1、第八章 非线性控制系统分析,.1 非线性控制系统概述 .2 常见非线性特性及其对系统运动的影响 .3 相平面法 .4 描述函数法,.1 非线性系统概述,在构成系统的环节中有一个或一个以上的非线性特性时, 即称此系统为非线性系统。用线性方程组来描述系统，只不过是在一定的范围内和一定的近似程度上对系统的性质所作的一种理想化的抽象。用线性方法研究控制系统，所得的结论往往是近似的，当控制系统中非线性因素较强时(称为本质非线性), 用线性方法得到的结论，必然误差很大, 甚至完全错误。非线性对象的运动规律要用非线性代数方程和(或)非线性微分方程描述，而不能用线性方程组描述。一般地，非线性系统的数学模型可以
2、表示为:,其中， f()和g()为非线性函数。,一、研究非线性控制理论的意义,1. 稳定性分析复杂按照平衡状态的定义，在无外作用且系统输出的各阶导数等于零时，系统处于平衡状态。 显然，对于线性系统只有一个平衡状态c0，线性系统的稳定性即为该平衡状态的稳定性，而且取决于系统本身的结构和参数，与外作用和初始条件无关。而非线性系统可能存在多个平衡状态, 各平衡状态可能是稳定的也可能是不稳定的。非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，也与初始条件以及系统的输入信号的类型和幅值有关。,二、非线性系统的特征,所谓自持振荡是指没有外界周期变化信号的作用时，系统内部产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动
3、。线性系统的运动状态只有收敛和发散，只有在临界稳定的情况下才能产生周期运动，但由于环境或装置老化等不可避免的因素存在，使这种临界振荡只可能是暂时的。而非线性系统则不同，即使无外加信号，系统也可能产生一定幅度和频率的持续性振荡，这是非线性系统所特有的。 必须指出，长时间大幅度的振荡会造成机械磨损，增加控制误差，因此许多情况下不希望自持振荡发生。但在控制中通过引入高频小幅度的颤振，可克服间歇、死区等非线性因素的不良影响。而在振动试验中，还必须使系统产生稳定的周期运动。因此研究自持振荡的产生条件与抑制，确定其频率与幅度，是非线性系统分析的重要内容。,2. 可能存在自持振荡现象,稳定的线性系统的频率响
4、应，即正弦信号作用下的稳态输出量是与输入同频率的正弦信号，其幅值A和相位为输入正弦信号频率的函数。而非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信号分量(基波分量)外，还含有关于的高次谐波分量，使输出波形发生非线性畸变。若系统含有多值非线性环节，输出的各次谐波分量的幅值还可能发生跃变。,3. 频率响应发生畸变,系统分析和设计的目的是通过求取系统的运动形式，以解决稳定性问题为中心，对系统实施有效的控制。由于非线性系统形式多样，受数学工具限制，一般情况下难以求得非线性方程的解析解，只能采用工程上适用的近似方法。在实际工程问题中，如果不需精确求解输出函数，往往把分析的重点放在以下三个方面：某一平衡
5、点是否稳定，如果不稳定应如何校正；系统中是否会产生自持振荡，如何确定其周期和振幅；如何利用或消除自持振荡以获得需要的性能指标。比较基本的非线性系统的研究方法有如下几种：,三、非线性系统的分析与设计方法,1、小范围线性近似法这是一种在平衡点的近似线性化方法，通过在平衡点附近泰勒展开，可将一个非线性微分方程化为线性微分方程，然后按线性系统的理论进行处理。该方法局限于小区域研究。 2、 逐段线性近似法将非线性系统近似为几个线性区域，每个区域用相应的线性微分方程描述，将各段的解合在一起即可得到系统的全解。 3、 相平面法相平面法是非线性系统的图解法，由于平面在几何上是二维的，因此只适用于阶数最高为二阶
6、的系统。,4. 描述函数法描述函数法是非线性系统的频域法，适用于具有低通滤波特性的各种阶次的非线性系统。5. 李雅普诺夫法 李雅普诺夫法是根据广义能量概念确定非线性系统稳定性的方法，原则上适用于所有非线性系统，但对于很多系统，寻找李雅普诺夫函数相当困难。 6. 计算机仿真利用计算机模拟，可以满意地解决实际工程中相当多的非线性系统问题。这是研究非线性系统的一种非常有效的方法，但它只能给出数值解，无法得到解析解，因此缺乏对一般非线性系统的指导意义。,一、非线性特性的等效增益,. 常见非线性特性及其对系统运动的影响,设非线性特性可以表示为：,将非线性特性视为一个环节，环节的输入为x，输出为y，按照线
7、性系统中比例环节的描述，定义非线性环节输出y和输入x的比值为等效增益：,输出和输入呈非线性关系，其比值不是一个常数，可将其视为变增益比例环节，常见非线性特性的等效增益曲线如图-(P390)。,非线性特性种类很多，且对非线性系统尚不存在统一的分析方法，所以将非线性特性分类，然后根据各个非线性的类型进行分析得到具体的结论，才能用于实际。 按非线性环节的物理性能及非线性特性的形状划分，非线性特性有死区特性、饱和特性、间隙特性和继电器特性等。,二、常见非线性因素对系统运动的影响,典型非线性特性,死区又称不灵敏区，通常以阈值、分辨 率等指标衡量。 常见于测量、放大元件中，一般的机械系统、电机等，都不同程
8、度地存在死区。其特点是当输入信号在零值附近的某一小范围之内时，没有输出。只有当输入信号大于此范围时，才有输出。 执行机构中的静摩擦影响也可以用死区特性表示。控制系统中存在死区特性，将导致系统产生稳态误差，其中测量元件的死区特性尤为明显。摩擦死区特性可能造成系统的低速不均匀，甚至使随动系统不能准确跟踪目标。,1. 死区特性,饱和也是一种常见的非线性，在 铁磁元件及各种放大器中都存在，其特点是当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输入信号变化而保持某一常值。饱和特性将使系统在大信号作用之下的等效增益降低，深度饱和情况下，甚至使系统丧失闭环控制作用。还有些系统中有意地利用饱和特性作信号限幅，限制某
9、些物理参量，保证系统安全合理地工作。,2. 饱和特性,间隙又称回环。传动机构的间隙 是一种常见的回环非线性特性。在齿轮传动中, 由于间隙存在, 当主动齿轮方向改变时, 从动轮保持原位不动, 直到间隙消除后才改变转动方向。铁磁元件中的磁滞现象也是一种回环特性。 间隙特性对系统影响较为复杂, 一般来说, 它将使系统稳态误差增大，频率响应的相位迟后也增大, 从而使系统动态性能恶化。 采用双片弹性齿轮(无隙齿轮)可消除间隙对系统的不利影响。,3. 间隙特性,由于继电器吸合电压与释放电压不等， 使其特性中包含了死区、回环及饱和特性。当a0时的特性称为理想继电器特性。继电器的切换特性使用得当可改善系统的性
10、能。 如从非线性环节的输出与输入之间存在的函数关系划分，非线性特性又可分为单值函数非线性与多值函数非线性两类。 例如死区特性、饱和特性及理想继电器特性都属于输出与输入间为单值函数关系的非线性特性。间隙特性和继电器特性则属于输出与输入之间为多值函数关系的非线性特性。,4. 继电器特性,.3 相平面法,一、相平面的基本概念 二、相轨迹的绘制 三、相轨迹和相平面的性质 四、线性系统的相轨迹 五、奇点类型 六、非线性系统小范围线性化 七、由相平面图求时间解 八、 非线性系统的相平面分析,一、相平面的基本概念,相平面法是状态空间法在二维空间特殊情况下的应用。它是一种通过图解法求解一阶或二阶线性或非线性系
11、统的准确方法。它可以给出某一平衡状态稳定性的信息和系统运动的直观图像。所以，它属于时间域的分析方法。 ,对于二阶时不变系统，可用以下常微分方程来描述：,设:,则:,相平面、相轨迹、相平面图,在相平面上表示系统运动状态的点 随时间移动所形成的轨迹，称作相轨迹。,以各种可能的初始条件为起点，所得到的相轨迹族，叫相平面图。,1. 解析法（适用于由较简单的微分方程描述的系统）,二、相轨迹的绘制,解：将微分方程写为：,表示的相轨迹方程为,两式相等：,设描述二阶系统的微分方程为：,其中A为由初始条件决定的常数。由相轨迹过程求得相应的相平面图为一族椭圆。,例：,我们知道，平面上任一光滑的曲线都可以由一系列短
12、的折线近似代替。等倾线是指相平面上相轨迹斜率相等的诸点的连线。 设斜率为，则：,即得等倾线方程：,2. 等倾线法,由该方程可在相平面上作一条曲线，称为等倾线。当轨迹经过该等倾线上任一点时，其切线的斜率都相等，均为 。取不同的时，可在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各噗处作斜率为的短直线以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切线方向场。,等倾线,例 绘制下列系统的相轨迹,解 系统方程可以改写为,令相轨迹斜率为，代入上式得到相轨迹的等倾线方程 ：,可见，等倾线是通过原点的直线簇，等倾线的斜率等于-2/(2+)，而则是在相轨迹通过等倾线处的斜率。,等倾线与相轨迹,设系统参数=0.5，1。求得对应于
13、不同k值的等倾线,在=-1和=-1.2的两等倾线之间绘制相轨迹时，一条短线段近似替代相轨迹曲线，其斜率取为起始等倾线的斜率，即1(如果稍微精确一点，可取两等倾线斜率的平均数，即1.1)。此短线段交=-1.2的等倾线于B点，近似认为此短线段AB是相轨迹的一部分。 同样，从B点出发, 在1.2和1.4 的两等倾线之间绘制斜率为1.2的短线段，它交1.4的等倾线于C点，近似认为此短线段BC是相轨迹的一部分。 重复上述作图方法, 依次求得折线ABCDE直至原点。 就用这条折线作为由初始点A出发的相轨迹曲线。,相轨迹绘制,上述作图方法，由于近似和作图误差，以及误差的逐步累积，因此结果可能误差较大。一般来
14、说，精确度取决于等倾线的密度和相轨迹本身斜率变化的快慢。 等倾线愈密，相邻等倾线的k值之差愈小，取短线段斜率引入的误差愈小，但作图的步骤增多，引入的累积作图误差增大，且作图的工作量增大，因此，等倾线的密度要适当，一般每隔510画一条等倾线为宜。 为提高作图精度，可采用平均斜率法，即取两条相邻等倾线所对应的斜率的平均值作为短线段的斜率。 对线性二阶系统，等倾线是一些直线。但一般来说，非线性系统的等倾线则是曲线或折线。,1. 相轨迹的斜率,三、相轨迹和相平面的性质,只要不同时满足 ，则斜率 是唯一确定的，从而通过该点只有一条相轨迹。,2. 奇点,3. 相轨迹的奇线 当非线性系统存在多个奇点时，将相
15、平面划分为具有不同运动特点的多个区域的特殊相轨迹叫奇线。,，则斜率 是不确定值的，从而通过该点不止一条相轨迹。此时，系统处于静止状态，故为系统的平衡状态点，也叫相平面的奇点。,4. 相轨迹的运动方向,上半平面， ，为x增大方向，运动方向从左向右。,下半平面， ，为x减小方向，运动方向从右向左。,当非线性系统存在多个奇点时，奇点的类型只能决定该奇点附近系统的运动行为，而整个系统的的运动状态，即相轨迹特别是离奇点较远的部分，还取决于多个奇点的共同作用，有时会产生特殊的相轨迹，将相平面划分为具有不同运动特点的多个区域。这种特殊的相轨迹称为奇线。最常见的奇线是极限环。 相平面上如果存在一条孤立的相轨迹
16、, 而且它附近的其他相轨迹都无限地趋向或者离开这条封闭的相轨迹, 则这条封闭相轨迹为极限环。它把相平面分隔成内部平面和外部平面两个部分。任何一条相轨迹都不能从内部平面穿过极限环而进入外部平面, 也不能从外部平面穿过极限环而进入内部平面。,5. 极限环和极限环的类型,根据极限环邻近相轨迹的运动特点，可将极限环分为三种类型：稳定的极限环、不稳定的极限环、半稳定的极限环。 如果起始于极限环邻近范围的内部或外部的相轨迹最终均卷向极限环, 则该极限环称为稳定的极限环, 其内部及外部的相轨迹均为极限环的稳定区域。稳定的极限环对状态微小的扰动具有稳定性。系统沿极限环的运动表现为自持振荡。,(1) 稳定的极限
17、环,如果起始于极限环邻近范围的内部或外部的相轨迹最终均卷离极限环, 则该极限环称为不稳定极限环。 不稳定的极限所表示的周期运动是不稳定的。因为即使系统状态沿极限环运动, 但状态的微小扰动都将使系统的运动偏离该闭合曲线, 并将永远回不到闭合曲线。不稳定极限环的邻近范围其内部及外部均为该极限环的不稳定区域。 ,(2) 不稳定的极限环,如果起始于极限环邻近范围的内部相轨迹均卷向极限环, 外部相轨迹均卷离极限环; 或者内部相轨迹均卷离极限环, 外部相轨迹均卷向极限环, 则这种极限环称为半稳定极限环。对于半稳定极限环, 相轨迹均卷向极限环的内部或外部邻域称为该极限环的稳定区域, 相轨迹均卷离极限环的内部
18、或外部邻域称为该极限环的不稳定区域。同样， 半稳定极限环仪表的等幅振荡也是一种不稳定的运动。因为即使系统状态沿极限环运动, 但状态的微小扰动都将使系统的运动偏离该闭合曲线, 并将永远回不到闭合曲线。,(3) 半稳定的极限环,1、线性一阶系统的相轨迹,四、线性系统的相轨迹,描述线性一阶系统自由运动的微分方程为：,相轨迹方程为：,设系统初始条件为：,线性一阶系统的相轨迹,可见，相轨迹位于过原点，斜率为-1/T的直线上。 当T0时，相轨迹该直线收敛于原点；当T0时，相轨迹沿该直线发散至无穷。,2、线性二阶系统的相轨迹,描述线性二阶系统自由运动的微分方程为：,线性二阶系统的特征根为：,当b0时，方程可
19、写为：,相轨迹方程为：,并令：,等式倾线方程为：,其中k为等倾线的斜率。,（1）a2-4b0，且b不为0,有两条特殊的等倾线，其斜率为：,此式表明，特殊的等倾线的斜率等于位于该等倾线上相轨迹任一点的切线斜率，即当相轨迹运动至此等倾线上时，将沿着等倾线收敛或发散，而不可能脱离该等倾线。,（2）b0,系统特征根：,系统有一个正实根，有一个负实根，系统是不稳定的，其相轨迹呈鞍形，中心是奇点，这种奇点称为鞍点。,图中两条特殊的等倾线是相轨迹，也是其他相轨迹的渐近线，此外作为相平面的分隔线，还将相平面划分为四个具有不同运动状态的区域。,（3）b=0,系统特征根：,相轨迹微分方程为：,运用积分法求得相轨迹
20、方程：,可见，当a0时，相轨迹收敛并最终停止在c轴上；当a0时，相轨迹发散至无穷，系统不稳定。,（4） a2-4b0 ，b0,上两式比较，取：, 01时： 为具有负实部的共轭复根。,其相轨迹呈螺旋线型，轨迹簇收敛于奇点，这种奇点称为稳定焦点。系统稳定。, 1,系统有两个负实根。系统的零输入响应为非振荡衰减开式，存在两条特殊的等倾线，其斜率分别为：,相平面内的相轨迹簇无振荡地收敛于奇点，这种奇点称为稳定节点，系统稳定。 , =1,相轨迹的渐近线即特殊等倾线蜕化为一条，不同初始条件的相轨迹最终将沿着这条特殊的等倾线趋于原点，系统稳定。 ,系统有两个负实根，并有：, =0,系统有两个共轭的纯虚根,用
21、解析法可得系统的相轨迹方程为：,系统为等幅振荡运动状态，其相轨迹为一簇围绕奇点的封闭曲线，这种奇点称为中心点。, -10,当10时，系统有一对正实部的共轭复根，系统不稳定，其相轨迹也呈螺旋线型，但轨迹簇发散至无穷，这种奇点称为不稳定焦点。, = -1,当 1时，系统有两个正实根，系统不稳定，相平面内的相轨迹簇直接从奇点发散出来，这种奇点称为不稳定节点。,五、奇点类型小结,当01时，系统有一对负实部的共轭复根, 系统稳定， 其相轨迹呈螺旋线型，轨迹簇收敛于奇点，这种奇点称为稳定焦点。当1 0时，系统有一对正实部的共轭复根，系统不稳定，其相轨迹也呈螺旋线型，但轨迹簇发散至无穷，这种奇点称为不稳定焦
22、点。,奇点和奇点的类型,当 1时，系统有两个负实根，系统稳定，相平面内的相轨迹簇无振荡地收敛于奇点，这种奇点称为稳定节点。 当 1时，系统有两个正实根，系统不稳定，相平面内的相轨迹簇直接从奇点发散出来，这种奇点称为不稳定节点。,奇点和奇点的类型,当阻尼比 0时, 系统有一对共轭虚根, 系统等幅振荡, 其相轨迹为一簇围绕奇点的封闭曲线, 这种奇点称为中心点。,系统有一个正实根, 有一个负实根, 系统是不稳定的, 其相轨迹呈鞍形, 中心是奇点, 这种奇点称为鞍点。,综上所述，对应不同的阻尼比，系统的两个特征根在复平面上的分布也不同，系统的运动以及相平面图也不同，换言之，特征根在复平面的位置决定了奇
23、点的性质。二阶线性系统的相轨迹和奇点的性质，由系统本身的结构与参量决定，而与初始状态无关。 不同的初始状态只能在相平面上形成一组几何形状相似的相轨迹，而不能改变相轨迹的性质。由于相轨迹的性质与系统的初始状态无关，相平面中局部范围内相轨迹的性质就有决定性意义，从局部范围内相轨迹的性质可以推知全局。,在非线性系统中，稳定性分析是针对奇点而言的，在分析中特别关心的是奇点的稳定性和奇点附近的运动。 相平面法的任务之一就是分析奇点附近运动的特性。,它对应于二阶线性微分方程式。,六、非线性系统小范围线性化,对非线性系统在奇点附近展成泰勒级数：,解 系统方程可以改写为：,特征根为0.25j1.39，故奇点(
24、0, 0)为稳定焦点。,例：,在(-2,0)点附近，令x*=x+2，则系统方程为,特征根为1.19和1.69, 故奇点(-2,0)为鞍点。,图中相交于鞍点的两条相轨迹为奇线，将相平面分为两个区域，相平面图中阴影线内区域为系统的稳定区域，其外区域为系统的不稳定区域。 此例说明，非线性系统的运动及其稳定性与初始条件有关。,相轨迹是消去时间后画出的，尽管它直观地给出了系统状态的运动轨迹，但却将时间信息隐含其中，使时间信息变得不直观了。有时我们希望给出时间响应以便得到与时间有关的性能指标，这就需通过相轨迹求出时间信息。,通过积分可得：,七、由相平面图求时间解,可通过以下方法求出时间信息：,当然，对于无
25、解析解的情况，也可以通过选取合理的增量，变成下式求出时间：,许多与信号有关的非线性控制系统由分区线性系统构成。 所以对这类非线性系统可以按照非线性特性将相平面划分为几个区域，每个区域对应一个线性系统。分析每一个线性系统奇点的性质，并结合某种作图方法就可以绘制出该区域内的相轨迹。 线性系统的奇点如果在线性系统对应的区域内，就称为实奇点，否则称为虚奇点。因为虚奇点对应的运动方程不适用于该虚奇点所在的区域，所以即使虚奇点是稳定的，运动也无法到达该虚奇点。,八、非线性系统的相平面分析,非线性系统方框图如图,并有：,1. 具有死区特性的非线性系统分析,线性部分的系统方程为：,即：,所以微分方程为：,或：
26、,m和e的关系分为3个线性段：,所以：,可见，e=-和e=为死区特性的转折点，亦为相平面的开关线。,当输入为阶跃信号： 代入，得：,若给定参数T=1，Kk=1，根据线性系统的相轨迹分析结果可得奇点类型：,e-：奇点（-，0）为稳定焦点，相轨迹为向心螺旋线。,-e：奇点（x，0）为稳定焦点，相轨迹沿直线收敛。,e：奇点（，0）为稳定焦点，相轨迹为向心螺旋线。,相轨迹,若用比例环节k=1代替死区特性，即无死区影响时，线性二阶系统的相轨迹如图中虚线所示：,非线性系统方框图如图,并有：,2. 具有饱和特性的非线性系统分析,则， 线性部分的系统方程为,即：,所以微分方程为,或：,m和e的关系分为3个线性
27、段：,所以：,可见，开关线 e=-e0和e=e0将相平面分为负饱和区、线性区和正饱和区。,下面分别研究系统阶跃输入和斜坡输入作用下的相轨迹：,可见，两个饱和区均可表示为：,则：,因此相轨迹无奇点，等倾线方程 为一簇平行于横轴的直线，即等倾线的斜率为0，此时有两条特殊等倾线：=0，k=0，且,其特征方程根为 ，奇点为稳定焦点，系统稳定！相轨迹如图：,线性区：,当 时，线性区有一个奇点（0，0）。,此时：,相轨迹：,可见，两个饱和区均可表示为：,则：,因此相轨迹无奇点，等倾线方程 为一簇平行于横轴的直线，即等倾线的斜率为0，此时有两条特殊等倾线：=0，k=0，且,线性区：,当 时，线性区有一个奇点
28、 为稳定焦点；,奇点位置向右平移，而等倾线分别向上下平移，因此对于相同的初始条件相轨迹将变得比较复杂：,负饱和区内特殊的等倾线为 ；,正饱和区内特殊的等倾线为 ；,相轨迹奇点（0.3，0）为稳定焦点，且为虚奇点，饱和区的两条特殊的等倾线均位于相平面的上半平面，起始于任何初始点的相轨迹将沿正饱和区的特殊相轨迹发散至无穷。,相轨迹奇点（0.1，0）为稳定焦点，且为实奇点，负饱和区和正饱和区的两条特殊的等倾线分别位于相平面的上下半平面，超始于任何初始点的相轨迹最终都收敛于该奇点，系统的稳态误差为0.1。,相轨迹奇点（0.2，0）为稳定焦点，为实奇点，且位于开关线 e=e0 上，正饱和区的线性微分方程
29、为： 该区域内的相轨迹是斜率为-1/T的直线，横轴上大于e0的点均为奇点，起始于任何初始点的相轨迹最终都落在ee0的横轴上，系 统存在稳态误差， 其稳态误差取决于 初始条件 。,分析图示的机械系统其运动特性，其中物体m受到弹簧力和库仑摩擦力。,即：,例：,解： 系统可表示为,积分并整理得,其中，C为积分常数。,机械系统的相轨迹,图示的是某角度随动系统的方块图，其中执行电机近似为一阶惯性环节，增益K1(e)是随信号大小变化的，大信号时的增益为1，小信号时的增益为k(k1)，其特性如下图所示。,例：,分析输入为阶跃信号和斜坡信号时的系统运动情况。,解 线性部分的系统方程为,所以微分方程为：,非线性
30、特性的表达式为：,由于e和m的关系分为3个线性段，在|e|e0时斜率均为1，在|e|e0时斜率均为k1，所以尽管在相平面上有3个区域(记为,和)，但系统只有两个不同的微分方程。假设系统原来处于静止状态, 便可令 。,奇点为e=0, e=0，即原点。所以对中间区域，它是实奇点；对两边的区域，它是虚奇点。 通过选K和T值，使 1-4kKT0，且使1-4KT0。不妨设T=1, K4, k0.062, e0=0.2。输入较大时，如|e|e0，起始点在两边的区域，1-4KT0，为欠阻尼，所以原点是稳定焦点；输入较小时，如|e|e0，起始于中间的区域，1-4kKT0，为过阻尼，故原点是稳定节点。,.,(1
31、) 阶跃输入r(t)1(t),阶跃输入下的相轨迹,由A点出发的运动以原点 为稳定焦点，但到达边界的B 点后，原点又变成了稳定节点。 CD段时原点又为稳定焦点。如此每经过边界时，都改变运动的性质，只有最后进入区域，沿DO段渐近收敛到原点。在这种情况下，调节过程可以加快。因为误差信号较大时，系统为欠阻尼，运动速度较快，所以使误差很快变小；而误差变小后，系统为过阻尼，可以避免振荡。,(2) 斜坡输入r(t)RVt,这时P2=V/(kK)e0，为实奇点；P1=V/Kke0e0，为虚奇点。,又V=0.04，所以P2=V/(kK)=0.16，P1=V/(K)=0.01。其相轨迹如图所示。运动在到达边界进入
32、中间区域后改变性质，P2代表稳定的实节点，所以运动收敛到P2，因此稳态误差ess= P2 。, VkKe0,设r(t)0.30.04t，则：,这时P2=V/(kK)e0，所以是虚奇点；P1=V/Ke0，也是虚奇点。, kKe0VKe0,设r(t)0.4t，则：,斜坡输入下的相轨迹,又V0.4，所以P2V/(kK)1.6，P1V/(K)0.1。 因为两个奇点都是虚奇点，运动无法收敛到任何奇点，每到达边界便改变运动方程，最后将终止在边界处，因此稳态误差ess=e0。, VKe0,这时P2V/(kK)V/Ke0 是虚奇点；P1V/Ke0是实奇点。,斜坡输入下的相轨迹,又V=1.2，所以P2=V/(k
33、K)=4.7，P1=V/(K)=0.3。初始点A在区域内，所以系统向P2稳定节点运动，而一旦运动到边界，进入区域后，系统便向P1稳定焦点运动，如此在e0=0.2线两边穿越，直至收敛到P1点，因此稳态误差ess= P1 。,7.3 描 述 函 数 法,一、 定义对于线性系统, 当输入是正弦信号时，输出稳定后是相同频率的正弦信号，其幅值和相位随着频率的变化而变化，这就是利用频率特性分析系统的频域法的基础。对于非线性系统，当输入是正弦信号时，输出稳定后通常不是正弦的，而是与输入同频率的周期非正弦信号，它可以分解为一系列正弦波的叠加，其基波频率与输入正弦信号的频率相同。 ,设非线性环节的正弦输入为x(
34、t)=Asint，则输出为：,n1, 2, ,其中，,令,假定非线性环节关于原点对称，则输出的直流分量为零，即A0=0,由于系统通常具有低通滤波特性，其他谐波各项比基波小，所以可以用基波分量近似系统的输出：,y(t)=A1 cost+B1 sint=Y1sin(t+1),定义非线性环节的描述函数为非线性环节输出的基波与输入信号二者的复数符号的比值，即,N为描述函数，A是正弦输入信号的幅值，Y1是输出信号基波的幅值，1为输出信号基波与输入信号的相位差。,描述函数,如果非线性环节中不包含储能机构(即非记忆)，即N的特性可以用代数方程(而不是微分方程)描述，则y(t)与频率无关。 描述函数只是输入信
35、号幅值A的函数，即N=N(A)，而与无关。,当输入为正弦信号x(t)=A sint时，其输出波形如下图所示。根据输出波形, 饱和非线性环节的输出由下式表示：,二、典型非线性环节的描述函数,1. 饱和特性,根据,饱和特性的描述函数,当输入A幅值较小，不超出线性区时，该环节是个比例系数为k的比例环节，所以饱和特性的描述函数为,可见，饱和特性的描述函数N与频率无关，它仅仅是输入信号振幅的函数。,2. 死区特性,输出的时间函数表示为：,因,代入上式有：,死区特性的描述函数,当输入A幅值小于死区a时，输出为零，因而描述函数N也为零，故死区特性描述函数为,可见，死区特性的描述函数N也与频率无关，只是输入信
36、号振幅的函数。,3. 继电器特性,输出的时间函数表示为：,因a=A sin, ma=A sin, 且Aa。,取a=0， 得理想继电器特性的描述函数为,继电器特性的描述函数,取m=1，得死区继电器特性的描述函数为,取m=-1，得滞环继电器特性的描述函数为,4. 间隙特性,式中，=arcsin(1-2a/A),其输出的时间函数表示为,因此，间隙特性的描述函数为：,(Aa),对于图示的非线性系统，G(s)表示的是系统线性部分的传递函数，线性部分具有低通滤波特性，故其极点位于复平面的左半平面。N表示系统非线性部分的描述函数。当非线性环节的输入为正弦信号时，实际输出必定含有高次谐波分量，但经线性部分传递
37、之后，低通滤波的作用，高次谐波分量将被大大削弱，因此闭环通道内近似地只有一次谐波分量，从而保证应用描述函数分析方法所得的结果比较准确。对于实际的非线性系统，大部分都容易满足这一条件。线性部分的阶次越高，低通滤波性能越好。,三、利用描述函数法分析非线性系统稳定性,线性系统的频率特性反映正弦信号作用下，系统稳态输出中与输入同频率的分量的幅值和相位相对于输入信号的变化，是输入正弦信号频率的函数；而非线性环节的描述函数则反映非线性系统正弦响应中一次谐波分量的幅值和相位相对于输入信号的变化，是输入正弦信号幅值A的函数，这正是非线性环节的近似频率特性与线性系统频率特性的本质区别。 ,其特征方程为,1+NG
38、(j)=0,对于图示系统，有,当G(j)=-1/N时，系统输出将出现自持振荡。这相当于在线性系统中，当开环频率特性G0(j)=-1时，系统将出现等幅振荡，此时为临界稳定的情况。 上述-1/N即-1/N(A)称为非线性环节的负倒描述函数，-1/N(A)曲线上箭头表示随A增大，-1/N(A)的变化方向。 对于线性系统，我们已经知道可以用奈氏判据来判断系统的稳定性。在非线性系统中运用奈氏判据时，(-1, j0)点扩展为-1/N曲线。,非线性系统奈氏判据应用,对于图 (a)，系统线性部分的频率特性G (j)没有包围非线性部分负倒描述函数-1/N的曲线，系统是稳定的； 图(b)，系统G (j)轨迹包围了
39、-1/N的轨迹，系统不稳定； 图 (c)，系统G(j)轨迹与-1/N 轨迹相交，系统存在极限环。,例：,已知非线性系统的结构图，试分析系统的稳定性。,解： 前面已推导出饱和非线性的描述函数为：,则当Aa时，-1/N=-1/k，当A时，-1/N=-。 对于线性部分：当0时，G(j)=-90；当+时,G(j)=0-270。G(j)奈氏曲线与负实轴有一交点， 交点坐标为(-KT1T2/(T1+T2), j0)， 交点频率为 。,分析：,饱和非线性描述函数的负倒特性曲线和线性部分频率特性的奈氏曲线如图所示：,稳定极限环,当线性部分放大倍数K充分大，使得KT1T2/(T1+T2)1/k时，G(j)与-1
40、/N曲线相交，产生极限环。当扰动使得幅值A变大时，-1/N上该点A移到交点左侧B点，使得G(j)曲线不包围B点，系统稳定，于是其幅值逐渐变小，又回到交点A。当扰动使得幅值A变小时，A点移到交点右侧C点，使得G(j)曲线包围C点，系统不稳定，于是其幅值逐渐变大，同样回到交点A。 因此，该极限环为稳定极限环，其极限环的频率等于A点的频率 ，其极限环的幅值对应-1/N 的A点的幅值。,稳定极限环和不稳定极限环，都是系统所不希望的。对于上述系统，只要使线性部分放大倍数K小到使KT1T2/(T1+T2)1/k，则系统的G(j)与-1/N没有交点，就不会产生极限环。,稳定极限环和不稳定极限环,例：,已知非
41、线性系统的G(j)曲线与-1/N曲线如图所示，试分析其稳定性。,解 （1）如果系统工作在A点， 当遇到扰动使工作点运动到D点附近， 由于G(j)曲线没有包围该点，系统稳定， 其幅值逐渐变小，越来越远离A点； （2）当扰动使工作点离开A点到C点附近，由于G(j)曲线包围了该点，系统不稳定，其幅值逐渐变大，同样远离A点，向B点的方向运动，因此A点是不稳定的极限环；,（3）如果系统工作在B点，当遇到扰动使工作点运动到E点附近，由于G(j)曲线没有包围该点，系统稳定，其幅值变小，工作点又回到了B点；（4）当扰动使工作点运动到F点附近，由于G(j)曲线包围了该点，系统不稳定，其幅值变大，同样回到B点，因
42、此B点是稳定的极限环。,稳定极限环和不稳定极限环,解：,(1) 将非线性系统化成典型结构图； (2) 由定义求出非线性部分的描述函数N ； (3) 在复平面作出G(j)和-1/N的轨迹； (4) 判断系统是否稳定, 是否存在极限环； (5) 如果系统存在极限环, 进一步分析极限环的稳定性, 确定它的频率和幅值。,用描述函数法分析系统稳定性的步骤：,用描述函数法设计非线性系统时, 很重要的一条是避免线性部分的G(j)轨迹和非线性部分-1/N的轨迹相交, 这可以通过加校正实现。,一般闭环的工作台位置随动系统，通常存在着齿轮间隙，直流伺服电机从输入电压到输出转速的传递函数是二阶的，从转速到转角是纯积
43、分环节，其他部分可以认为是比例环节，其系统结构图如图所示。,含齿轮间隙的位置随动系统,非线性系统稳定性的改进,分析：如果系统比例系数K充分大，则G(j)与-1/N曲线相交，如图(a)所示。 如果减小系统比例系数K，系统可以稳定且不存在极限环，如图 (b)所示。 如果系统加超前校正, 系统也可以稳定并存在极限环，如图 (c)所示。,小 结,1、非线性系统不能运用叠加原理。在工程上目前还没有一种通用的方法可以顺利地解决所有非线性问题。本章介绍了非线性系统分析的两种方法：相平面法和描述函数法，它们都是用工程作图的方法分析解决问题。 2、相平面法适用于二阶系统，不仅可以判断稳定性、自持振荡，还可以计算动态响应。高于二阶的系统用相平面法就失去了它的直观性。 应当会画系统的相轨迹，并应用相轨迹分析系统的性能。,3、描述函数法只适用于非线性程度较低和特性对称的非线性元件，还要求线性部分具有良好的低通滤波特性。 描述函数的核心是计算非线性特性的描述函数和它的负倒特性。由于描述函数是对系统状态的周期运动的描述，一般没有考虑外作用，所以只能分析稳定性和自持振荡，而不能得到系统的响应。,小 结,
