1、MPA 公共管理硕士综合知识数学微积分（多元函数微分学）模拟试卷2 及答案与解析选择题1 （A）dx+dy+dz（B） dxdy+dz（C） dx+dy（D）dxdy2 设 z(x，y)是由方程 ez=xyz 所确定的隐函数，则 dz 等于( )3 设 z= +y(x+y)，其中 f， 二阶可导，则 等于( )（A）yf x“(xy)+x(x+y)+y“(x+y)（B） (x+y)+y“(x+y)（C） yf“(x+y)+(x+y)（D）yf“(xy)+(x+y)+y“(x+y)4 设 f(x，y)=x 3 一 4x2+2xyy2，则下列结论正确的是( )（A）(2 ，2)是极小值点（B） (
2、0，0) 是极大值点（C） (0，0) 是极小值点（D）(0 ，0)是 f(x，y)的驻点，但不是极值点5 设 f(x，y， z)=xy2z3，而 z=z(x，y)是由 x2+y2+z2-3xyz=0 所确定的隐函数，则为( ) 6 已知微分式 为某个二元函数 u(x，y)的全微分，则 a 等于( )（A）2（B） 1（C） -1（D）-27 方程 xy=ex+y 一 e 确定 y 对 x 的隐函数，dy 为( )8 若f(x 3)dx=x3+C，则 f(x)等于( ) （A）x+C（B） x3+C（C）（D）填空题9 已知 f(xy， x+y)=x2+y2+xy，则 分别为_ 10 若 f(
3、t)可微，且满足 =uG(x，y) ，则 G(x，y)=_11 设 y=y(x)由方程 y=f(x2+y2)+f(x+y)所确定，y(0)=2，其中 f(x)是可导函数，且f(2)=12 由 确定可微函数 z=z(x，y)(f 也可微)，则 =_.13 设变换 可把方程 简化为 ，则a=_.14 设 f(x，y， z)=15 函数 z=xy(1 一 x-y)的极值点是_16 函数 z=2xy 在以 A(1，0)，B(0，1)，C(一 1，0)为顶点的三角形区域 D 上的最小值为_17 设 z(x，y)=(1 一 y2)f(y 一 2x)，且已知 f(y)= f(0)=1，则 02z(1，y)d
4、y=_18 设 z=z(x，y)由方程 y+z=xf(y2 一 z2)确定，f 可微，则 _19 已知函数 f(x+y，xy)=x 2 一 y2，则20 曲面 z2 一 xy=1 到原点最短的距离 d 等于_21 设函数 z=z(x，y)由方程 x 一 az=(y 一 bz)确定，且 为可导函数，则计算题22 求函数 f(x，y)=x 2+y3 一 3xy 的极值23 求函数 u=f(x，y，z)=x+y+z 在约束条件 xyz=a3 下的条件极值，其中 x，y，z，a均大于零24 设函数 求 zx|(0,1)和 zy|(0,1)25 设函数 f(x，y)=(x 2+y) ，求 fx(x，2x
5、)，f y(x，2x)和 (f(x，2x)26 设 f(x+y， )=x2-y2，求 fx(x，y)和 fy(x，y)27 设函数 试求 fxx“(0，0)28 29 若 z=xf(x+y)+yg(x 一 y),f 和 g 有二阶连续导数，求30 求由方程 确定的函数 z=z(x，y)在点(1，0，一 1)处的全微分 dz31 已知 当 x，y，z 分别增加一个单位时，哪个变量对函数 u 的变化影响最大?32 求函数 f(x，y，z)=xyz 在条件 (x0，y0，z 0，常数 r0)下的极值33 求函数 的值域MPA 公共管理硕士综合知识数学微积分（多元函数微分学）模拟试卷2 答案与解析选择
6、题1 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 由 ez=xyz，两边同时对 x 求偏导得【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 由于 的解为(0，0)，(2，2)计算得 A=fxx“=6x 一 8，B=f xy“=2，C=f yy“=一 2在点(2， 2)处，ACB 20，所以点(2，2)不是极值点在点 (0，0) 处，ACB 20，且 A=一 80，所以点(0，0)是极大值点【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 由方程 x2+y2+z2 一 3xyz=0，对 x 求
7、导【知识模块】 微积分6 【正确答案】 A【试题解析】 由题意 所以 a=2，故选(A)【知识模块】 微积分7 【正确答案】 A【试题解析】 对方程两端求微分，xdy+ydx=e x+y(dx+dy)，则【知识模块】 微积分8 【正确答案】 C【试题解析】 由f(x 3)dx=x3+C 知 f(x 3)=3x2令 x3=u，则【知识模块】 微积分填空题9 【正确答案】 一 1，2y【试题解析】 由已知 f(xy，x+y)=x 2+y2+xy=(x+y)2 一 xy令 xy=u，x+y=v ，则f(u，v)=v 2 一 u，即 f(x，y)=y 2 一 x，所以【知识模块】 微积分10 【正确答
8、案】 xy【试题解析】 x2yf 一 xy2f=xyfG，由此得 G(x，y)=xy【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【试题解析】 利用隐函数求导公式设 F(x，y)=yf(x 2+y2)一 f(x+y)，令x2+y2=u，x+y=v，则有 Fx=一 f(u).2x 一 f(v).1，F x|x=0=一 f(2)= Fy=1 一 f(u).2y 一 f(v).1,Fy|x=0=【知识模块】 微积分12 【正确答案】 z【试题解析】 对 =0 关于 x 求导，得【知识模块】 微积分13 【正确答案】 3【试题解析】 将上述结果代入原方程，经整理后得 依题意知 a 应满足 6+a 一a2=0
9、， 且 10+5a0，解得 a=3 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 2(zy)【试题解析】 把行列式按第一列展开得 f(x，y，z)=x 2(z 一 y)+g1(x)，其中 g1(x)为x 的一次多项式，则【知识模块】 微积分15 【正确答案】 【试题解析】 因为容易验证，点(0，0)，(0，1)和(1，0) 都不是函数的极值点。【知识模块】 微积分16 【正确答案】 一 2【试题解析】 由 =20 知最值只可能在 D 的边界上取得，如图 162函数 z=2xy 在 AB 上的表达式为： z=2x 一(1 一 x)=3x 一1，函数 z=2xy 在 AC 上的表达式为： z=2x函数
10、z=2xy 在 BC 上的表达式为：z=2x 一(1+x)=x1 对上述三个一元函数，因其最值点应在边界取得，所以只需讨论 A，B，C 三点处的函数值进行比较 z(1，0)=2， z(0，1)=一 1， z(一 1，0)=一 2【知识模块】 微积分17 【正确答案】 一 2【试题解析】 由 有z(1， y)=一(1+y)e y-2，所以 02z(1，y)dy=一 02(1+y)ey-2dy=一 yey-2|02=一 2【知识模块】 微积分18 【正确答案】 y【试题解析】 令 F(x，y， z)=y+zxf(y2 一 z2)，所以【知识模块】 微积分19 【正确答案】 x+y【试题解析】 f(
11、x+y，xy)=x 2 一 y2=(x+y)(xy)令 u=x+y， v=x y， f(u,v)=uv，【知识模块】 微积分20 【正确答案】 1【试题解析】 设曲面上任意一点为(x，y，z) ，则该点到原点距离的平方：d2=x2+y2+z2，其中(x，y， z)满足 z2 一 xy=1 设 F(x，y，z ，)=x 2+y2+z2+(z2 一xy 一 1)，则有 解此方程组得(0，0，1)，(0，0，-1)，(1 ，一1，0)， (一 1，1，0)四个驻点由于最小值存在，比较 d(0 ，0，1)=1， d(1 ，一1，0)=d( 一 1，1，0)=2，得曲面 z2 一 xy=1 到原点最近的
12、距离为 d=1【知识模块】 微积分21 【正确答案】 1【试题解析】 令 F(x，y， z)=x 一 az 一 (ybz)，则 F x=1，F y=一 ，F z=一a+b，于是【知识模块】 微积分计算题22 【正确答案】 函数 f(x，y)的定义域为 xOy 平面，由可解得函数 f(x，y)的稳定点为 P1(0，0)，P 2(1，1) 又由 fxx“(x，y)=6x，f xy“(x，y)=一 3，f yy“(x，y)=6y，可知在 P1(0，0)点处，有A=0，B= 一 3，C=0，这时=9 0，所以 P1(0，0)点不是函数的极值点 在P2(1，1)点处，有 A=6，B=一 3，C=6，这时
13、= 一 270，所以点 P2(1，1)为函数的极小值点，极小值为 f(1，1)= 一 1【知识模块】 微积分23 【正确答案】 由约束条件解出 于是该条件极值问题便化为求函数在 xOy 平面上的第一象限内的极值问题 由求得稳定点为(a，a) ，这时对应的 z0=a 再来判定(a，a) 点是否为极值点： 由此可知(a， a， a)为条件极值问题的极小值点，极小值为 3a【知识模块】 微积分24 【正确答案】 这是要求初等函数 z 在点(0，1) 处的偏导数，我们按偏导数定义来计算更为简洁【知识模块】 微积分25 【正确答案】 由也可用链式法则计算 =fx(x，2x)+2f y(x，2x)=2(1
14、+x+6x 3+3x4)【知识模块】 微积分26 【正确答案】 先应求函数 f 的表达式由此可知有【知识模块】 微积分27 【正确答案】 先求函数 f 的一阶偏导数 fx(x，y)当(x，y)(0，0)时，有当(x，y)=(0，0)时，按偏导数的定义有由此按二阶偏导数的定义，有【知识模块】 微积分28 【正确答案】 先应将带绝对值的函数写成分片函数当(x，y)I 且不是(0，0) 点时，有当(x，y)=(0，0)时，则有 当(x,y)D 1 时，有当(x，y)D 2 时，有【知识模块】 微积分29 【正确答案】 对函数 z 求全微分，有 dz=f(x+y)dx+xf(x+y)(dx+dy)+g
15、(xy)dy+yg(xy)(dxdy)由此可知 再利用链式法则求函数 z 的二阶偏导数，由此可得【知识模块】 微积分30 【正确答案】 等式两边求全微分，有将 x=1，y=0，z=一 1 代入上式，可得【知识模块】 微积分31 【正确答案】 对 两边求全微分，有当 x 增加一个单位为足够小时，即x=1 时，有函数u 的改变量 xu=u(x+x，y，z) 一 u(x，y，z) 同理有 yu=u(x，y+y，z)一u(x，y ，z) zu=u(x，y，z+z)一 u(x，y，z) 由 xyz1，x=y=z=1 可知 即 xu yu zu这就说明对函数 u 变化影响最大的是变量 z【知识模块】 微积
16、分32 【正确答案】 本题采用拉格朗日 乘数法更为简洁构造辅助函数则由可得， ，即 x=y=z，代入，有 x=y=z=3r，即条件极值有唯一的稳定点(3r，3r，3r) 再判定稳定点是否是极值点，是极小值点还是极大值点因为条件极值问题相当于函数 g(x，y)=f(x，y，z(x，y)的一般极值问题，由于是可知有A=6r，B=3r ，C=6r ，=B 2 一 AC=一 25r3 由 A0，0 可知(3r，3r，3r)是条件极值问题的极小值点，极小值为 f(3r，3r ，3r)=27r 3【知识模块】 微积分33 【正确答案】 易知函数 z 的定义域为有界闭区域 D=(x，y)|x 2+y21)，由有界闭区域上连续函数的性质可知，函数 z 的值域由 z 的最小值与最大值确定故求函数z 的值域化为求函数 z 在区域 D 上的最小值与最大值问题 由可知函数 z 的稳定点为再比较函数在P0，P 1，P 2，P 3，P 4 点及区域 D 的边界点上的函数值： z(P)=0 ， PI=(x ，y)|x2+y2=1， z(P 0)=0，【知识模块】 微积分
