1、2018 年考研（数学一）真题试卷及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列函数在 x=0 处不可导的是( )（A）f(x)=|x|sin|x|（B）（C） f(x)=cos|x|（D）2 过点(1 ，0，0) 与(0，1，0) 且与曲面 z=x2+y2 相切的平面方程为( )（A）z=0 与 x+yz=1（B） z=0 与 2x+2yz=2（C） y=x 与 x+yz=1（D）y=x 与 2x+2yz=23 （A）sin1+cos1（B） 2sin1+cos1（C） 2sin1+2cos1（D）2sin1+3cos14 则 M，N，K 的大小关系为(
2、)（A）MNK（B） MKN（C） KM N（D）KNM5 下列矩阵中，与矩阵 相似的是( )6 设 A，B 为 n 阶矩阵，记 r(X)为矩阵 X 的秩，(X，Y)表示分块矩阵，则( )（A）r(A，AB)=r(A) （B） r(A，BA)=r(A)（C） r(A，B)=maxr(A)，r(B)（D）r(A，B)=r(A T，B T)7 设 f(x)为某随机变量 X 的概率密度函数,f(1+x)=f(1 一 x)， 02f(x)dx=06，则PX0=( )（A）02（B） 03（C） 04（D）058 设总体 XN(， 2)， 2 已知，给定样本 X1，X 2，X n，对总体均值 进行检验，
3、令 H0：= 0，H 1： 0，则( )（A）若显著性水平 =0 05 下拒绝 H0，则 =0 01 下必拒绝 H0（B）若显著性水平 =0 05 下接受 H0，则 =001 下必拒绝 H0（C）若显著性水平 =0 05 下拒绝 H0，则 =001 下接受 H0（D）若显著性水平 =0 05 下接受 H0，则 =0 01 下也接受 H0二、填空题9 10 设函数 f(x)具有 2 阶连续导函数，若 y=f(x)过点 (0，0)，且与曲线 y=2x 相切于(1，2)，求 01xf”(x)dx=_11 已知 F(x，y，z)=xyi 一 yzj+xzk，求 rotF(1，1， 0)=_12 曲线
4、L 由 x2+y2+z2=1 与 x+y+z=0 相交而成，求 Lxyds=_13 二阶矩阵 A 有两个不同特征值， 1， 2 是 A 的线性无关的特征向量，且A2(1+2)=1+2，则|A|=_ 14 随机事件 A 与 B 相互独立，A 与 C 相互独立，BC= ，P(A)=P(B)= ，P(AC|AB C)= 则 P(C)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求不定积分16 一根绳长 2m，截成三段，分别折成圆、正三角形、正方形，这三段分别为多长时所得的面积总和最小，并求该最小值17 设是曲面 +(y3+2)dxdz+z3dxdy18 已知微分方程 y+y=f(x)，
5、且 f(x)是 R 上的连续函数(I)当 f(x)=x 时，求微分方程的通解()当 f(x)为周期为 T 的函数，证明：微分方程存在唯一以 T 为周期的解19 数列x n满足 x10， (n=1，2，)证明：x n收敛，并求20 设实二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中 a 是参数， (I)求 f(x1，x 2， x3)=0 的解； ()求 f(x1，x 2，x 3)的规范形21 已知 a 是常数，且矩阵 可经初等变换化为矩阵(I)求 a；()求满足 AP=B 的可逆矩阵 P22 随机变量 X，Y 相互独立， Y 服从参数为 的泊
6、松分布令 Z=XY(I)求 cov(X，Z) ；()求 Z 的概率分布23 总体 X 的概率密度为 f(x；)= (0，+)，一x+,X 1，X 2，X n为来自总体 X 的简单随机样本(I)求 的极大似然估计()求 2018 年考研（数学一）真题试卷答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由定义得 f+(0)f+(0)，则 f(0)不存在2 【正确答案】 B【试题解析】 已知平面过 A(1，0，0)，B(0，1， 0)两点，则 xy 是存在的，排除C，D 选项，可得平面内一向量 曲面 z=x2+y2 的切平面法向量为 n2=(
7、2x，2y ，一 1)由 n1n2=0,2x 一 2y=0 即切点处 x=y联立方程组2x2 一 2ax+a=0 有唯一解，即=(2a) 2 一 42a=0，a=2 ，(a=0 舍去)故 2x+2yz=2，故选 B3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 C【试题解析】 因为积分区间对称， 是关于 x 的奇函数，所以积分为 05 【正确答案】 A【试题解析】 令 则 r(H)=3，特征值为 1,2,3=1，r(E 一 H)=r(EH)=2设 A 选项矩阵为 A，则 r(A)=3，特征值为 1,2,3=1，r(EA)=r(EA)=2设B 选项矩阵为 B，则 r(B)=3，特征值为 1,
8、2,3=1，r(E 一 B)=r(EB)=1设 C 选项矩阵为 C，则 r(C)=3，特征值为 1,2,3=1，r(E C)=r(EC)=1设 D 选项矩阵为D，则 r(D)=3，特征值为 1,2,3=1，r(E D)=r(ED)=16 【正确答案】 A【试题解析】 使用反证法7 【正确答案】 A【试题解析】 已知 f(1+x)=f(1 一 x)可得 f(x)图像关于 x=1 对称， 02f(x)dx=06，8 【正确答案】 D【试题解析】 检验水平 =005 时接受域为检验水平 =001 时接受域为故选 D二、填空题9 【正确答案】 一 2【试题解析】 10 【正确答案】 2ln22【试题解
9、析】 由题意知,f(0)=0,f(1)=2,f(1)=2ln2， 01xf“(x)dx=01xdf(x)=xf(x)|01 一01f(x)dx=f(1)一 f(x)|01=2ln2211 【正确答案】 ik【试题解析】 =yi 一 zj 一 xk|(1,1,0)=ik12 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 一 1【试题解析】 设 A1=11，A 2=22，则 A(1+2)=11+22A2(1+2)=A(11+22)=121+222=1+2， 12=22=1， 1=1， 2=1，A 有两个不同的特征值，那么为 1，一 1|A|=一 114 【正确答案】 【试题解析】 三、解答题解答
10、应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 设圆的周长为 x，正三角周长为 y，正方形的周长 z，由题设x+y+z=2,则目标函数：此时面积和有最小值17 【正确答案】 构造平面: 取后侧；设与所围区域为 ；记P=x，Q=y 3+2，R=z 3；借助高斯公式，有：18 【正确答案】 (I)通解 y(x)=e-1dx(xe1dxdx+C)=e-x(xexdx+C) =e-x(x 一 1)ex+C =(x一 1)+Ce-x ()证明：设 f(x+T)=f(x)，即 T 是 f(x)的周期 通解 y(x)=e-1dxf(x)e1dxdx+C=e-xf(x)exdx+C
11、=e-xf(x)exdx+Ce-x 设 y(x)=e-xTxf(x)exdx+Ce-x，则有 y(x+T)=e-(x+T)Tx+Tf(t)etdt+Ce-(x+T) e-(x+T)0xf(u+T)eu+Td(u+T)+(Ce-T).e-x=e-(x+T)0xf(u)eu.eTdu+(Ce-T).e-x=e-x0xf(u)eudu+(Ce-T).e-x， 即 y(x+T)依旧是方程的通解，结论得证19 【正确答案】 设 f(x)=ex 一 1 一 x，x0，则有 f(x)=ex 一 10，因此 f(x)0，从而 ，x 20；猜想 xn0，现用数学归纳法证明：n=1 时，x10，成立；假设 n=k
12、(k=1，2，) 时，有 xk0 ，则 n=k+1 时有因此 xn0，有下界设 g(x)=ex 一 1 一 xex，x0 时，g(x)=e x 一ex 一 xex=一 xex0，所以 g(x)单调递减，g(x) g(0)=0，即有 ex 一 1xe x，因为 g(x)=ex 一 1 一 xex 只有唯一的零点 x=0，所以 A=020 【正确答案】 (I)由 f(x1，x 2，x 3)=0 得a2时，r(A)=3 ，方程组有唯一解：x1=x2=x3=0； 因此其规范形为f=y12+y22+y32；a=2 时,f(x 1，x 2，x 3)=y12+y22+(y1+y2)2 =2y12+2y22+
13、2y1y2此时规范形为 f=z12+z2221 【正确答案】 (I)A 与 B 等价，则 r(A)=r(B)所以 r(A)=r(B)=2，a=222 【正确答案】 (I)由已知 PX=1= Y 服从参数为 的泊松分布，所以 cov(X，Z)=cov(X，XY)=E(X 2Y)一 E(X)E(XY) =E(X2)E(Y)一 E2(X)E(Y) =D(X)E(Y)=(2)由条件可知 PY=k= k 的取值为 0，1，2，PZ=k=PXY=k =PY=一 k， X=一 1+PY=k，X=1 PZ=0=PX=一1，Y=0+PX=1，Y=0=e -，Z=k 0 时，PZ=0=e-23 【正确答案】 (I)由条件可知，似然函数为解得 得极大似然估计
