1、MPA 公共管理硕士综合知识数学微积分（定积分）模拟试卷 1 及答案与解析选择题1 设 f(x)在1，2 上可积，且 f(1)=1，f(2)=1 ， 12f(x)dx=一 1，则 12xf(x)dx=( )（A）2（B） 1（C） 0（D）一 12 设 I1=01sinx2dx，I 2=01sin(1 一 x)2dx，则( ) （A）I 1I 2（B） I1=I2（C） I1I 2（D）不可积，无法比较3 设 f(x)是连续函数，F(x) 是 f(x)的原函数，则( )（A）当 f(x)是奇函数时， F(x)必是偶函数（B）当 f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数（C）当 f(x)是周期函数
2、时，F(x)必是周期函数（D）当 f(x)是单调增函数时， F(x)必是单调增函数4 设 f(x)在0，+)可导，且 f(0)=0，并有反函数 g(x)，若 0f(x)g(t)dt=x2ex，则 f(x)等于( )（A）(2+x)e x 一 3（B） (2+x)ex+C（C） (1+x)ex 一 1（D）(3+x)e x+C5 已知某产品产量的变化率是时问 t 的函数，f(t)=at+b(a，b 为常数)，设此产品 t时的产量函数为 Q(t)，已知 Q(0)=0，则 Q(t)等于( )（A）at 2+bt（B）（C）（D）at 2+bt+C6 广义积分 ,下列结论正确的是( )7 设 f(x)
3、为已知连续函数， 其中 s0，t0，则 I 的值( )（A）依赖于 s，t 和 x（B）依赖于 s 和 t（C）依赖于 s，不依赖于 t（D）依赖于 t 和 x，不依赖于 s8 设广义积分 则( )（A）广义积分收敛且等于（B）广义积分收敛且等于（C）广义积分收敛且等于 0（D）广义积分收敛且等于 19 曲线 y= +x，y=2 及 x=2 所围成图形面积的定积分表达式为 ( )10 设 f(x)=x2 一 01f(x)dx，则 f(x)等于( )（A）（B） x2（C）（D）11 曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴围成平面图形的面积 S 等于( )（A） 01x(x 一 1)
4、(2 一 x)dx 一 02x(x 一 1)(2 一 x)dx（B） -02x(x 一 1)(2 一 x)dx（C） 02x(x 一 1)(2 一 x)dx（D）一 01x(x 一 1)(2 一 x)dx+12x(x 一 1)(2 一 x)dx12 设 f(x)连续，且 F(x)= 则 F(x)等于( )13 设 n1，广义积分（A）发散（B）收敛于（C）收敛于（D）收敛于14 若 f(x)在a，b上具有连续的导数，且 f(a)=f(b)=0，又 abf2(x)dx=1，则 abxf(x)f(x)dx 等于( ) （A）（B） 1（C） 0（D）15 设 x一 1，则 -1x(1 一|t|)d
5、t 等于( )填空题16 若 1xlntdt=1+xln(ax)，则 a=_17 f(x)是连续可导函数，且 f(2)=-1， 02f(t)dt=4，则 02tf(t)dt=_.18 设 0x-1f(t)dt=x3+3x2，则函数 f(x)的极小值点为_ 19 20 21 从原点向曲线 y=1 一 lnx 作切线，由切线、曲线和 x 轴所围成的图形的面积为_22 在抛物线 y=x2 一 1 上取一点 P(a，a 2 一 1)，过 P 引抛物线 y=x2 的两条切线，则两切线与抛物线 y=x2 所围成的图形的面积为_23 24 25 已知 f(2)= f(2)=0 及 02f(x)dx=1，则
6、01x2f“(2x)dx=_.计算题26 求夹在 y=x2 与 y= 两曲线之间，并在直线 y=a(a0)之下那部分图形的面积27 28 设 f(x)为连续函数，且满足 0xf(t-x)dt= +e-x 一 1，求 f(x)29 已知 f(x)= 求 (x)=0xf(t)dt30 已知 f(x)的一个原函数为 x2lnx，求31 设 f(x)是连续函数，且 f(x)=ex+01e-xf(x)dx，求函数 f(x)32 讨论无穷积分 的敛散性33 已知 试求正态分布 N(， 2)的期望与方差34 求函数35 求函数36 求函数37 求 02|1 一 x|dx38 证明：设函数 f(x)在一 a，
7、a上连续，那么： (1)当 f(x)为奇函数时，则 -aaf(x)dx=0； (2)当 f(x)为偶函数时，则 -aaf(x)dx=20af(x)dx39 证明：设函数 f(x)是以 T 为周期的连续函数，则对任一实数 a，有 0a+Tf(x)dx=0Tf(x)dxMPA 公共管理硕士综合知识数学微积分（定积分）模拟试卷 1 答案与解析选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 由分部积分法，有 12xf(k)dx=12xdf(x) =xf(x)|12-12f(x)dx =2f(2)一 f(1)一(一 1) =2 故本题选(A)【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 对于积分 I1，
8、设 t=x2，则 x=0 时，t=0；x=1 时，t=1 ，且有对于积分 I2，设 t=(1 一 x)2，则 x=0 时，t=1 ；x=1时，t=0，且有 由此可得 I1=I2，故应选(B) 注：由于 sinx2 和 sin(1 一 x)2 均为在0，1上的连续函数，必在0，1上可积，故可直接排除(D) 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 记 G(x)=0xf(t)dt，则 G(x)为 f(x)的一个原函数，从而 F(x)=G(x)+C 若 f(x)为奇函数，即 f(一 x)=一 f(x)，则 F(一 x)=G(一 x)+C=0-xf(t)dt+C 一0xf(一 u)du+C
9、=0xf(u)du+C=F(x)，这说明 F(x)为偶函数【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 两边求导，有 f(x)g(f(x)=(2x+x 2)ex， 即 f(x)=(2+x)e x， 则 f(x)=(2+x)exdx=(1+x)ex+C 又 f(0)=0 得 C=一 1，于是 f(x)=(1+x)ex 一 1【知识模块】 微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 即已知 Q(t)=f(t)=at+b，由 Q(0)=0，知积分以 0 为下限，所以 Q(t)=0tQ(t)dt=0t(at+b)dt= 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 此题主要是考查广义积分收
10、敛的定义 广义积分只有在收敛时，才具有奇偶函数在对称区间上的积分性质，所以(A)错误选项(B)中认为收敛，即看极限 是错误的，用定义应为 ，其中 A，B 应为独立变量选项(C) ，(D)中均作变换这是正确的，且我们知道，右边两积分中，只要有一个发散，左边积分就发散，所以(C)正确，(D) 错误【知识模块】 微积分7 【正确答案】 C【试题解析】 由此可知，I 的值只与 s 有关，不依赖于 t，应选(C) 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答案】 D【试题解析】 曲线 与 y=2 交于 x=1 点，所围面积 S=【知识模块】 微积分10 【正确答
11、案】 C【试题解析】 01f(x)dx 是个数设 01f(x)dx=A，所以 A=01f(x)dx=01x2dx 一 01=故【知识模块】 微积分11 【正确答案】 D【试题解析】 曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴的交点是： x=0，1，2当 0x1 时，y0；当 1x2 时，y0所以 S= 02|x(x 一 1)(2 一 x)|dx =一 01x(x 一 1)(2 一 x)dx+12x(x 一 1)(2 一 x)dx【知识模块】 微积分12 【正确答案】 D【试题解析】 由公式【知识模块】 微积分13 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 D
12、【试题解析】 【知识模块】 微积分15 【正确答案】 D【试题解析】 当一 1x0 时， -1x(1 一|t|)dt= -1x(1+t)dt= (1+x)2当 x0 时， -1x(1 一 |t|)dt=-10(1+t)dt+0x(1 一 t)dt=1 一 (1 一 x)2【知识模块】 微积分填空题16 【正确答案】 e -1【试题解析】 利用分部积分法，有 1xlntdt=tlnt|1x-1xdt=1-x+xlnx， 所以 1 一x+xlnx=1+xln(ax)=1+xlna+xlnx 化简得 x(1+lna)=0，可知 1+lna=0，解得 a=e-1【知识模块】 微积分17 【正确答案】
13、一 6【试题解析】 由分部积分法，有 02tf(t)dt=tf(t)|0202f(t)dt =2f(2)一 02f(t)dt =-24=一 6【知识模块】 微积分18 【正确答案】 一 2【试题解析】 等式两边求导，有 f(x 一 1)=3x2+6x， 即有 f(x 一 1)=6(x+1) 令 x一 1=t，可得 f(t)=6(t+2)由此可知，函数 f(x)有唯一极小值点 x=一 2【知识模块】 微积分19 【正确答案】 0【试题解析】 因为 由此可知【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【试题解析】 因为【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【试题解析】 ，设切点为 P(x0，y 0)
14、切线方程为 ，与 y=1-1nx 联立求切点，得切点(e 2，一 1)于是切线方程为 设所求图形面积为A(如图 152 所示) ，【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【试题解析】 设切点坐标为(x，y)，它们满足切线方程和曲线 y=x2，即由此解得切点的 x 坐标：x A=a 一 1，x B=a+1 于是所求图形面积如图 153 所示： A=a-1ax2 一2(a一 1)x 一(a 一 1)2dx +aa+1x2 一2(a+1)x 一(a+1) 2dx【知识模块】 微积分23 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分24 【正确答案】 1【试题解析】 故 2I= 24dx=2， 即
15、 I=1.【知识模块】 微积分25 【正确答案】 0【试题解析】 两次运用分部积分公式设 t=2x，则【知识模块】 微积分计算题26 【正确答案】 如图 151 所示，所求面积为【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 在积分 0xf(t-x)dt 中，令 t 一 x=u，得 0xf(t 一 x)dt=-x0f(u)du两边对 x 求导，得 f(一 x)=一 xe-x，所以 f(x)=xex【知识模块】 微积分29 【正确答案】 由题设条件，f(x)的定义域为0 ，+)当 0x2 时，(x)=令 u= 则 t=0 时，u=1；当 t=x 时， 且 t=u2
16、 一1，dt=2udu， 当 x2 时，【知识模块】 微积分30 【正确答案】 由已知条件，有 f(x)=(x 2lnx)=x+2xlnx，所以=1e(1+2lnx)dx=1edx+21elnxdx=e1+2x(lnx 一 1)|1e=e+1【知识模块】 微积分31 【正确答案】 令 01e-xf(x)dx=A，则 f(x)=e x+A， 两边同乘以 e-x，即 e -xf(x)=1+Ae-x， 两边积分，得 01e-xf(x)dx=01(1+Ae-x)dx， 则 A=1 一 Ae-x|01 =1 一 Ae-1+A， 解得 A=e， 所以 f(x)=e x+e【知识模块】 微积分32 【正确答
17、案】 因为 所以，当 p=1 时，可知这时，无穷积分 发散当 p1 时，当 p1 时，可知这时，无穷积分 收敛总之，无穷积分 当 p1 时，发散；当 p1 时，收敛【知识模块】 微积分33 【正确答案】 正态分布 N(， 2)的数学期望为其中上式第二步等式右端的第二项是奇函数的无穷积分，为零 又其方差为结果是期望为 ，方差为2【知识模块】 微积分34 【正确答案】 按定理，有【知识模块】 微积分35 【正确答案】 按复合函数的求导公式有还可有更一般的结果： 设函数 f(t)在a ，b上连续，(x)，(x)在 ，上可导，且满足 a(x)b 且 a(x)b ， x， ，则函数 F(x)=(x)(x
18、)f(t)dt 在 ，上可导，且有 F(x)=(x)f(x) 一 (x)f(x) 【知识模块】 微积分36 【正确答案】 【知识模块】 微积分37 【正确答案】 02|1-x|dx=01|1 一 x|dx+12|1 一 x|dx =01(1 一 x)dx+12(x 一 1)dx =【知识模块】 微积分38 【正确答案】 因为 -a0f(x)dx 0af(一 t)dt，所以：(1)当 f(x)为奇函数时，有 -aaf(x)dx=-a0f(x)dx+0af(x)dx=0af(一 t)dt+0af(x)dx =-0af(t)dx+0af(x)dx=0(2)当f(x)为偶函数时，有 -aaf(x)dx=-a0f(x)dx+0af(x)dx =0af(-t)dt+0af(x)dx =0af(t)dt+0af(x)dx=20af(x)dx证毕【知识模块】 微积分39 【正确答案】 因为由定积分性质可得 aa+Tf(x)dx=a0f(x)dx+0Tf(x)dx+Ta+Tf(x)dx，而 Ta+Tf(x)dx 0af(t+T)dt=0af(t)dt，代入前一式，有 aa+Tf(x)dx=a0f(x)dx+0af(t)dt+0Tf(x)dx=0Tf(x)dx【知识模块】 微积分
