1、 1 高考数学压轴题突破训练：圆锥曲线 1. 如图，直线 l1与 l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是 A，点 B、 D在直线 l1上 (B、 D 位于点 A右侧 )，且|AB|=4， |AD|=1， M是该平面上的一个动点， M在 l1上的射影点是 N，且 |BN|=2|DM|.w.w.w.k.s.5.u.c.o. ( ) 建立适当的坐标系，求动点 M的轨迹 C的方程 ( )过点 D 且不与 l1、 l2垂直的直线 l 交 ( )中的轨迹 C于 E、 F两点；另外平面上的点 G、 H满足： 1 ( R ) ;A G A D2 2;G E G F G H 30.GH EF 求点 G的横坐
2、标的取值范围 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率23e ，已知点 )3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是 4，求这个椭圆的方程 . 3. 已知椭圆 )0(1:22221 babyaxC 的一条准线方程是 ,425x 其左、右顶点分别 是 A、 B；双曲线 1:22222 byaxC 的一条渐近线方程为 3x 5y=0. （）求椭圆 C1的方程及双曲线 C2的离心率； （）在第一象限内取双曲线 C2上一点 P，连结 AP交椭圆 C1于点 M，连结 PB并延长交椭圆 C1于点 N，若 MPAM . 求证： .0 ABMN 4. 椭圆的中心在坐标原点 O,右焦点 F（ c,0
3、）到相 应准线的距离为 1，倾斜角为 45的直线交椭圆于 A， B两点 .设 AB中点为 M，直线 AB与 OM的夹角为 a. （ 1）用半焦距 c表示椭圆的方程及 tg ; （ 2）若 20,b0）的右准线 与2l 一条渐近线 l 交于两点 P、 Q， F是双曲线的右焦点。 （ I）求证： PF l ； （ II）若 PQF为等边三角形，且直线 y=x+b交双曲线于 A， B两点，且 30AB ，求双曲线的方程； （ III）延长 FP 交双曲线左准线 1l 和左支分别为点 M、 N，若 M为 PN的中点，求双曲线的离心率 e。 22. 已知又曲线 在左右顶点分别是 A， B，点 P 是其右
4、准线上的一点，若点 A关于点 P的对称点是 M，点 P关于点 B的对称点是 N，且 M、 N都在此双曲线上。 （ I）求 此双曲线的方程； （ II）求直线 MN 的倾斜角。 23. 如图，在直角坐标系中，点 A（ -1， 0）， B（ 1， 0）， P（ x，y）（ ）。设 与 x轴正方向的夹角分别为、，若 。 （ I）求点 P的轨迹 G的方程； （ II）设过点 C（ 0， -1）的直线 与轨迹 G交于不同两点M、 N。问在 x 轴上是否存在一点 ，使 MNE 为正三角形。若存在求出 值；若不存在说明理由。 A O B yPA BOx5 24. 设椭圆 22xyC : 1 a b 0ab
5、过点 M 2 ,1 ，且焦点为 1F 2 , 0。 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）当过点 P 4,1 的动直线 与椭圆 C 相交与两不同点 A、 B时，在线段 AB 上取点 Q ， 满足 A P Q B A Q P B ，证明：点 Q 总在某定直线上 。 25. 平面直角坐标系中， O为坐标原点，给定两点 A（ 1， 0）、 B（ 0， 2），点 C满足 其中,OBOAOC 、 12, 且R （ 1）求点 C的轨迹方程； （ 2）设点 C的轨迹与双曲线 )0,0(12222 babyax交于两点 M、 N，且以 MN为直径的圆过原点，求证： 为定值2211 ba . 26. 设 )0,
6、1(F ， M 、 P 分别为 x 轴、 y 轴上的点，且 PM 0PF ，动点 N 满足：NPMN 2 . （ 1）求动点 N 的轨迹 E 的方程； （ 2）过定点 )0)(0,( ccC 任意作一条直线 l 与曲线 E 交与不同的两点 A 、 B ，问在 x 轴上是否存在一定点 Q ，使得直线 AQ 、 BQ 的倾斜角互补？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由 27. 如图，直角梯形 ABCD中， 90DAB ， AD BC， AB=2， AD=23，BC=21椭圆 F以 A、 B为焦点，且经过点 D， （）建立适当的直角坐标系，求椭圆 F的方程； （）是否存在直线 l 与 M
7、、F交于椭圆 N 两点，且线段CMN 的中点为点 ，若存在，求直线 l 的方程；若不存在，说明理由 . 28. 如图所示， B（ c， 0）， C（ c， 0）， AH BC，垂足为 H，且 HCBH 3 （ 1）若 ACAB = 0，求以 B、 C为焦点并且经过点 A的椭圆的离心率； （ 2） D分有向线段 AB 的比为 ， A、 D同在以 B、 C为焦点的椭圆上， 当 5 27时 ，求椭圆的离心率 e的取值范围 29. 在直角坐标平面中， ABC 的两个顶点 BA, 的坐标分别为 )0,1(A ， )0,1(B ，平面内两点 MG, 同时满足下列条件： 0 GCGBGA ； MCMBMA
8、； GM AB （ 1）求 ABC 的顶点 C 的轨迹方程； （ 2）过点 )0,3(P 的直线 l 与（ 1）中轨迹交于 FE, 两点，求 PFPE 的取值范围 C B D A 6 答案： 1.解： ( ) 以 A 点为坐标原点， l1为 x 轴，建立如图所示的坐标系，则 D(1， 0)， B(4， 0)，设 M（ x， y） ， 则 N（ x， 0） . |BN|=2|DM|， |4 x|=2 (x 1)2+y2 , 整理得 3x2+4y2=12, 动点 M的轨迹 方程为 x24+ y23 =1 . ( ) ( R ) ,A G A D A 、 D、 G三点共线，即点 G在 x轴上；又 2
9、,G E G F G H H 点为线段 EF 的中点； 又 0,GH EF点 G 是线段 EF 的垂直平分线 GH 与 x 轴的交 点。 设 l： y=k(x 1)(k 0)，代入 3x2+4y2=12 得 (3+4k2)x2 8k2x+4k2 12=0，由于 l 过点 D(1， 0)是椭圆的焦点， l与椭圆必有两个交点， 设 E(x1， y1)， F(x2， y2)， EF 的中点 H 的坐标为（ x0， y0） ， x1+x2= 8k23+4k2 ， x1x2= 4k2 123+4k2 ， x0= x1+x22 = 4k23+4k2 ， y0=k(x0 1)= 3k3+4k2 ， 线段 E
10、F 的垂直平分线为 y y0 = 1k (x x0)， 令 y=0得 ， 点 G 的横坐标 xG = ky0+x0 = 3k23+4k2 + 4k23+4k2 = k23+4k2 = 14 34(3+4k2) ， k 0， k20， 3+4k23， 0|CA|=2，于是点 Q 的轨迹是以点 C， A为焦点，半焦距 c=1，长半轴 a= 2 的椭圆，短半轴 ,122 cab 点 Q 的轨迹 E 方程是： 12 22 yx . （ 2）设（ x1， y1） H（ x2， y2），则由112222kkxyyx ， 消去 y得 )0(08,0214)12( 22222 kkkxkkxk 122,121
11、422212221 kkxxkkkxx 221 2 1 2 1 2 1 22 2 21 2 1 22 2 2 2 222 2 2( 1 ) ( 1 )( 1 ) 1 ( ) 1( 1 ) 2 4 ( 1 ) 112 1 2 1 2 1O F O H x x y y x x k x k k x kk x x k k x x kk k k k kkk k k 22222 2 21 2 1 2 22 1 3 1 1,3 2 1 4 222| | ( 1 ) ( ) 4 ( 1 ) .21k kkkF H k x x x x kk 又点 O到直线 FH 的距离 d=1， 2222 ( 1 )1 |2
12、2 1kkS d F Hk 22 12 1 2 , 3 , ( 1 ) ,2t k t k t 令2 21 1 1 1 2 1( 1 ) ( 1 ) 1 ) ( 1 ) 12 2 2S t t tt t t 221 1 1 3 1 82 3 , 19 4 4 9t tt 23 2 21.23t 即6243S 18.解：（ 1）以直线 AB 为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系，则 A（ c， 0）， B（ c， 0） 依题意： caPBPAPBaPA 22|,|2| 点 P 的轨迹为以 A、 B 为焦点，实半轴为 a，虚半轴为 22 ac 的双曲线右支 轨迹方程为： )
13、(122222 axac yax 。 （ 2）法一：设 M（ 1x ， 1y ）， N（ 2x ， 2y ） 依题意知曲线 E的方程为 )1(1322 xyx ， l的 方程为 xy 3 设直线 m的方程为 )2( xky 16 由方程组)2(1322xkyyx ，消去 y 得 0344)3( 2222 kxkxk )03(3 34,34 222212221 kkkxxk kxx 直线 )2(: xkym 与双曲线右支交于不同的两点 021 xx 及 021 xx ，从而 32 k 由得 )2(344 33222 xxx xk解得45x且 2x 当 x 2 时，直线 m垂直于 x 轴，符合条件
14、， ),45(1 x又设 M到 l 的距离为 d，则2 |3| 11 yxd 13 211 xy123)1(2 3 211211 xxxxd设1123)(2 xxxd， ),45 x由于函数 xy 与 12 xy 均为区间 ),45 的增函数 )(xd 在 ),45 单调递减 )(xd 的最大值43)45( d又 01123)(2l i ml i m xxxd xx而 M 的横坐标 ),45(1 x， )43,0(d法二： xgl 3: 为一条渐近线 m位于 1l 时， m 在无穷远，此时 0d m位于 2l 时， )4 33,45(M， d 较大 由4513)2(322xyxxy 17 点
15、M )433,45(432433453d 故 430 d19.解： (1) 曲线 016222 yxyx 表示以 )3,1( 为圆心 ,以 3 为半径的圆 , 圆上两点 P、 Q满足关于直线 04 myx 对称 ,则圆心 )3,1( 在直线 04 myx 上 ,代入解得 .1m (2)直线 PQ 与直线 4xy 垂直 ,所以设 PQ 方程为 bxy , ),( 11 yxP ),( 22 yxQ . 将直线 bxy 与圆的方程联立得 016)4(22 22 bbxbx 由 ,0 解得 232232 b . 2 16,422121 bbxxbxx . 又以 PQ 为直径的圆过 O 点 OQOP
16、02121 yyxx 解得 1b ).232,232( 故所求直线方程为 .01 yx 20.解：（ 1） ( 3 , ) , ( 3 , )a x y b x y ，且 4ab， 动点 ( , )Qx y 到两个定点12( 3 , 0 ) , ( 3 , 0 )FF的距离的和为 4， 轨迹 C 是 以12( 3 , 0 ) , ( 3 , 0 )FF为焦点的椭圆，方程为 2 2 14x y（ 2）设1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y，直线 AB 的方程为 y x t，代入 2 2 14x y， 消去 y 得 225 8 4 4 0x tx t ， 由 0 得 2
17、5t ， 且 21 2 1 28 4 4,55ttx x x x ， 1 2 1 2( ) ( )y y x t x t 2 45t 设点 ( , )M x y ，由 c o s s i nO M O A O B 可得 12c o s s i nc o s s i nx x xy y y点 ( , )M x y 在 C 上， 2 2 2 21 2 1 24 4 ( c o s s i n ) 4 ( c o s s i n )x y x x y y 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2( 4 ) c o s ( 4 ) s i n 2 s i n c o s ( 4 )x y
18、x y x x y y 221 2 1 24 ( c o s s i n ) 2 s i n c o s ( 4 )x x y y 1 2 1 24 2 s i n c o s ( 4 )x x y y 1 2 1 22 s i n c o s ( 4 ) 0x x y y ， 又因为 0, 2 的任意性，1 2 1 240x x y y， 18 2445t 24 ( 4 ) 05t ，又 0t ， 得 t 102， 代入 t 102检验，满足条件，故 t 的值是 102。 21.解： (1) 不妨设 22,: bacxabyl . ),.(,: 222 cabcapcaxl , F.(c,0
19、) 设 ., 21 kPFkl 的斜率为的斜率为 k2= ,22 bababccacab k1k2= 1. 即 PF l . （ 2）由题 .33,3 baab 131,2222bybxbxy. x2 bx b2=0, 22121bxxbxx 3,305111 212 bbxxkAB a=1, 双曲线方程为 .1322 yx （ 3） PFl: y= )( cxba M(bc caaca )(,222 ,2 MNP xxx N（ bc caaca )3(,3 222 ） . 又 N 在双曲线上。 ,1)3(9 22222222aceb cacaca e= .5 22.解： （ I）点 A、 B
20、 的坐标为 A（ -3， 0）， B（ 3， 0），设点 P、 M、 N的坐标依次为 则有 4- 得 ，解得 c=5 故所求方程是 19 （ II）由 得， 所以， M、 N的坐标为 所以 MN 的倾斜角是 23.解：（ I）由已知 ，当 时， 当 时， ，也满足方程 所求轨迹 G 方程为 （ II）假设存在点 ，使 为正 设直线 方程： 代入 得： MN 中点 在正 EMN 中， 20 与 矛盾 不存在这样的点 使 MNE为正 24.解： （ 1） 由题意：2222 2 2c2211abc a b ，解得 22a 4 , b 2， 所求椭圆方程为 22xy142（ 2）解：设过 P 的直线方
21、程为： y 1 k x 4 ， 设 00Q x , y， 11A x , y， 22B x , y则 22xy142y k x 4 k 1 2 2 2 22 k 1 x 4 k 1 6 k x 3 2 k 1 6 k 2 0 212 21 6 k 4 kxx 2 k 1 ， 212 23 2 k 1 6 k 2xx 2 k 1 A P Q B A Q P B ， AP PBAQ QB，即121 0 0 24 x 4 xx x x x ， 化简得： 0 0 1 2 1 28 x 4 x x x 2 x x 0 ， 22001 6 k 4 k 3 2 k 1 6 k 28 x 4 x 2 02 k
22、 1 2 k 1 ， 去分母展开得： 2 2 2 20 0 0 01 6 k x 8 x 6 4 k 1 6 k 1 6 k x 4 k x 6 4 k 3 2 k 4 0 化简得：002 x 4 k k x 1 0 ，解得：001 2xk x4 又 Q 在直 线 y 1 k x 4 上， 00001 2 xy 1 x 4x4 ， 00y 1 1 2 x 即002 x y 2 0 ， Q 恒在直线 2x y 2 0 上。 25.解：（ 1）解：设 )2,0()0,1(),(,),( yxOBOAOCyxC 则因为 PABQO xy 4,1 11x ,y 22x ,y 00x ,y21 1122
23、 yxyx 即点 C 的轨迹方程为 x+y=1 002)(:11)2( 22222222222222 abbaaxaxabbyaxyx由题意得得由 2222221222212211 ,2:),(),( ab baaxxab axxyxNyxM 则设1 2 1 22 2 2 21 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 22 2 2 222, 0 , 02 2 ( )( 1 ) ( 1 ) 1 ( ) 2 1 0112 0 , 2 M N O M O N x x y ya a a bx x x x x x x xb a b ab a a bab 因 为 以 为 直 径 的 圆 过 原 点 即即
24、为 定 值26.解：（ 1）设 ),( yxN ，则 )2,0( yP、 )0,( xM ， ），（、21)2,( yPFyxPM 又 0 PFPM ， 042 yx ，即 xy 42 . （ 2）设直线 l 的方程为： )( cxky ， ),( 11 yxA 、 ),( 22 yxB 假设存在点 )0,(tQ 满足题意，则 0BQAQ kk， )(42cxkyxy ，即 0)2(2 22222 ckxckxk ，2221)2(2 kckxx ， 221 cxx ，又)( )()(0 21 12212 21 1 txtx txytxytx ytx ykk BQAQ )()()()( 1221
25、1221 txcxktxcxktxytxy 02)(2 2121 ctxxtcxxk ， 由于 0k ，则 0)2(2)(222)(22222121 kcktcctcctxxtcxx 对不同的 k 值恒成立，即 02)()2)(222 ktckckctc对不同的 k 值恒成立， 则 0tc ，即 ct ，故存在点 )0,(cQ 符合题意 . 27.解：（）以 AB 中点为原点 O， AB 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，如图 则 A（ -1,0） B(1,0) D(-1,23) 设椭圆 F 的方程为 )0(12222 babyax22 得 1123)1(222222baba得 341041
26、74 22224 baaaa 所求椭圆 F方程 13422 yx （）解：若存在这样的直线 l，依题意， l不垂直 x 轴 设 l 方程 )1(21 xky代入 012)21(4)21(8)43(134 22222 kxkkxkyx 得 设 ),( 11 yxM 、 ),( 22 yxN 有 12 21 xx得 23243)21(82 kkkk得 又 134)21,1(22 yxC 在椭圆点 内部 故所求直线 l 方程 223 xy（）解法 2：若存在这样的直线 l，设 ),(),( 2211 yx、NyxM ， 有13413421222121yxyx两式相减得 0)(31)(41 22212
27、221 yyxx21 xx 有21212121 43 yy xxxx yy 1,2)21,1( 2121 yyxx，MNC 有中点是 得 2321 21 xx yy即 l 斜率为23又 内部在椭圆点 13422 yxC ，故所求直线 l 方程 223 xy28.解：（ 1）因为 HCBH 3 ，所以 H 0 2，c，又因为 AH BC，所以设 A 02 yc，由 0ACAB 得022 00 yccycc ，即220 43cy 3 分 所以 |AB| =ccc 34323 22 ， |AC | =ccc 432 22椭圆长轴 2a = |AB| + |AC| = ( 3 + 1)c， 所以， 1
28、3 ace （ 2）设 D (x1， y1)，因为 D分有向线段 AB 的比为 ，所以121ccx ，1 01 yy， 23 设椭圆方程为2222 byax = 1 (a b 0)，将 A、 D 点坐标代入椭圆方程得 142202 bye . 1)1( 1)1( )21(4 22202 22 bye 由得 1220by 42e，代入并整理得113122 e， 因为 5 27，所以 21312 ，e，又 0 e 1，所以33 e22 29.解： （ 1）设 ).,( , ),( , ),(00 MM yxMyxGyxCMBMA ， M 点在线段 AB 的中垂线上 由已知 ( 1 , 0 ) ,
29、( 1 , 0 ) , 0MA B x ；又 GM AB ，0yyM 又 0 GCGBGA 0,0,1,1 000000 yyxxyxyx 3 3 , 3 00 yyyyxx M MCMB 2222 300310 yyxy 1322 yx 0y ， 顶点 C 的轨迹方程为 1322 yx 0y . (2)设直线 l 方程为： )3( xky ， ),( 11 yxE ， ),( 22 yxF 由13)3(22 yxxky 消去y 得： 03963 2222 kxkxk 362221 kkxx ， 3392221 kkxx 而 PFPEPFPEPFPE 0c o s2212 313 1 xkxk 21212 39 1 xxxxk 3 3918279 1 2 2222 k kkkk 2222 4 1 482433kkk 由方程知 39346 2222 kkk 0 2k 830k ， 0 2k 83， 827,332k 988,8PFPE .
