1、2013 年考研（数学三）真题试卷及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 时，用“o(x)” 表示比 x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（A）x.o(x 2)=o(x3)（B） o(x2).o(x)=o(x3)（C） o(x2)+o(x2)=o(x2)（D）o(x)+o(x 2)=o(x2)2 函数 的可去间断点的个数为（A）0（B） 1（C） 2（D）33 设 Dk 是圆域 D=(x,y) x2+y21在地 k 象限的部分，记 Ik=（k=1,2,3,4）,则（A）I 10（B） I20（C） I30（D）I 404 设a n为正项数列，下
2、列选项正确的是（A）若 an an+1,则 （-1） n-1an 收敛（B）若 （-1） n-1an 收敛，则 ana n+1（C）若 an 收敛，则存在常数 p1，使得 npan 存在（D）若存在常数 p1，使 npan 存在，则 an 收敛5 设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，若 AB=C，且曰可逆，则（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价6 矩阵 相似的充分必要条件为（A）a=0 ，b=2（B） a=0，b 为任意常数（
3、C） a=2，b=0（D）a=2 ，b 为任意常数7 设 X1,X2,X3 是随机变量，且 X1N(0,1),X2N(0,22)，X 3N(5,32),Pi=P-2Xi2(i=1,2,3),则（A）P 1P 2P 3（B） P2P 1P 3（C） P3P 1P 2（D）P 1P 3P 28 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 X 和 Y 的概率分布分别为PX+Y=2=（A）1/12（B） 1/8（C） 1/6（D）1/2二、填空题9 设曲线 y=f(x)与 y=x2-x 在点(1，0) 处有公共切线，则 =_.10 设函数 z=z(x，y)由方程(z+y) x=xy 确定，则 =_.11 =
4、_.12 微分方程 y“-y+ 1/4 y=0 的通解为 y=_.13 设 A=(aij)是 3 阶非零矩阵， A为 A 的行列式，A ij 为 aij 的代数余子式若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则 A=_14 设随机变量 X 服从标准正态分布 N(0，1)，则 E(Xe2x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 当 x0 时，1-cosx.cos2x.cos3x 与 axn 为等价无穷小，求 n 与 a 的值16 设 D 是由曲线 y=x1/3，直线 x=a(a0)及 x 轴所围成的平面图形，V x，V y 分别是D 绕 x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的
5、体积若 Vy=Vx，求 a 的值17 设平面区域 D 由直线 x=3y，y=3x 及 x+Y=8 围成，计算17 设生产某商品的固定成本 60000 元，可变成本为 20 元件，价格函数为 p=60-Q/1000，(p 是单价，单位：元；Q 是销量，单位：件)已知产销平衡；18 该商品的边际利润；19 当 P=50 时的边际利润，并解释其经济意义；20 使得利润最大的定价 P20 设函数 f(x)在0,+上可导，f(0)=0,且 ，证明：21 存在 a0,使得 f(a)=1;22 对（I）中的 a,存在 （0，a ），使得 f()=1/a.23 设 当 a,b 为何值时，存在矩阵 C 使得 A
6、C-CA=B，并求所有矩阵 C23 设二次型 f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2 +(b1x1+b2x2+b3x3)2 ,记24 证明二次型，对应的矩阵为 2T +T ；25 若 , 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2y12 +y22 25 设（X,Y）是二维随机变量，X=的边缘概率密度为 ，在给定 X=x(026 求（X,Y）的概率密度 f(x,y);27 求 Y 的边缘密度 fY(y);28 求 PX2Y.28 设总体 X 的概率密度为 其中 为未知参数且大于零X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本29 求 的矩估计量；30
7、求 的最大似然估计量2013 年考研（数学三）真题试卷答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 2 【正确答案】 B【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 故选 B。4 【正确答案】 D【试题解析】 5 【正确答案】 B【试题解析】 矩阵 C 的列向量组 1， 2， n 可由矩阵 A 的列向量组1， 2， n 线性表出 又矩阵曰可逆，从而 A=CB-1 那么矩阵 A 的列向量组也可由矩阵 C 的列向量组线性表出 由向量组等价的定义可知，应选 (B) 或者，可逆矩阵可表示成若干个初等矩阵的乘积，于是 A 经过有限次初等列变换
8、化为C，而初等列变换保持矩阵列向量组的等价关系 故选(B)6 【正确答案】 B【试题解析】 7 【正确答案】 A【试题解析】 8 【正确答案】 C【试题解析】 二、填空题9 【正确答案】 -2【试题解析】 10 【正确答案】 2-2ln2【试题解析】 把点（1,2）代入方程 (z+y) x=xy 得 z（1,2）=0 在(z+y) x=xy 两边同时对 x 求偏导数，得11 【正确答案】 ln2【试题解析】 12 【正确答案】 e 1/2(c1+c2x)【试题解析】 二阶齐次方程的特征方程为 2-+1/4=0,解得 1=2=1/2 所以y=e1/2(c1+c2x)13 【正确答案】 -1【试题
9、解析】 14 【正确答案】 2e 2【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 n=2,a=7【试题解析】 16 【正确答案】 【试题解析】 17 【正确答案】 这些直线的交点除点(0，0)外还有(2，6)，(6，2)，平面区域 D 如图所示D 的边界是分段表示的，要用分块积分法将 D 分为 D=D1D2，其中18 【正确答案】 19 【正确答案】 20 【正确答案】 21 【正确答案】 22 【正确答案】 23 【正确答案】 由 AC-CA=B 得次方程组必须有解，于是24 【正确答案】 f=(2a 12+b12)x12+(2a22+b22)x22+(
10、2a32+b32)x32+(4a12a22+2b12b22)x1x2+(4a1a3+2bb)x1x3+(4a2a3+2b2b3)x2x3 则 f 的矩阵为=XT(2T)X+XT(2T)X=XT(2T+T)X 所以 f 的矩阵=2 T +T ；25 【正确答案】 记 A=2T +T ,由于 , 正交，则有 T=T=0，又 , 为单位向量，则=1，于是 T=1，同理 T=1。 因为 r(A)=r(2T +T)r(2T)+r(T)23，所以，A=0，故 0 是 A 的特征值。 因为 A=(2T +T)=2，所以 2是 A 的特征值。 因为 A=(2T +T)=,所以 1 是 A 的特征值。 于是 A 的特征值为 2,1,0。 因此 f 在正交变换下可化为标准行 2y12+y2226 【正确答案】 27 【正确答案】 28 【正确答案】 29 【正确答案】 30 【正确答案】
