1、 - 1 - 2016 年中考数学冲刺复习资料 :二次函数压轴题 面积类 1如图,已知抛物线经过点 A( 1, 0)、 B( 3, 0)、 C( 0, 3)三点 ( 1)求抛物线的解析式 ( 2)点 M 是线段 BC 上的点(不与 B, C 重合),过 M 作 MN y 轴交抛物线于 N,若点 M的横坐标为 m,请用 m 的代数式表示 MN 的长 ( 3)在( 2)的条件下,连接 NB、 NC,是否存在 m,使 BNC 的面积最大?若存在,求 m的值;若不存在,说明理由 考点:二次函数综合题 专题: 压轴题;数形结合 分析: ( 1)已知了抛物线上的三个点的坐标,直接利用待定系数法即可求出抛物
2、线的解析式 ( 2)先利用待定系数法求出直 线 BC 的解析 式,已知点 M 的横坐标,代入直线 BC、抛物线的解析式中,可得到 M、 N 点的坐标, N、 M 纵坐标的差的绝对值即为 MN 的长 ( 3)设 MN 交 x 轴于 D,那么 BNC 的面积可表示为: S BNC=S MNC+S MNB=MN( OD+DB)=MNOB, MN 的表达式在( 2)中已求得, OB 的长易知,由此列出关于 S BNC、 m 的函数关系式,根据函数的性质即可判断出 BNC 是否具有最大 值 解答: 解:( 1)设抛物线的解析式为: y=a( x+1)( x 3),则: a( 0+1)( 0 3) =3,
3、 a= 1; 抛物线的解析式: y=( x+1)( x 3) = x2+2x+3 ( 2)设直线 BC 的解析式为: y=kx+b,则有: - 2 - , 解得 ; 故直线 BC 的解析式: y= x+3 已知点 M 的横坐标为 m, MN y,则 M( m, m+3)、 N( m, m2+2m+3); 故 MN= m2+2m+3( m+3) = m2+3m( 0 m 3) ( 3)如图; S BNC=S MNC+S MNB=MN( OD+DB) =MNOB, S BNC=( m2+3m) 3=( m) 2+ ( 0 m 3); 当 m=时, BNC 的面积最大,最大值为 2如图,抛物线 的图
4、象与 x 轴交于 A、 B 两点,与 y 轴交于 C点,已知 B 点坐标为( 4, 0) ( 1)求抛物线的解析式; ( 2)试探究 ABC 的外接圆的圆心位置,并求出圆心坐标; ( 3)若点 M 是线段 BC 下方的抛物线上一点,求 MBC 的面积的最大值,并求出此时 M点的坐标 考点:二次函数综合题 . 专题:压轴题;转化思想 分析:( 1)该函数解析式只有一个待定系数,只需将 B 点坐标代入解析式中即可 - 3 - ( 2)首先根据抛物线的解析式确定 A 点坐标,然后通过证明 ABC 是直角三角形来推导出直径 AB 和圆心的位置,由此确定圆心坐标 ( 3) MBC 的面积可由 S MBC
5、=BCh 表示,若要它的面积最大,需要使 h 取最大值,即点M 到直线 BC 的距离最大,若设一条平行于 BC 的直线,那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时,该交点就是点 M 解答: 解: ( 1)将 B( 4, 0)代入抛物线的解析式中,得: 0=16a 4 2,即: a=; 抛物线的解析式为: y=x2 x 2 ( 2)由( 1)的函数解析式可求得: A( 1, 0)、 C( 0, 2); OA=1, OC=2, OB=4, 即: OC2=OAOB,又: OC AB, OAC OCB,得: OCA= OBC; ACB= OCA+ OCB= OBC+ OCB=90, ABC 为直角三角形,
6、 AB 为 ABC 外接圆的直径; 所以该外接圆的圆心为 AB 的中点,且坐标为:(, 0) ( 3)已求得: B( 4, 0)、 C( 0, 2),可得直线 BC 的解析式为: y=x 2; 设直线 l BC,则该直线的解析式可表示为: y=x+b,当直线 l 与抛物线只有一个交点时,可列方程: x+b=x2 x 2,即: x2 2x 2 b=0,且 =0; 4 4( 2 b) =0,即 b= 4; 直线 l: y=x 4 所以点 M 即直线 l 和抛物线的唯一交点,有: ,解得: 即 M( 2, 3) 过 M 点作 MN x 轴于 N, S BMC=S 梯形 OCMN+S MNB S OC
7、B=2( 2+3) +23 24=4 - 4 - 平行四边形类 3如图, 在 平面直角坐标 系中,抛物线 y=x2+mx+n 经过点 A( 3, 0)、 B( 0, 3),点 P是直线 AB 上的动点,过点 P 作 x 轴的垂线交抛物线于点 M,设点 P 的横坐标为 t ( 1)分别求出直线 AB 和这条抛物线的解析式 ( 2)若点 P 在第四象限,连接 AM、 BM,当线段 PM 最长时,求 ABM 的面积 ( 3)是否存在这样的点 P,使得以点 P、 M、 B、 O 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点 P 的横坐标;若不存在,请说明理由 考点:二次函数综合题;解一元二 次方程
8、因式 分解法;待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求二 次函数解析式;三角形的面积;平行四边形的判定 . 专题:压轴题;存在型 分析: ( 1)分别利用 待定系数法求 两函数的解析式:把 A( 3, 0) B( 0, 3)分别代入 y=x2+mx+n与 y=kx+b,得到关于 m、 n 的两个方程组,解方程组即可; ( 2)设点 P 的坐标是( t, t 3),则 M( t, t2 2t 3),用 P 点的纵坐标减去 M 的纵坐标得到 PM 的长,即 PM=( t 3)( t2 2t 3) = t2+3t,然后根据二次函数的最值得到 - 5 - 当 t= =时, PM 最长为 =,再利用三角
9、形的面积公式利用S ABM=S BPM+S APM计算即可; ( 3)由 PM OB,根据平行四边形的判定得到当 PM=OB 时,点 P、 M、 B、 O 为顶点的四边形为平行四边形,然后讨论:当 P 在第四象限: PM=OB=3, PM 最长时只有,所以不可能;当 P 在第一象限: PM=OB=3,( t2 2t 3)( t 3) =3;当 P 在第三象限: PM=OB=3,t2 3t=3,分别解一元二次方程即可得到满足条件的 t 的值 解答: 解:( 1)把 A( 3, 0) B( 0, 3)代入 y=x2+mx+n,得 解得 ,所以抛物线的解析式是 y=x2 2x 3 设直线 AB 的解
10、析式是 y=kx+b, 把 A( 3, 0) B( 0, 3)代入 y=kx+b,得 ,解得 , 所以直线 AB 的解析式是 y=x 3; ( 2)设点 P 的坐标是( t, t 3),则 M( t, t2 2t 3), 因为 p 在第四象限, 所以 PM=( t 3)( t2 2t 3) = t2+3t, 当 t= =时,二次函数的最大值,即 PM 最长值为 =, 则 S ABM=S BPM+S APM= = ( 3)存在,理由如下: PM OB, 当 PM=OB 时,点 P、 M、 B、 O 为顶点的四边形为平行四边形, 当 P 在第四象限: PM=OB=3, PM 最长时只有,所以不可
11、能有 PM=3 当 P 在第一象限: PM=OB=3,( t2 2t 3)( t 3) =3,解得 t1= , t2= (舍去),所以 P 点的横坐标是 ; 当 P 在第三象限: PM=OB=3, t2 3t=3,解得 t1= (舍去), t2= ,所以 P点的横坐标是 - 6 - 所以 P 点的横坐标是 或 4 如图,在平面 直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为 A( 0, 1), B( 2, 0), O( 0,0),将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90,得到 ABO ( 1)一抛物线经过点 A、 B、 B,求该抛物线的解析式; ( 2)设点 P 是在第一象 限内抛物线上 的一动点,是否
12、存在点 P,使四边形 PBAB 的面积是 ABO 面积 4 倍?若存在,请求出 P 的坐标;若不存在,请说明理由 ( 3)在( 2)的条件下,试指出四边形 PBAB 是哪种形状的四边形?并写出四边形 PBAB的两条性质 考点:二次函数综合题 . 专题:压轴题 分析: ( 1)利用旋转的性质得出 A( 1, 0), B( 0, 2),再利用待定系数法求二次函数解析式即可; ( 2)利用 S 四边形 PBAB=S BOA+S PBO+S POB,再假设四边形 PBAB 的面积是 ABO 面 积的 4倍,得出一元二次方程,得出 P 点坐标即可; - 7 - ( 3)利用 P 点坐标以及 B 点坐标即
13、可得出四边形 PBAB 为等腰梯形,利用等腰梯形性质得出答案即可 解答: 解:( 1) ABO 是由 ABO 绕原点 O 逆时针旋转 90得到的, 又 A( 0, 1), B( 2, 0), O( 0, 0), A( 1, 0), B( 0, 2) 方法一: 设抛物线的解析式为: y=ax2+bx+c( a0), 抛物线经过点 A、 B、 B, ,解得: , 满足条件的抛物线的解析式为 y= x2+x+2 方法二: A( 1, 0), B( 0, 2) , B( 2, 0), 设抛物线的解析式为: y=a( x+1)( x 2) 将 B( 0, 2)代入得出: 2=a( 0+1)( 0 2),
14、 解得: a= 1, 故满足条件的抛物线的解析式为 y=( x+1)( x 2) = x2+x+2; ( 2) P 为第一象限内抛物线上的一动点, 设 P( x, y),则 x 0, y 0, P 点坐标满足 y= x2+x+2 连接 PB, PO, PB, S 四边形 PBAB=S BOA+S PBO+S POB, =12+2x+2y, =x+( x2+x+2) +1, = x2+2x+3 AO=1, BO=2, ABO 面积为: 12=1, 假设四边形 PBAB 的面积是 ABO 面积的 4 倍,则 4= x2+2x+3, 即 x2 2x+1=0, 解得: x1=x2=1, 此时 y= 1
15、2+1+2=2,即 P( 1, 2) - 8 - 存在点 P( 1, 2),使四边形 PBAB 的面积是 ABO 面积的 4 倍 ( 3)四边形 PBAB 为等腰梯形,答案不唯一,下面性质中的任意 2 个均可 等腰梯形同一底上的两个内角相等; 等腰梯形对角线相等; 等腰梯形上底与下底平行; 等腰梯形两腰相等 ( 10 分) 或用符号表示: BAB= PBA或 ABP= BPB; PA=BB; BP AB; BA=PB( 10 分) 5如图,抛物线 y=x2 2x+c 的顶点 A 在直线 l: y=x 5 上 ( 1)求抛物线顶点 A 的坐标; ( 2)设抛物线与 y 轴交于点 B,与 x 轴交
16、于点 C、 D( C 点在 D 点的左侧),试判断 ABD的形状; ( 3)在直线 l 上是否存在一点 P,使以点 P、 A、 B、 D 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 考点:二次函数综合 题 . 专题:压轴题;分类讨论 分析: - 9 - ( 1)先根据抛物线的解析式得出其对称轴,由此得到顶点 A 的横坐标,然后代入直线 l 的解析式中即可求出点 A 的坐标 ( 2)由 A 点坐标可确定抛物线的解析式,进而可得到点 B 的坐标则 AB、 AD、 BD 三边的长可得,然后根据边长确定三角形的形状 ( 3)若以点 P、 A、 B、 D 为顶点的四边形是
17、平行四边形,应分 AB 为对角线、 AD 为对角线两种情况讨论,即 AD PB、 AB PD,然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出 P 点的坐标 解答: 解:( 1) 顶点 A 的横坐标为 x= =1,且顶点 A 在 y=x 5 上, 当 x=1 时, y=1 5= 4, A( 1, 4) ( 2) ABD 是直角三角形 将 A( 1, 4)代入 y=x2 2x+c,可得, 1 2+c= 4, c= 3, y=x2 2x 3, B( 0, 3) 当 y=0 时, x2 2x 3=0, x1= 1, x2=3 C( 1, 0), D( 3, 0), BD2=OB2+OD2=18, AB2
18、=( 4 3) 2+12=2, AD2=( 3 1) 2+42=20, BD2+AB2=AD2, ABD=90,即 ABD 是直角三角形 ( 3)存在 由题意知 :直线 y=x 5 交 y 轴于点 E( 0, 5),交 x 轴于点 F( 5, 0) OE=OF=5, 又 OB=OD=3 OEF 与 OBD 都是等腰直角三角形 BD l,即 PA BD 则构成平行四边形只能是 PADB 或 PABD,如图, 过点 P 作 y 轴的垂线,过点 A 作 x 轴的垂线交过 P 且平行于 x 轴的直线于点 G 设 P( x1, x1 5),则 G( 1, x1 5) 则 PG=|1 x1|, AG=|5
19、 x1 4|=|1 x1| - 10 - PA=BD=3 由勾股定理得: ( 1 x1) 2+( 1 x1) 2=18, x12 2x1 8=0, x1= 2 或 4 P( 2, 7)或 P( 4, 1), 存在点 P( 2, 7)或 P( 4, 1)使以点 A、 B、 D、 P 为顶点的四边形是平行四边形 周长类 6如图, Rt ABO 的两直角边 OA、 OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上, O 为坐标原点, A、 B 两点的坐标分别为( 3, 0)、( 0, 4),抛物线 y=x2+bx+c 经过点 B,且顶点在直线 x=上 ( 1)求抛物线对应的函数关系式; ( 2)若把
20、 ABO 沿 x 轴向 右平移得到 DCE,点 A、 B、 O 的对应点分别是 D、 C、 E,当四边形 ABCD 是菱形时,试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上, 并说明理由; ( 3)在( 2)的条件下,连接 BD,已知对称轴上存在一点 P 使得 PBD 的周长最小,求出P 点的坐标; ( 4)在( 2)、( 3)的 条件下,若点 M 是线段 OB 上的一个动点(点 M 与点 O、 B 不重合),过点 M 作 BD 交 x 轴于点 N,连接 PM、 PN,设 OM 的长为 t, PMN 的面积为 S,求 S和 t 的函数关系式,并写出自变量 t 的取值范围, S 是否存在最大值?若存在
21、,求出最大值和此时 M 点的坐标;若不存在,说明理由 - 11 - 考点:二次函数综合题 . 专题:压轴题 分析:( 1)根据抛物线 y= 经过点 B( 0, 4),以及顶点在直线 x=上,得出 b, c即可; ( 2)根据菱形的性质得出 C、 D 两点的坐标分别是( 5, 4)、( 2, 0),利用图象上点的性质得出 x=5 或 2 时, y 的值即可 ( 3)首先设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b,求出解析式,当 x=时,求出 y 即可; ( 4)利用 MN BD,得出 OMN OBD,进而得出 ,得到 ON= ,进而表示出 PMN 的面积,利用二次函数最值求出即可 解答: 解
22、:( 1) 抛物线 y= 经过点 B( 0, 4) c=4, 顶点在直线 x=上, = =, b= ; 所求函数关系式为 ; ( 2)在 Rt ABO 中, OA=3, OB=4, AB= , 四边形 ABCD 是菱形, BC=CD=DA=AB=5, C、 D 两点的坐标分别是( 5, 4)、( 2, 0), 当 x=5 时, y= , 当 x=2 时, y= , 点 C 和点 D 都在所求抛物线上; - 12 - ( 3)设 CD 与对称轴交于点 P,则 P 为所求的点, 设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b, 则 ,解得: , , 当 x=时, y= , P( ), ( 4) M
23、N BD, OMN OBD, 即 得 ON= , 设对称轴交 x 于点 F, 则 ( PF+OM) OF=( +t) , , S PNF=NFPF=( t) = , S= ( ), = ( 0 t 4), a= 0 抛物线开口向下, S 存在最大值 由 S PMN= t2+ t=( t ) 2+ , 当 t= 时, S 取最大值是 ,此时,点 M 的坐标为( 0, ) 等腰三角形类 7如图,点 A 在 x 轴上, OA=4,将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至 OB 的位置 - 13 - ( 1)求点 B 的坐标; ( 2)求经过点 A、 O、 B 的抛物线的解析式; ( 3)在此抛物
24、线的对称轴上,是否存在点 P,使得以点 P、 O、 B 为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点 P 的坐标;若不存在,说明理由 考点:二次函数综合题 . 专题:压轴题;分类讨论 分析: ( 1)首先根据 OA 的旋转条件确定 B 点位置,然后过 B 做 x 轴的垂线,通过构建直角三角形和 OB 的长(即 OA 长)确定 B 点的坐标 ( 2)已知 O、 A、 B 三点坐标,利用待定系数法求出抛物线的解析式 ( 3)根据( 2)的抛物线解 析式,可得到 抛物线的对称轴,然后先设出 P 点的坐标,而 O、B 坐标已知,可先表示出 OPB 三边的边长表达式,然后分 OP=OB、 OP=BP、 OB
25、=BP三种情况分类讨论,然后分辨是否存在符合条件的 P 点 解答: 解:( 1)如图,过 B 点作 BC x 轴,垂足为 C,则 BCO=90, AOB=120, BOC=60, 又 OA=OB=4, OC=OB=4=2, BC=OBsin60=4 =2 , 点 B 的坐标为( 2, 2 ); ( 2) 抛物线过原点 O 和点 A、 B, 可设抛物线解析式为 y=ax2+bx, 将 A( 4, 0), B( 2 2 )代入,得 ,解得 , 此抛物线的解析式为 y= x2+ x - 14 - ( 3)存在, 如图,抛物线的对称轴是直线 x=2,直线 x=2 与 x 轴的交点为 D,设点 P 的坐
26、标为( 2, y), 若 OB=OP, 则 22+|y|2=42,解得 y=2 , 当 y=2 时,在 Rt POD 中, PDO=90, sin POD= = , POD=60, POB= POD+ AOB=60+120=180, 即 P、 O、 B 三点在同一直线上, y=2 不符合题意,舍去, 点 P 的坐标为( 2, 2 ) 若 OB=PB,则 42+|y+2 |2=42, 解得 y= 2 , 故点 P 的坐标为( 2, 2 ), 若 OP=BP,则 22+|y|2=42+|y+2 |2, 解得 y= 2 , 故点 P 的坐标为( 2, 2 ), 综上所述,符合条件的点 P 只有一个,
27、其坐标为( 2, 2 ), 8在平 面直角坐标系 中,现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点 A( 0, 2),点 C( 1, 0),如图所示:抛物线 y=ax2+ax 2 经过点 B ( 1)求点 B 的坐标; ( 2)求抛物线的解析式; ( 3)在抛物线上是否还 存在点 P(点 B 除外),使 ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 - 15 - 考点:二次函数综合题 . 专题:压轴题 分析: ( 1)根据题意,过点 B 作 BD x 轴,垂足为 D;根据角的互余的关系,易得 B 到 x、 y 轴的
28、距离,即 B 的坐标; ( 2)根据抛物线过 B 点的坐标,可得 a 的值,进而可得其解析式; ( 3)首先假设存在,分 A、 C 是直角顶点两种情况讨论,根据全等三角形的性质,可得答案 解答: 解:( 1)过点 B 作 BD x 轴,垂足为 D, BCD+ ACO=90, ACO+ CAO=90, BCD= CAO,( 1 分) 又 BDC= COA=90, CB=AC, BCD CAO,( 2 分) BD=OC=1, CD=OA=2,( 3 分) 点 B 的坐标为( 3, 1);( 4 分) ( 2)抛物线 y=ax2+ax 2 经过点 B( 3, 1), 则得到 1=9a 3a 2,(
29、5 分) 解得 a=, 所以抛物线的解析式为 y=x2+x 2;( 7 分) ( 3)假设存在点 P,使得 ACP 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形: 若以点 C 为直角顶点; 则延长 BC 至点 P1,使得 P1C=BC,得到等腰直角三角形 ACP1,( 8 分) 过点 P1 作 P1M x 轴, - 16 - CP1=BC, MCP1= BCD, P1MC= BDC=90, MP1C DBC( 10 分) CM=CD=2, P1M=BD=1,可求 得点 P1( 1, 1);( 11 分) 若以点 A 为直角顶点; 则过点 A 作 AP2 CA,且使得 AP2=AC,得到等腰直角三角
30、形 ACP2,( 12 分) 过点 P2 作 P2N y 轴,同理可证 AP2N CAO,( 13 分) NP2=OA=2, AN=OC=1,可求得点 P2( 2, 1),( 14 分) 经检验,点 P1( 1, 1)与点 P2( 2, 1)都在抛物线 y=x2+x 2 上( 16 分) 9在平面 直角坐标系中 ,现将一块等腰直角三角板放在第一象限,斜靠在两坐标轴上,且点 A( 0, 2),点 C( 1, 0),如图所示,抛物线 y=ax2 ax 2 经过点 B ( 1)求点 B 的坐标; ( 2)求抛物线的解析式; ( 3)在抛物线上是否还存 在点 P(点 B 除外),使 ACP 仍然是以
31、AC 为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 考点:二次函数综合题 . 专题:代数几何综合题;压轴题 分析: ( 1)首先过点 B 作 BD x 轴,垂足为 D,易证得 BDC COA,即可得 BD=OC=1,CD=OA=2,则可求得点 B 的坐标; ( 2)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式; - 17 - ( 3)分别从 以 AC 为直角 边,点 C 为直 角顶点,则延长 BC 至 点 P1 使得 P1C=BC,得到等腰直角三角形 ACP1,过点 P1 作 P1M x 轴, 若以 AC 为直角边,点 A 为直角顶点,则过点 A 作 AP2 CA,且
32、使得 AP2=AC,得到等腰直角三角形 ACP2,过点 P2 作 P2N y 轴, 若以 AC 为直角边,点 A 为直角顶点,则过点 A 作 AP3 CA,且使得 AP3=AC,得到等腰直角三角形 ACP3,过点 P3 作 P3H y 轴,去分析则可求得答案 解答: 解:( 1)过点 B 作 BD x 轴,垂足为 D, BCD+ ACO=90, AC0+ OAC=90, BCD= CAO, 又 BDC= COA=90, CB=AC, BDC COA, BD=OC=1, CD=OA=2, 点 B 的坐标为( 3, 1); ( 2) 抛物线 y=ax2 ax 2 过点 B( 3, 1), 1=9a
33、 3a 2, 解得: a=, 抛物线的解析式为 y=x2 x 2; ( 3)假设存在点 P,使得 ACP 是等腰直角三角形, 若以 AC 为直角边,点 C 为直角顶点, 则延长 BC 至点 P1 使得 P1C=BC,得到等腰直角三角形 ACP1,过点 P1 作 P1M x 轴,如图( 1), CP1=BC, MCP1= BCD, P1MC= BDC=90, MP1C DBC, CM=CD=2, P1M=BD=1, P1( 1, 1),经检验点 P1 在抛物线 y=x2 x 2 上; 若以 AC 为直角边,点 A 为直角顶点,则过点 A 作 AP2 CA,且使得 AP2=AC, 得到等腰直角三角
34、形 ACP2,过点 P2 作 P2N y 轴,如图( 2), 同理可证 AP2N CAO, NP2=OA=2, AN=OC=1, P2( 2, 1),经检验 P2( 2, 1)也在抛物线 y=x2 x 2 上; - 18 - 若以 AC 为直角边,点 A 为直角顶点,则过点 A 作 AP3 CA,且使得 AP3=AC, 得到等腰直角 三角形 ACP3,过点 P3 作 P3H y 轴,如图( 3), 同理可证 AP3H CAO, HP3=OA=2, AH=OC=1, P3( 2, 3),经检验 P3( 2, 3)不在抛物线 y=x2 x 2 上; 故符合条件的点有 P1( 1, 1), P2(
35、2, 1)两点 综合类 10 如图, 已知抛物线 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为 B( 5, 0),另一个交点为 A,且与 y 轴交于点 C( 0, 5) ( 1)求直线 BC 与抛物线的解析式; ( 2)若点 M 是抛物线在 x 轴下方图象上的一动点,过点 M 作 MN y 轴交直线 BC 于点 N,求 MN 的最大值; ( 3)在( 2)的条件下, MN 取得最大值 时,若点 P 是抛物线在 x 轴下方图象上任意一点,以 BC 为边作平行四边形 CBPQ,设平行四边形 CBPQ 的面积为 S1, ABN 的面积为 S2,且 S1=6S2,求点 P 的坐标 考点:二次函数综
36、合题 . - 19 - 专题:压轴题 分析:( 1)设直线 BC 的解析式 为 y=mx+n,将 B( 5, 0), C( 0, 5)两点的坐标代入,运用待定系数法即可求出直线 BC 的解析式;同理,将 B( 5, 0), C( 0, 5)两点 的坐标代入 y=x2+bx+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式; ( 2) MN 的长是 直线 BC 的函 数值与抛物线的函数值的差,据此可得出一个关于 MN 的长和M 点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出 MN 的最大值; ( 3)先求出 ABN 的面积 S2=5,则 S1=6S2=30再设平行四边形 CBPQ 的边 BC 上的高为BD
37、,根据平行四边形的面积公式得出 BD=3 ,过点 D 作直线 BC 的平行线,交抛物线与点 P,交 x 轴于点 E,在直线 DE 上截取 PQ=BC,则四边形 CBPQ 为平行四边形证明 EBD为等腰直角三角形,则 BE= BD=6,求出 E 的坐标为( 1, 0),运用待定系数法求出直线 PQ 的解析式为 y= x 1,然后解方程组 ,即可求出点 P 的坐标 解答: 解:( 1)设直线 BC 的解析式为 y=mx+n, 将 B( 5, 0), C( 0, 5)两点的坐标代入, 得 ,解得 ,所以直线 BC 的解析式为 y= x+5; 将 B( 5, 0), C( 0, 5)两点的坐标代入 y
38、=x2+bx+c, 得 ,解得 ,所以抛物线的解析式为 y=x2 6x+5; ( 2)设 M( x, x2 6x+5)( 1 x 5),则 N( x, x+5), MN=( x+5)( x2 6x+5) = x2+5x=( x) 2+ , 当 x=时, MN 有最大值 ; ( 3) MN 取 得最大值时, x=2.5, x+5= 2.5+5=2.5,即 N( 2.5, 2.5) 解方程 x2 6x+5=0,得 x=1 或 5, A( 1, 0), B( 5, 0), AB=5 1=4, ABN 的面积 S2=42.5=5, 平行四边形 CBPQ 的面积 S1=6S2=30 - 20 - 设平行
39、四边形 CBPQ 的边 BC 上的高为 BD,则 BC BD BC=5 , BCBD=30, BD=3 过点 D 作直线 BC 的平行线,交抛物线与点 P,交 x 轴于点 E,在直线 DE 上截取 PQ=BC,则四边形 CBPQ 为平行四边形 BC BD, OBC=45, EBD=45, EBD 为等腰直角三角形, BE= BD=6, B( 5, 0), E( 1, 0), 设直线 PQ 的解析式为 y= x+t, 将 E( 1, 0)代入,得 1+t=0,解得 t= 1 直线 PQ 的解析式为 y= x 1 解方程组 ,得 , , 点 P 的坐标为 P1( 2, 3)(与点 D 重合)或 P
40、2( 3, 4) 11 如图,抛物线 y=ax2+bx+c( a0)的图象过点 C( 0, 1),顶点为 Q( 2, 3),点 D 在 x轴正半轴上,且 OD=OC ( 1)求直线 CD 的解析式; - 21 - ( 2)求抛 物线的解析式; ( 3)将直线 CD 绕点 C 逆时针方向旋转 45所得直线与抛物线相交于另一点 E,求证: CEQ CDO; ( 4)在( 3)的条件下,若 点 P 是线段 QE 上的动点,点 F 是线段 OD 上的动点,问:在 P点和 F 点移动过程中, PCF 的周长是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由 考点:二次函数综合题 . 专题:压轴
41、题 分析: ( 1)利用待定系数法求出直线解析式; ( 2)利用待定系数法求出抛物线的解析式; ( 3)关键是证明 CEQ 与 CDO 均为等腰直角三角形; ( 4)如答图 所示,作点 C 关 于直线 QE 的 对称点 C,作点 C 关于 x 轴的对称点 C,连接 CC,交 OD 于点 F,交 QE 于点 P,则 PCF 即为符合题意的周长最小的三角形,由轴对称的性质可知, PCF 的周长等于线段 CC的长度 利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时 PCF 的周长最小 如答图 所示,利用勾股定理求出线段 CC的长度,即 PCF 周长的最小值 解答: 解:( 1) C( 0, 1), O
42、D=OC, D 点坐标为( 1, 0) 设直线 CD 的解析式为 y=kx+b( k0), 将 C( 0, 1), D( 1, 0)代入得: , 解得: b=1, k= 1, 直线 CD 的解析式为: y= x+1 - 22 - ( 2)设抛物线的解析式为 y=a( x 2) 2+3, 将 C( 0, 1)代入得: 1=a( 2) 2+3,解得 a= y= ( x 2) 2+3= x2+2x+1 ( 3)证明:由题意可知, ECD=45, OC=OD,且 OC OD, OCD 为等腰直角三角形, ODC=45, ECD= ODC, CE x 轴,则点 C、 E 关于对称轴(直线 x=2)对称,
43、 点 E 的坐标为( 4, 1) 如答图 所示,设对称轴(直线 x=2)与 CE 交于点 M,则 M( 2, 1), ME=CM=QM=2, QME 与 QMC 均为等腰直角三角形, QEC= QCE=45 又 OCD 为等腰直角三角形, ODC= OCD=45, QEC= QCE= ODC= OCD=45, CEQ CDO ( 4)存在 如答图 所示,作点 C 关于直线 QE 的对称点 C,作点 C 关于 x 轴的对称点 C,连接 CC,交 OD 于点 F,交 QE 于点 P,则 PCF 即为符合题意的周长最小的三角形,由轴对称的性质可知, PCF 的周长等于线段 CC的长度 (证明如下:不
44、妨在线段 OD 上取异于点 F 的任一点 F,在线段 QE 上取异于点 P 的任一点 P,连接 FC, FP, PC 由轴对称的性质可知, PCF的周长 =FC+FP+PC; 而 FC+FP+PC是点 C, C之间的折线段, 由两点之间线段最短可知: FC+FP+PC CC, 即 PCF的周长大于 PCE 的周长) 如答图 所示,连接 CE, C, C关于直线 QE 对称, QCE 为等腰直角三角形, QCE 为等腰直角三角形, CEC为等腰直角三角形, 点 C的坐标为( 4, 5); C, C关于 x 轴 对称, 点 C的坐标为( 0, 1) 过点 C作 CN y 轴于点 N,则 NC=4,
45、 NC=4+1+1=6, - 23 - 在 Rt CNC中,由勾股定理得: CC= = = 综上所述,在 P 点和 F 点移动过程中, PCF 的周长存在最小值,最小值为 12如图,抛物线与 x 轴交于 A( 1, 0)、 B( 3, 0)两点,与 y 轴交于点 C( 0, 3),设抛物线的顶点为 D ( 1)求该抛物线的解析式与顶点 D 的坐标 ( 2)试判断 BCD 的形状,并说明理由 ( 3)探究坐标轴上是否存在点 P,使得以 P、 A、 C 为顶点的三角形与 BCD 相似?若存在,请直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由 考点:二次函数综合题 . 专题:压轴题 分析: ( 1)利用待定系数法即可求得函数的解析式; ( 2)利用勾股定理求得 BCD 的三边的长,然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断; ( 3)分 p 在 x 轴和 y 轴两种情况讨论,舍出 P 的坐标,根据相似三角形的对应边的比相等即可求解 解答: - 24 - 解:( 1)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c 由抛物线与 y 轴交于点 C( 0, 3),可知 c=3即抛物线的解析式为 y=ax2+bx+3 把点 A( 1, 0)、点 B( 3, 0)代入,得 解得 a= 1, b= 2 抛物线