1、2014 年考研（数学一）真题试卷及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列曲线中有渐近线的是（A） y=x+sinx（B） y=x2+sinx（C） y=x+sin(1/x)（D）y=x 2+sin(1/x)2 设函数 f(x)具有 2 阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x ，则在区间 0，1 上（A）当 f(x)0 时，f(x)g(x)（B）当 f(x)0 时，f(x)g(x)（C）当 f(x)0 时，f(x)g(x)（D）当 f(x)0 时，f(x)g(x)3 设 f(x，y)是连续函数，则4 若 ，则a1cosx+b1sinx=（A）
2、2sinx（B） 2cosx（C） 2sinx（D）2cosx5 行列式（A）(ad-bc) 2（B） -(sd-bc)2（C） a2d2-b2c2（D）b 2c2-a2d26 设 a1，a 2，a 3 均为 3 维向量，则对任意常数 k，向量组 a1+ka3，a 2+a3。线性无关是向量组 a1，a 2，a 3 线性无关的（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件 7 设随机事件 A 与 B 相互独立，且 P(B)=05，P(A-B)=03，则 P(B-A)=（A）01（B） 02（C） 03（D）04 8 设连续型随机变量 X1 与 X2 相互独立
3、且方差均存在，X 1 与 X2 的概率密度分别为f1(x)与 f2(x)，随机变量 Y1 的概率密度为 FY1(y)=1/2f1(y)+f2(y)，随机变量Y2=1/2(X1+X2)，则（A）EY 1EY 1，DY 1 DY2（B） EY1=EY2，DY 1=DY2（C） EY1=EY2，DY 1DY 2（D）EY 1=EY2，DY 1DY 2二、填空题9 曲面 z=x2(1-siny)+y2(1-sinx)在点(1，0，1)处的切平面方程为_10 设 f(x)是周期为 4 的可导奇函数，且 f(x)=2(x-1)，z 0，2，则 f(7)=_11 微分方程 xy+y(lnx-lny)=0 满
4、足条件 y(1)=e3 的解为 y=_12 设 L 是柱面 x2+y2=1 与平面 y+x=0 的交线，从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积 +ydz=_13 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3，的负惯性指数为 1，则 a 的取值范围是14 设总体 X 的概率密度为 f(x；)= 其中 是未知参数，X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本若 是 2 的无偏估计，则c=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 设函数 y=f(x)由方程 y3+xy2+x2y+6=0 确定，求 f(x)的极值17 设函
5、数 f(u)具有 2 阶连续导数，z=f(e xcosy)满足 =(4z+excosy)e2x 若f(0)=0，f (0)=0，求 f(u)的表达式18 设为曲面 z=x2+y2(z1)的上侧，计算曲面积分19 设数列a n，b n满足 0a n/2，0/2 ，cosa n-an=cosbn，且级数 收敛20 设 ，E 为 3 阶单位矩阵 ()求方程组 Ax=0 的一个基础解系；() 求满足 AB=E 的所有矩阵 B21 证明 n 阶矩阵 相似22 设随机变量 X 的概率分布为 PX=1=PX=2=1/2在给定 X=i 的条件下，随机变量 Y 服从均匀分布 U(0，i)(i=1，2) ()求
6、Y 的分布函数 Fy(y)；()求 EY23 设总体 X 的分布函数为 F(x；)= 其中 是未知参数且大于零X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本 ()求 EX 与 EX2； ()求 的最大似然估计量 ； ()是否存在实数 a，使得对任何 0，都有2014 年考研（数学一）真题试卷答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然这几条曲线均无垂直与水平渐近线，就看哪条曲线有斜渐近线对于(C) 故有斜渐近线 y=x选(C)2 【正确答案】 D【试题解析】 【分析一】 y=f(x)在0，1 上是凹函数(设 f(x)在0
7、，1二阶可导，不妨 f(x)0)，y=g(x)是连接(0，f(0)与(1，f(1)的线段由几何意义知 f(x)g(x)(x0，1) 选(D) 【分析二】 令 (x)：f(x)-g(x)=(0)=f(0)-f(0)=0 ，(1)=f(1)-f(1)=0 在0，1上，当 f(x)0 时， (x)=f(x)-g(x)=f(x)0=(x)0，即 f(x)g(x)选(D)3 【正确答案】 D【试题解析】 4 【正确答案】 A【试题解析】 考察二元函数 f(a，b)= -(x-acosx-bsinx)2dx，由5 【正确答案】 B【试题解析】 计算出这个行列式比较好的方法为先交换第 2，3 两行，再把第
8、1列和第 2，3 列邻换：(此题也可用排除法：4 个选项中都有 a2d2 和 b2c2，但是前面的符号不同，(A)都是+，(B) 都是-，(C)+ ，- ，(D)- ，+观察完全展开式中它们的系数都是一，可排除(A)、(C)、(D)6 【正确答案】 A【试题解析】 从 a1，a 2，a 3 线性无关容易得到 a1+ka3，a 2+a3 线性无关( 可用定义或计算秩)，因此是必要条件当 a1，a 2 线性无关，并且 a33=0 时对于任意常数k，a 1+ka3，a 2+a3 线性无关，而 a1，a 2，a 3 线性相关，因此不是充分条件7 【正确答案】 B【试题解析】 由于事件 A 与 B 独立
9、，故有P(AB)： P(A)P(AB)=P(A)P(A)P(B)=05P(A)=03从而 P(A)=0.6P(BA)=P(B)P(AB)=P(B)P(A)P(B)=0503=02所以选(B) 8 【正确答案】 D【试题解析】 EY2=(1/2)E(X1+X2)=1/2(EX1+EX2)故 EY 1=EY2 DY 2=1/4(DX1+DX2)由于 EY 1=EY2，DY 1DY 2，故选(D)二、填空题9 【正确答案】 0【试题解析】 记 F(x，y， z)=x2(1-siny)+y2(1-sinx)-z (1，0，1)=0 ，点(1 ，0，1)在曲面 F(x，y， z)=0 上10 【正确答案
10、】 1【试题解析】 由 f(x)=2(x-1)，x0 ，2，又 f(0)=0 f(x)=x2-2x(x0，2) f(7)=f(3)=f(-1)=-f(1)=-122=111 【正确答案】 xe 2x+1【试题解析】 12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 -2a 2【试题解析】 【解法一】 用配方法： f(x 1，x 2，x 3) =x12-x22+2ax1x3+4x2x3 =(x1+ax3)2-(x2-2x3)2+(4-a2)x32由负惯性指数为 1，得(4-a2)0，-2a2【解法二】 此二次型的矩阵 设 A 的 3 个特征值按照大小顺序为 123则 1+2+3=0负惯性指数
11、为 1 即 10 23则A 0 反之，如果A 0，则特征值一定是 2 正 1 负，如果A =0，则特征值一定 1 正 I 负 1 个 0于是负惯性指数为A0计算出A=a24，得-2a214 【正确答案】 2/5n【试题解析】 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 这是隐函数求极值问题先求 y=f(x)的驻点将方程对 x 求导得 3y2y+y2+2xyy+2xy+x2y=0 代入 y3 十xy2+x2y=-6，得 -8x 3+4x3-2x3=-6，x 3=1，x=1 y=f(x)有唯一驻点 x=1(相应地 y=-2) 再将 式，即 (3y 2+
12、2xy+x2)y=-y(y+2x) 在 x=1(y=-2)对 x 求导得 (3y2+2xy+x2) (1，-2) y(1)=-y(y+2) (1，2) =4 因此y=f(x)有唯一极值点 x=1，是极小值点，极小值 f(1)=-217 【正确答案】 z=f(e xcosy)是 z=f(u)与 u=excosy 的复合函数先由复合函数求导法，将 z 对 x，y 的偏导数满足的方程转化为 z 对 u 的导数满足的方程 z=f(u)=f(excosy)18 【正确答案】 【分析与求解一】 直接化为二重积分，投影到 xy 平面上，在xy 平面上投影区域 D：x 2+y21(z=0)，由 z=x2+y2
13、 得 代公式得【分析与求解二】用高斯公式不封闭，添加辅助面 1：z=1(x 2+y21)，法向量朝下 与 1 围成区域 ，边界取内法向 先求辅面1 上的积分，由于 1 垂直 yz 平面与 zx 平面，又 1，上 z=1，于是19 【正确答案】 () 证法一 由于 an，b n(0，/2)，cosx 在0，/2单调下降，an=cosan-cosbn0，即 cosbncosbn=0a nb n，因证法二20 【正确答案】 () 用初等行变换化 A 为简单阶梯形矩阵：得 Ax=0 的同解方程组：求得一个非零解 a=(-1，2，3，1) T，它构成 Ax=0 的基础解系 ( )所求矩阵 B 应该是 4
14、3 矩阵一种做法是把 B 的 3 个列向量分别作为 3 个线性方程组 AX=(1，0，0) T，AX=(0，1，0) T 和 AX=(0， 0，1) T 的解来计算下面的方法比较简单 思路：满足 AB=E 的任何两个解的差都是 AB=0 的解先求出 AB=0的所有解，再求 AB=E 的一个特解，就可以得到满足 AB=E 的所有矩阵 AB=0 的解是一个 43 矩阵，他的每一列都是 Ax=0 的解，因此是 a 的倍数，通解为 (c 1a，c 2a，c 3a)，c 1，c 2，c 3 为任意常数 求 AB=E 的一个特解 用初等行变换化(AE)为简单阶梯形矩阵：AB=E 的通解为 B0+(c1a，
15、c 2a，c 3a)，c 1，c 2，c 3 为任意常数21 【正确答案】 说明 A 和 B 都相似于对角矩阵，并且特征值一样，因此相似 (1)求出E-A= n-1(-n)，A 的特征值为 0(n-1 重)和 n(1 重)B 是上三角矩阵，特征值为对角线元素，也是 0(n-1 重)和 n(1 重) (2)A 是实对称矩阵，相似于对角矩阵 B 的 n-l 重特征值 0 满足等式 重数=n-r(B-0E)=(n-1)，因此它也相似于对角矩阵 由相似关系的传递性，得到 A 和 B相似22 【正确答案】 () FY(y)=PYy=PYy，X=1+PYy，X=2 =PX=1PYyX=1+PX=2PYyX=2 当 y0 时，F y(y)=0，当 0yy(y)=23 【正确答案】 由分布函数 F(x)可得密度函数()设 x1，x 2，x n 为样本观测值，则有似然函数()由于 X1，X 2，X n 独立同分布，故 X12，X 22， ，X n2 也独立同分布，且期望存在(EX i2=，i=1，2， n)由辛钦大数定律可知，对任意 0，都有
