1、2014 年考研（数学二）真题试卷及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x0 +时，若 ln2(1+2x)，(1-cosx) 1/a 均是比 x 高阶的无穷小，则 a 的取值范围是（A）(2 ，+) （B） (1，2) （C） (1/2，1)（D）(0 ，1/2)2 下列曲线中有渐近线的是（A）y=x+sinx（B） y=x2+sinx（C） y=x+sin(1/x)（D）y=x 2+sin(1/x)3 设函数 f(x)具有 2 阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x ，则在区间 0，1 上（A）当 f(x)0 时，f(x)g(x)（B）当
2、 f(x)0 时，f(x)g(x)（C）当 f(x)0 时，f(x)g(x)（D）当 f(x)0 时，f(x)g(x)4 曲线 上对应于 t=1 的点处的曲率半径是5 设函数 f(x)=arctanx若 f(x)=xf()，则（A）1（B） 2/3（C） 1/2（D）1/36 设函数 u(x，y) 在有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足（A）u(x ，y)的最大值和最小值都在 D 的边界上取得（B） u(x，y)的最大值和最小值都在 D 的内部取得（C） u(x，y)的最大值在 D 的内部取得，最小值在 D 的边界上取得（D）u(x ，y)的最小值在 D 的内部
3、取得，最大值在 D 的边界上取得7 行列式（A）(ad-bc) 2（B） -(ad-bc)2（C） a2d2-b2c2（D）b 2c2-a2d28 设 a1，a 2，a 3 均为 3 维向量，则对任意常数 k，向量组 a1+ka3，a 2+a3。线性无关是向量组 a1，a 2，a 3 线性无关的（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件 二、填空题9 10 设 f(x)是周期为 4 的可导奇函数，且 f(x)=2(x-1)，z 0，2，则 f(7)=_11 设 z=z(x，y)是由方程 e2yz+x+y2+z=7/4 确定的函数，则出 dz (1/2，
4、1/2)=_12 曲线 L 的极坐标方程是 r=，则 L 在点(r，)=(/2，/2)处的切线的直角坐标方程是_13 一根长度为 1 的细棒位于 x 轴的区间0，1上，若其线密度 P(x)=-x2+2x+1，则该细棒的质心坐标 =_14 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3，的负惯性指数为 1，则 a 的取值范围是三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 已知函数 y=y(x)满足微分方程 x2+y2y=1-y，且 y(2)=0，求 y(x)的极大值与极小值17 设平面区域 D=(x，y)1x 2+y24，x0，y0，计算18 设函
5、数 f(u)具有 2 阶连续导数，z=f(e xcosy)满足 =(4z+excosy)e2x 若f(0)=0，f (0)=0，求 f(u)的表达式19 设函数 f(x)，g(x) 在区间 0，b上连续，且 f(x)单调增加， 0g(x)1证明：20 设函数 f(x)=x/ 1+x，x0 ，1定义函数列： f 1(x)=f(x)，f 2(x)=f(f1(x)，f n(x)=f(fn-1(x)，记 Sn 是由曲线 y=fn(x)，直线 x=1 及 x 轴所围平面图形的面积，求极限21 已知函数 f(x，y)满足 =2(y+1)，且 f(y，y)=(y+1) 2-(2-y)lny，求曲线 f(x，
6、y)=0所围图形绕直线 y=-1 旋转所成旋转体的体积22 设 ，E 为 3 阶单位矩阵 ()求方程组 Ax=0 的一个基础解系；() 求满足 AB=E 的所有矩阵 B23 证明 n 阶矩阵 相似2014 年考研（数学二）真题试卷答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 a0 时， ln a(1+2x)(2x) a(x0+)，它们均是比 x 高阶的无穷小，即因此 a(1，2) ，选 B2 【正确答案】 C【试题解析】 显然这几条曲线均无垂直与水平渐近线，就看哪条曲线有斜渐近线对于 C 故有斜渐近线 y=x选 C3 【正确答案】 D
7、【试题解析】 【分析一】 y=f(x)在0，1 上是凹函数(设 f(x)在0，1二阶可导，不妨 f(x)0)，y=g(x)是连接(0，f(0)与(1，f(1)的线段由几何意义知 f(x)g(x)(x0，1) 选 D 【分析二】 令 (x)：f(x)-g(x)=(0)=f(0)-f(0)=0，(1)=f(1)-f(1)=0 在0，1上，当 f(x)0 时， (x)=f(x)-g(x)=f(x)0=(x)0，即 f(x)g(x)选 D4 【正确答案】 C【试题解析】 用参数求导法先求出5 【正确答案】 D【试题解析】 6 【正确答案】 A【试题解析】 【分析一】 若 u(x，y)在 D 内部某点
8、M0(x0，y 0)取最小值，则因此 u(x，y)不能在 D 内部取到最小值同理 u(x，y) 不能在 D 内部取最大值因此 u(x，y)的最大值和最小值都在 D 的边界取得选 A【分析二】 用特殊选取法 但 u(x，y)在 D 内或无驻点或有唯一驻点 M0(-1，-1) 在 M0 处 AC-B2=-10，M0不是 u(x，y)的极值点因此 u(x，y)在 D 的最大值与最小值都不能在 D 内部取得，只能在 D 的边界取得 对此 u(x，y)(A) 正确，(B)、(C) 、(D)均不正确因此选A7 【正确答案】 B【试题解析】 计算出这个行列式比较好的方法为先交换第 2，3 两行，再把第 1列
9、和第 2，3 列邻换：(此题也可用排除法：4 个选项中都有 a2d2 和 b2c2，但是前面的符号不同，A 都是+，B 都是-，C+， -，D-，+观察完全展开式中它们的系数都是一，可排除 A、C 、D8 【正确答案】 A【试题解析】 从 a1，a 2，a 3 线性无关容易得到 a1+ka3，a 2+a3 线性无关( 可用定义或计算秩)，因此是必要条件当 a1，a 2 线性无关，并且 a33=0 时对于任意常数k，a 1+ka3，a 2+a3 线性无关，而 a1，a 2，a 3 线性相关，因此不是充分条件二、填空题9 【正确答案】 (3/8)【试题解析】 10 【正确答案】 1【试题解析】 由
10、 f(x)=2(x-1)，x0 ，2，又 f(0)=0 f(x)=x2-2x(x0，2) f(7)=f(3)=f(-1)=-f(1)=-12-2=111 【正确答案】 【试题解析】 先求出 z(1/2，1/2) 由 e2yz+x+y2yz+z=7/4，12 【正确答案】 (2/)x【试题解析】 L 的参数方程是 ，点(r，)=(/2，/2)记为 M0，直角坐标是(x 0，y 0)=(0， /2)，L 在点 M0 的斜率13 【正确答案】 11/20【试题解析】 14 【正确答案】 -2a 2【试题解析】 用配方法： f(x 1，x 2，x 3) =x12-x22+2ax1x3+4x2x3 =(
11、x1+ax3)2-(x2-2x3)2+(4-a2)x32由负惯性指数为 1，得(4-a2)0 ，-2a2【解法二】 此二次型的矩阵 设 A 的 3 个特征值按照大小顺序为 123则 1+2+3=0负惯性指数为 1 即 10 23则A0 反之，如果A 0，则特征值一定是 2正 1 负，如果A=0，则特征值一定 1 正 1 负 1 个 0于是负惯性指数为 A0计算出A=a2-4，得-2a2三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 这是可分离变量的微分方程 y (1+y2) =1-x2。分离变量得 (1+y 2)d)，=(1-x2)dx 现在 x=1，
12、考察 y将方程 x2+y2y=1-y两边对 x 求导得 2x+2yy 2+y2y=-y在 y=0 处 (1+y 2)y=-2x 于是 y (1)0，y (-1)0 因此 y(x)的极大值是 y(1)=1，极小值是 y(-1)=017 【正确答案】 D 如右图，用极坐标变换 D：00/2，1r2，于是18 【正确答案】 z=f(e xcosy)是 z=f(u)与 u=excosy 的复合函数先由复合函数求导法，将 z 对 x，y 的偏导数满足的方程转化为 z 对 u 的导数满足的方程 z=f(u)=f(excosy)19 【正确答案】 () 因 g(x)在a，b连续，0g(t)1(ta，b)20
13、 【正确答案】 21 【正确答案】 c(y) =1-(2-y)lny 于是 f(x，y)=y 2+2y+1-(2-x)lnx 曲线 f(x，y)=0 即(y+1) 2=(2-x)lnx，x 1，2，它是关于直线 y=-1 对称的闭曲线该闭曲线所围图形绕直线 y=-1 旋转成旋转体的体积为 V 任取x，x+dx 1，2，对应的旋转体小薄片的体积微元 dV=(y+1) 2dx于是旋转体的体积22 【正确答案】 () 用初等行变换化 A 为简单阶梯形矩阵：得 Ax=0 的同解方程组：求得一个非零解 a=(-1，2，3，1) T，它构成 Ax=0 的基础解系 ()所求矩阵 B 应该是 43 矩阵一种做
14、法是把 B 的 3 个列向量分别作为 3 个线性方程组 AX=(1，0，0) T，AX=(0 ，1，0) T 和 AX=(0，0，1) T 的解来计算下面的方法比较简单 思路：满足 AB=E 的任何两个解的差都是 AB=0 的解先求出AB=0 的所有解，再求 AB=E 的一个特解，就可以得到满足 AB=E 的所有矩阵 AB=0 的解是一个 43 矩阵，他的每一列都是 Ax=0 的解，因此是 a 的倍数，通解为 (c 1a，c 2a，c 3a)，c 1，c 2，c 3 为任意常数 求 AB=E 的一个特解 用初等行变换化(AE)为简单阶梯形矩阵：AB=E 的通解为 B0+(c1a，c 2a，c 3a)， c 1，c 2，c 3 为任意常数23 【正确答案】 说明 A 和 B 都相似于对角矩阵，并且特征值一样，因此相似 (1)求出E-A= n-1(-n)，A 的特征值为 0(n-1 重)和 n(1 重)B 是上三角矩阵，特征值为对角线元素，也是 0(n-1 重)和 n(1 重) (2)A 是实对称矩阵，相似于对角矩阵 B 的 n-l 重特征值 0 满足等式 重数=n-r(B-0E)=(n-1)，因此它也相似于对角矩阵 由相似关系的传递性，得到 A 和 B 相似
