1、中学数学概念课型及其教学设计 （高中版）,广州市教育研究院 谭国华（数学正高级教师、特级教师）,2017年5月26日,中学数学概念课型及其教学设计,内容导引 通过本讲座，期望听讲者能大致了解： 1.中学数学课型的划分； 2.中学数学课型的教学意义； 3.数学概念教学与中学数学概念课型； 4.中学数学概念课型的课堂教学结构； 5.中学数学概念课型的教学设计。,中学数学课型的划分,课型，亦即课的类型。 我国中学数学教师有按课型组织教学的传统。 人民教育出版社1980年9月出版发行的高等学校试用教材中学数学教材教法总论（十三院校协编组编）对我国中学数学课的类型作出如下说明：“依据每堂课的主要教学目的
2、和任务，可以将课堂教学分为以下几种主要类型：新授课、练习课、复习课、讲评课。”同时，该书还对四种主要课型的结构和特征作了介绍。 该书对文革后我国中学数学教师的教学产生了较大的影响，为规范中学数学课堂教学发挥了一定的作用。 但该书对中学数学课型的结构和特征的介绍受到当时数学教育理论研究成果的局限，因而对中学数学教学的指导作用非常有限，而且其中的新授课也并非一种基本课型。,中学数学课型的划分,广州市中学数学教育界在广州市教育局教研室中学数学科的带领下，从1998年至现在，持续19年开展关于中学数学课型的研究，并不断取得创新性成果。 19年的研究，大概可以分为两个阶段。第一阶段：1998年至2006
3、年。主要研究成果：1.进一步明确了课型的概念。课型：主要是指课的类型，是根据一节课（有时是连续的两节或三节课）承担的主要教学任务来划分的，但同时它也兼具课的模型的含义。2.提出了中学数学五种基本课型：概念课、命题课、解题课、复习课、讲评课，并对这五种基本课型的结构和特点进行了研究。但是这种研究主要是优秀教师教学经验的归纳总结，缺乏科学理论的指导。,中学数学课型的划分,19年的研究，大概可以分为两个阶段。第二阶段：2007年至现在。根据国际和国内科学心理学发展的最新成就，进一步优化数学课型的研究成果。1.精选科学心理学有关理论，最主要是学习心理学、发展心理学和教学心理学的成果，整合为一个统一的理
4、论体系，以便为数学课型研究奠定坚实的科学基础。100多年前科学心理学萌芽，20世纪60年代后，科学心理学特别是学习心理学研究获得迅猛发展，与教学的联系日益紧密。至本世纪初，科学心理学的有关理论已能较好的用于解释中小学绝大多数的学与教的规律问题。我们所选的理论主要包括：奥苏贝尔的有意义言语学习理论、加涅的学习分类与学习条件理论、安德森的陈述性知识与程序性知识相互作用理论、班杜拉的观察学习理论以及他后来发展出来的社会认知理论、修订后的布卢姆教育目标分类理论、林崇德思维发展理论、皮连生目标导向教学设计理论，等等。,中学数学课型的划分,19年的研究，大概可以分为两个阶段。第二阶段：2007年至现在。根
5、据国际和国内科学心理学发展的最新成就，进一步优化数学课型的研究成果。2.结合科学心理学有关理论，充分考虑到数学和数学教育的特点，包括优秀数学教师的经验和中国数学教育的优良传统，进一步明确中学数学基本课型及其特点。具体包括：（1）进一步明确了研究课型的目的：是为了研究某一类课的课堂教学结构，为教学设计奠定坚实的理论基础。（2）重新规范了课型的划分：初步形成了中学数学教学目标分类系统，并据此进一步将中学数学基本课型划分为五种：概念课、规则课、解题课、复习课、测评课。（附件1）,中学数学课型的划分,19年的研究，大概可以分为两个阶段。第二阶段：2007年至现在。根据国际和国内科学心理学发展的最新成就
6、，进一步优化数学课型的研究成果。（3）依据科学心理学的有关理论和数学的学科特点，确定了每一种课型的课堂教学结构：包括两方面的内容：一是该类课承担的主要教学任务；二是该类课的基本教学过程。（4）近十年，依据新的课型理论的教学设计经受了教学实践的检验。,中学数学课型的教学意义,教学意义我们的教学实践证明，我们关于中学数学课型的最新研究成果能促进中学数学教师教学能力的提高，特别是能促进年轻数学教师较快地的成长。具体表现在三个方面：1.为中学数学教师进行教学设计奠定基础。2.为中学数学课堂教学评价提供依据。3.为解释优秀教师的教学经验提供理论依据，使优秀教师做到知其然，更知其所以然，从而使得这些教师的
7、教学经验变得更易复制与迁移。 当然，我们的研究成果还有许多方面需要进一步加以完善，我们会不断努力。也希望得到更多的专家学者的指导。,数学概念教学与中学数学概念课型,数学概念及其教学 数学概念的类型1. 原始概念：不能通过下定义的方式获得。例如：高中数学中的点、直线、平面、空间、集合、元素、对应等概念。2.定义性概念：高中数学中的定义性概念一般不能通过直接观察习得，必须通过下定义的方式才能揭示其所指的一类事物的共同本质属性（即共同特征）。例如：函数、映射、数列、不等式、椭圆、双曲线、抛物线、直线与平面平行、直线与平面垂直、棱柱、圆锥、球等。,数学概念及其教学 数学概念的教学 数学概念在本质上属于
8、智慧技能，即属于程序性知识。程序性知识的学习一般要经历三个阶段，即理解阶段、转化为技能阶段、促进应用与迁移阶段。因而，从理论上来说，数学概念的教学也必须经历三个阶段。 （附件2） 有些数学概念的教学重在学生的理解，而且不需要单独设课，只需结合其它数学内容一起讲授的。例如：（1）原始概念，如点、直线、平面、空间、集合、元素、对应等；（2）大部分与数学术语有关的定义性概念，如两个集合相等、两条直线互相平行、直线与平面垂直等；（3）部分较为次要的定义性概念，如区间，映射，分段函数等。 有些数学概念的教学是需要学生完整经历学习的三个阶段，应该单独设课讲授的。如指数函数、对数函数、椭圆、双曲线、抛物线、
9、等差数列、等比数列等。,数学概念教学与中学数学概念课型,中学数学概念课型 我们将中学数学教学中需要单独设课讲授的定义性概念课统称为中学数学概念课型。 标准的数学概念课型：指需要单独设课讲授，而且需要学生经历完整的三个学习阶段（即理解阶段、转化为技能阶段、促进应用与迁移阶段）的定义性概念课。例如：指数函数、对数函数、椭圆、双曲线、抛物线、等差数列、等比数列等。 特殊的数学概念课型（也称非标准的数学概念课型）：指需要单独设课讲授，但重在学习的第一阶段即理解阶段的定义性概念课。例如：集合间的基本关系（子集概念），柱、锥、台、球的结构特征等。这样一类概念的教学并非不需要学生经历学习的三个阶段，只不过后
10、两个阶段的学习不是单独进行，而是结合其它教学内容一起完成的。,数学概念教学与中学数学概念课型,标准的数学概念课型的主要教学任务数学概念课型的主要教学任务是使学生掌握概念所反映的一类事物的共同本质属性，以及运用概念去办事，去解决问题. 因此，高中数学概念学习主要应作为程序性知识学习.具体说来，有三项任务：一是要明确数学概念是什么，包括概念的名称、定义、例证；（是什么和为什么）二是要辨明相关概念间的关系，以及分析概念具有的重要属性或特征；（有什么）三是要运用概念去办事，即将习得的数学概念运用到各种具体情境中去解决相应的问题。（怎么办）特殊的数学概念课型主要是第一、二两项任务。,中学数学概念课型的课
11、堂教学结构,标准的数学概念课型的基本教学过程（特殊的数学概念课型只需第一阶段）第一阶段：习得阶段（形成概念的陈述性表征形式）主要教学任务是帮助学生习得数学概念，明确数学概念是什么，重点是：促进学生对所学数学概念的理解。教学中，帮助学生习得数学概念一般需要做好下面四件事情。首先，揭示概念所反映的一类事物的本质属性，给概念下定义；其次，辨别概念的正例和反例，并结合定义给予恰当的说明；再次，用不同的语言形式对概念加以解释，如将概念的定义由文字语言表述转换为用符号语言或图形语言表述；最后，对概念做深入分析，着重在以下四点：辨明所学数学概念与原有相关数学概念之间的关系；分析所学数学概念的其它一些重要属性
12、或特征；分析所学数学概念及其形成过程中蕴含的数学思想方法；分析所学数学概念及其形成过程中蕴含的情感教育内容。当然，并非每一个数学概念的教学都要完成所有这些事情.对于一些简单的、次要的数学概念，有时只需完成前三件事情就可以了。习得概念的基本形式有两种：一种叫概念形成（归纳方式），另一种叫概念同化（演绎方式）。 （附件3）,中学数学概念课型的课堂教学结构,标准的数学概念课型的基本教学过程第二阶段：转化阶段（转化为在典型情境下办事的技能）若要运用概念对外办事，则还需将它转化为程序性形式，也就是转化为办事的技能.这是本阶段的主要教学任务，重点是：在老师的指导下，明确运用概念办事的典型情境和基本程序，并
13、在一些典型的情境中尝试运用概念。转化的关键条件是要提供变式练习.运用数学概念办事大致可分两种情况：一种是为数学概念自己办事，解决与数学概念本身有关的问题；另一种是运用概念的本质属性和一些重要的非本质属性去解决有关数学运算、推理、证明问题以及解决实际问题。第三阶段：迁移与应用阶段（转化为在一般情境下办事的技能）这是第二阶段的延伸.通过变式练习，学生已能在一些典型的情境中运用概念，已初步形成运用概念对外办事的技能.本阶段的重点是：进一步提供概念应用的新情境，以促进迁移，其关键条件是提供综合练习。综合练习中问题的类型或情境应多样化，和第二阶段相比有类似的，也有新的呈现，以有效地帮助学生在不同情境中独
14、立运用概念解决问题。这一阶段既可在课内完成，也可在课外完成，但通常都要反复多次才能完成。,中学数学概念课型的课堂教学结构,教学任务分析 在教学设计之前，要进行任务分析。 任务分析是指在开始教学活动之前，预先通过对教材和学情的分析，依据学习与教学原理，确定教学目标，选择与运用教学策略，以便为教学设计奠定坚实的科学基础。 任务分析的基本内容：第一、单元整体分析：1.通读本单元教材，阅读课标和教学参考书的相应部分（初高中还要包括高考中考考纲和试题），在课程层面明确本单元的地位与作用，以及相关教学要求；2.分析本单元教学内容是否要整合或重组，课时如何划分与安排。第二、单课教材分析： 根据每课时承担的主
15、要教学任务及所属的知识类型，确定课型，并根据本课所属课型，确定本课承担的具体教学任务。第三、学生情况分析：分析学生的起点状态，在学生层面明确本课合适的容量、难度及有关教学要求。第四、陈述教学目标。第五、选择与运用教学策略：包括安排教学过程，选择与运用合适的教学方式、方法、手段等。 (附件4),中学数学概念课型的教学设计举例,教学设计的基本流程,中学数学概念课型的教学设计举例,案例1：直线的一般式方程（高中数学必修2第三章）单元整体分析教材内容：第3.2节 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程（包括斜截式方程）3.2.2 直线的两点式方程（包括截距式方程）3.2.3 直线的一般式方程课程标准：
16、根据确定直线位置的几何量，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。考试大纲：掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。,中学数学概念课型的教学设计举例,案例1：直线的一般式方程（高中数学必修2第三章）单元整体分析教材内容：第3.2节 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程（包括斜截式方程）3.2.2 直线的两点式方程（包括截距式方程）3.2.3 直线的一般式方程学业水平考试和高考中涉及本单元的试题大致有四种类型：1.直线的方程中系数的不同取值与直线的位置之间的关系；2.直线方程的特殊形式
17、与一般式互化；3.待定系数法求出直线方程；4.在有关综合问题中，运用直线方程的适当形式解决问题。,中学数学概念课型的教学设计举例,案例1：直线的一般式方程（高中数学必修2第三章） 第3.2节 直线的方程 单课教材分析 教材内容：（3.2.3 直线的一般式方程） 1.直线与二元一次方程的关系； 2.定义直线的一般式方程； 3.讨论方程中系数的不同取值对直线位置的影响； 4.例题和练习题。 例5：求直线的点斜式方程与一般式方程； 例6：由直线的一般式方程求直线的斜率和截距； 练习1、2、3；习题3.2。 课型分析：本单元的三节教学内容均为数学概念课型。 学生情况分析：本课难度不大，完全可以一步达到
18、高考要求。,中学数学概念课型的教学设计举例,案例1：直线的一般式方程（高中数学必修2第三章）教学目标掌握直线的一般式方程，包括：（1）能简要说明直线与二元一次方程的关系；（2）能准确写出直线的一般式方程，并能举例说明；（3）能对直线的一般式方程中系数的不同取值与直线的位置之间的关系进行讨论，以及能将直线的几种特殊形式的方程转化为一般式方程；（4）能运用待定系数法求出直线方程，以及能运用直线方程的适当形式解决有关的数学问题。教学过程：需按数学概念课型的教学过程来设计。,中学数学概念课型的教学设计举例,案例1：直线的一般式方程基本教学过程,第一阶段：习得阶段（习得概念的陈述性表征形式）（1）引起注
19、意，解读教学目标，并给予学习指导。（2）复习原有知识。（直线的四种特殊形式的方程及其注意事项）（3）采用概念同化（演绎方式）的方式习得直线的一般式方程的概念。（阐明直线与二元一次方程的关系；给直线的一般式方程下定义并分析定义；辨析正反例，区分直线方程的一般式与特殊形式、直线方程与非直线方程。）,中学数学概念课型的教学设计举例,案例1：直线的一般式方程基本教学过程,第二阶段：转化阶段（转化为在典型情境下办事的技能） （4）学习样例，并提供变式练习，同时提供反馈。题型1：将直线的特殊形式的方程转化为一般式方程；题型2：对直线一般式方程中系数的不同取值与直线的位置之间的关系进行讨论；题型3：运用待定
20、系数法求直线方程；题型4：运用直线方程的适当形式解决有关的数学问题。第三阶段：迁移与应用阶段（转化为在一般情境下办事的技能）（5）提供综合练习，促进迁移。（综合练习题与例题及变式练习题有相似的和不同的情境）,中学数学概念课型的教学设计举例,案例2-1：对数函数及其性质教学目标（需修改）,1、知识与技能：（1）理解对数函数的概念。（2）掌握对数函数的图像和性质，并进行简单的应用。 2、过程与方法：（1）形成数学交流能力和与人合作意识； （2）用联系的观点提出问题、分析问题、解决问题；（3）从对数函数的学习中渗透数形结合、类比归纳、分类讨论的数学思想。 3、情感态度价值观：（1）类比指数函数通过图
21、像研究对数函数的图象和性质，体会知识之间的有机联系，激发学习兴趣。（2）在教学过程中，对对数函数有关性质的研究，形成观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时形成倾听、接受别人意见的优良品质。,中学数学概念课型的教学设计举例, 使学生了解对数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系； 理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性和特殊点； 在学习的过程中进一步体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般、数形结合的方法等.,案例2-2：对数函数及其性质教学目标（需修改）,中学数学概念课型的教学设计举例,1.初步掌握对
22、数函数的概念，包括：（1）能陈述对数函数的定义并能列举正反例加以说明；（2）能用描点法画出具体对数函数的图象，并能用自己的话描述一般对数函数的图象特征和基本性质；（3）能根据对数函数的定义求简单对数型函数的定义域；（4）能根据对数函数的单调性比较两个对数值的大小。2.通过对实际问题的分析，能初步认识到对数函数模型与现实生活以及与其他学科的密切联系和应用价值。,案例2-3：对数函数及其性质教学目标（基本要求）,中学数学概念课型的教学设计举例,1.掌握对数函数的概念，包括：（1）能陈述对数函数的定义并能列举正反例加以说明；（2）能用描点法画出具体对数函数的图象，能用自己的话描述一般对数函数的图象特
23、征和基本性质，以及讨论底数a对对数函数图象的影响；（3）能根据对数函数的定义、图象及有关性质解决简单对数型函数的定义域和值域，图象变换，单调性和奇偶性，简单对数不等式的解法，比较两个对数值的大小，对数函数模型的实际应用等有关问题；2.通过对实际问题的分析，能初步认识到对数函数模型与现实生活以及与其他学科的密切联系和应用价值。,案例2-3：对数函数及其性质教学目标（较高要求）,中学数学概念课型的教学设计举例,案例2：对数函数及其性质基本教学过程（2-3课时）,第一阶段：习得阶段（习得概念的陈述性表征形式）（1）引起注意，解读教学目标，并给予学习指导。（2）复习原有知识。（函数的概念，描点法画函数
24、的图象，指数函数及其性质）（3）采用概念同化方式（演绎方式）习得对数函数的定义。（通过实际问题引入概念、下定义、解释关键词语、列举正反例、辨别与相关概念的关系。）（4）采用概念形成方式（归纳方式）习得对数函数的图象与性质。（在同一坐标系内采用描点法画出（至少3+3个）对数函数的图象，观察和分析图象的特征，归纳它们的共同特征和性质，概括出一般对数函数的图象特征和性质。）,中学数学概念课型的教学设计举例,案例2： 对数函数及其性质基本教学过程,第二阶段：转化阶段（转化为在典型情境下办事的技能） （4）学习样例，并提供变式练习，同时提供反馈。（黑色字体为基本要求）题型1：利用待定系数法求对数函数的解
25、析式及函数值；题型2：求简单对数型函数的定义域；题型3：求简单对数型函数的值域；题型4：比较两个对数值的大小；题型5：简单对数不等式的解法；题型6：对数函数的图象变换问题；题型7：对数型函数的单调性问题；题型8：对数型函数的奇偶性问题；题型9：对数型函数模型的实际应用。第三阶段：迁移与应用阶段（转化为在一般情境下办事的技能）（5）提供综合练习，促进迁移。（综合练习题应与例题及变式练习题有相似的和不同的情境）,中学数学概念课型的教学设计举例,中学数学概念课型及其教学设计,内容小结 1.中学数学基本课型有五种：概念课、规则课、解题课、复习课、测评课。 2.中学数学课型的教学意义具体表现在三个方面：
26、（1）为中学数学教师进行教学设计奠定基础。（2）为中学数学课堂教学评价提供依据。（3）为解释优秀教师的教学经验提供理论依据，使优秀教师做到知其然，更知其所以然，从而使得这些教师的教学经验变得更易复制与迁移。 3.数学概念教学与中学数学概念课型之间是有区别的，我们将中学数学教学中需要单独设课讲授的定义性概念课统称为中学数学概念课型。 4.一个标准的中学数学概念课型承担了三项教学任务，需要完整经历三个教学阶段,即理解阶段、转化为技能阶段、促进应用与迁移阶段。 5.中学数学概念课型教学设计的基本程序是：分析教学内容；分析学生情况；陈述教学目标；确定教学过程；编写具体教案。,谢 谢！,学习的分类观：学
27、习有不同的类型，不同类型的学习需要不同类型的教学。 学习的类型：,附件1：中学数学课型的理论基础,学习的分类：二维分类。布卢姆将教育目标分成认知、情感、动作技能三个领域。 其中认知领域教育目标分类为：,附件1：中学数学课型的理论基础,中学数学教学目标分类 第一个分类系统：一维分类。,附件1：中学数学课型的理论基础,中学数学教学目标分类 第二个分类系统：关于数学能力的二维分类。,高中数学情感领域的学习：1.学习兴趣；2.自我效能感；3.科学态度；4.对数学价值的认识。,附件1：中学数学课型的理论基础,广义知识学与教的一般过程模型概念的习得方式：概念形成（归纳方式），概念同化（演绎方式）。 规则的
28、习得方式：例规法（归纳方式），规例法（演绎方式）。 认知策略的习得方式：例规法（归纳方式）。,附件2：中学数学课型的理论基础,加涅的智慧技能层次论高级规则（问题解决） （以规则为先决条件）规则 （以概念为先决条件）概念 （以辨别为先决条件）辨别,绝对值不等式的解法：零点分区讨论法，平方法去绝对值符号的方法：平方法，分区间讨论法，以及绝对值和不等式的有关性质绝对值不等式的概念不同类型的绝对值不等式,附件2：中学数学课型的理论基础,概念形成（归纳方式） 这是一种从辨别概念的例证出发，逐渐归纳概括出概念的本质属性的学习方式，其心理机制可用奥苏贝尔的上位学习模式来解释. 学与教的基本过程： 知觉辨别（
29、提供概念的正例，引导学生分析概念例证的特征）提出假设（对概念例证的共同本质特征作出假设）检验假设，使假设精确化概括（给概念下定义）辨别概念的正例、反例（正例应有助于证实概念的本质属性，反例应有助于剔除概念的非本质属性）用不同的语言形式对概念加以解释对概念做深入分析（分析与相关数学概念之间的关系，揭示概念的其它一些重要属性或特征）. 学习的内部条件（即学生自身应具备的条件）： 学生必须能够辨别正、反例证. 学习的外部条件（即教学应提供的条件）： 第一，必须为学生提供概念的正、反例，正例应有两个或两个以上，正例的无关特征应有变化，以帮助学生更好地辨别概念的本质属性和非本质属性；正例应连续呈现，最好
30、能同时让学生意识到，以帮助学生形成概括； 第二，学生必须能从外界获得反馈信息，以检验其所做的假设是否正确； 第三，提供适当的练习，并给予矫正性反馈.,附件3：概念学习第一阶段的两种基本模式,附件3：概念学习第一阶段的两种基本模式,概念同化(演绎方式) 是通过直接下定义来揭示一类事物的共同本质属性，从而习得概念的一种学习方式，其心理机制可用奥苏伯尔的下位学习模式来解释. 学与教的基本过程： 呈现概念的定义分析定义，包括揭示概念的本质属性和构成定义的各部分的关系辨别概念的正例、反例（正例应有助于证实概念的本质属性，反例应有助于剔除概念的非本质属性）用不同的语言形式对概念加以解释对概念做深入分析（分
31、析与相关数学概念之间的关系，揭示概念的其它一些重要属性或特征）. 学习的内部条件： 学生的原有认知结构中应具有同化新概念的适当的上位概念（或结构），而且这一上位概念（或结构）越巩固、越清晰就越有利于同化新的下位概念. 学习的外部条件： 第一，言语指导，以帮助学生更好地理解概念的本质属性； 第二，提供符合概念定义的正例和不符合概念定义的反例； 第三，提供适当的练习，并给以矫正性反馈.,有效学习的一般条件（内部条件） （1）学习者的预期。对学习有一定的预期，会使学生把自己的注意集中指向要学习的新知识。 （2）激活长时记忆中与要学习的新知识有关的原有知识。 （3）调动自身的元认知能力，有意识地对自己
32、的学习和记忆过程进行控制。,附件4：中学数学课型的理论基础,皮连生：学与教的一般过程模型,附件4：中学数学课型的理论基础3,附件5：基本数学方法,我国数学教育界通常将中学数学内容中蕴含的基本数学方法分为三类： 第一类是具体数学方法，如配方法、换元法、待定系数法、比较法、坐标法、消去法、参数法、数学归纳法等； 第二类是数学逻辑方法，如分析法、综合法、演绎法、归纳法、反证法等； 第三类是数学思维方法，如观察与实验、类比与猜想、归纳与演绎、分析与综合、特殊化与一般化、抽象与概括、比较与分类等.从整个教学活动的过程来看，数学思维方法可分为数学发现的思维方法和数学论证的思维方法.数学思维方法一般不在教材中明确给出，有经验的数学教师会在分析和论证的过程中教给学生，因而属于隐性的方法.但是，数学思维方法是数学基本素养的主要构成成分，因而是我们教学中必须加以重视的内容.,
