3 2 0xy， 12FF， 分别是双曲线的左、右焦点，若1 3PF，则2PF的值为
19、 同步练习三 :若双曲线的两个焦点分别为 (0 2) (0 2)， ， ， ，且经过点 (2 15)， ，则双曲线的标准方程为 。 例 4、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是 （ ） (A)x23-y2=1和 y29-x23=1 (B)x23-y2=1和 y2-x23=1 (C)y2-x23=1和 x2-y23=1 (D)x23-y2=1和92x -32y =1 同步练习四 :已知双曲线的中心在原点，两个焦点12FF，分别为 ( 50)， 和 ( 50) ， ，点 P 在双曲线上且12PF PF，且12PFF的面积为 1，则双曲线的方程为（ ） 22123xy 22132xy
20、22 14x y 22 14yx 例 5、与双曲线 116922 yx 有共同的渐近线，且经过点 A 32,3( 的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是（ ） （ A） 8 （ B） 4 （ C） 2 （ D） 1 5 同步练习五 :以 xy 3 为渐近线，一个焦点是 F（ 0， 2）的双曲线方程为 _. 例 6、下列方程中，以 x2y=0 为渐近线的双曲线方程是 (A) 12yx)D(1y2x)C(116y4x)B(14y16x22222222 同步练习六 :双曲线 8kx2-ky2=8 的一个焦点是 (0， 3)，那么 k的值是 例 7、 经过双曲线 22 13yx 的右焦点 F2作倾斜角
21、为 30 的弦 AB， （ 1）求 |AB|. （ 2） F1是双曲线的左焦点，求 F1AB的周长 同步练习七 过点（ 0， 3）的直线 l与双曲线 22143xy只有一个公共点，求直线 l的方程 。 高考真题分析 1.【 2012高考新课标文 10】等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线 xy 162 的准线交于 ,AB两点， 43AB ；则 C 的实轴长为（ ） ()A 2 ()B 22 ()C ()D 2.【 2012 高考山东文 11】已知双曲线1C： 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 的离心率为 2.若抛物线22 : 2 ( 0 )C x p y p
22、的焦点到双曲线 1C 的渐近线的距离为 2，则抛物线 2C 的方程为 (A) 2 833xy(B) 2 16 33xy(C) 2 8xy (D) 2 16xy 3.【 2012 高考全国文 10】已知1F、2F为双曲线 22:2C x y的左、右焦点，点 P 在 C 上，12| | 2 | |P F P F，则12co s F P F（ A） 14（ B） 35（ C） 34（ D） 454.（ 2011年高考湖南卷文科 6)设双曲线 222 1 ( 0 )9xy aa 的渐近线方程为 3 2 0,xy则 a 的值为（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 5.【 2012高考江苏 8】（ 5分
23、） 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 222 14xymm 的离心率为 5 ，则 m 的值为 抛物线 抛 物 线 )0(22ppxy )0(22ppxy )0(22ppyx )0(22ppyx 定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。 MFM =点 M到直线 l 的距离 范围 0,x y R 0,x y R ,0x R y ,0x R y 对称性 关于 x 轴对称 关于 y 轴对称 焦点 (2p ,0) ( 2p ,0) (0,2p ) (0, 2p ) 焦点在对称轴上 顶点 (0,0)O 离心率
24、 e =1 准线 方程 2px 2px 2py 2py 准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 顶点到准线的距离 2p x y O l F x y O l F l F x y O x y O l F 6 焦点到准线的距离 p 焦半径 11( , )A x y1 2pAF x 1 2pA F x 1 2pAF y 1 2pA F y 焦 点弦 长 AB 12()x x p 12()x x p 12()y y p 12()y y p 焦点弦AB 的几条性质11( , )A x y22( , )B x y以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切 若 AB 的倾斜角为 ，则22sin pAB 若 A
25、B 的倾斜角为 ，则22cospAB 212 4pxx 212y y p 1 1 2A F B F A BA F B F A F B F A F B F p 切线 方程 00()y y p x x 00()y y p x x 00()x x p y y 00()x x p y y 1、 直线与抛物线的位置关系 直线 :l y kx b，抛物线 2:2C y px ， 由 2 2y kx by px，消 y 得：（ 1）当 k=0 时，直线 l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （ 2）当 k 0时， 0，直线 l 与抛物线相交，两个不同交点； =0， 直线 l 与抛物线相切，一个切点； 0，
26、直线 l 与抛物线相离，无公共点。 （ 3） 若 直线与抛物线只有一个公共点 ,则直线与抛物线必相切吗 ?（不一定） 1、 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线 l ： bkxy 抛物线 2:2C y px ， ( 0)p 联立方程法： pxybkxy22 0)(2 222 bxpkbxk 设交点坐标为 ),( 11 yxA , ),( 22 yxB ，则有 0 ,以及 2121 , xxxx ，还可进一步求出bxxkbkxbkxyy 2)( 212121 ，2212122121 )()( bxxkbxxkbkxbkxyy 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 (1
27、)相交弦 AB 的弦长 212212212 4)(11 xxxxkxxkAB ak 21或 212212212 4)(1111 yyyykyykAB ak 21（ 2） . 中点 ),(00 yxM, 2 210 xxx ， 2 210 yyy 点差法： 设交点坐标为 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ，代入抛物线方程，得 121 2 pxy 222 2 pxy 将两式相减，可得 )(2)( 212121 xxpyyyy 212121 2 yy pxx yy （ 1） 在涉及斜率问题时，212 yy pkAB （ 2 ） 在 涉 及 中 点 轨 迹 问 题 时 ， 设 线 段 AB 的中点为 ),(00yxM，00212121 222 ypypyy pxx yy ，即0ypkAB ， 同理，对于抛物线 )0(22 ppyx ，若直线 l 与抛物线相交于 BA、 两点，点 ),(00 yxM是弦 AB 的中点，则有pxpxp xxk AB 0021 222 （注意能用这个公式的条件： 1）直线与抛物线有两个不同的交点， 2）直线的斜率存在，且不等于零） o x 22,B x y F y 11,A x y
