1、MPA 公共管理硕士综合知识数学微积分（定积分）模拟试卷 2 及答案与解析选择题1 设 f(x)是0，+)上的连续函数，且满足 f(x)=xe-x+ex01f(x)dx，则 f(x)等于( )（A）xe -x+（B） xe-x 一（C） xe-x 一 ex-1（D）xe x+ex-12 3 曲线 与圆 x2+(y1)2=1 及直线 y=2 在第一象限所围图形的面积为 ( )4 已知 xex01f(x)dx+ +f(x)=1，则 01f(x)dx 等于( )5 设 f(x)的一个原函数是 等于( )（A）e（B） 1（C） e+1（D）e-16 （A）e aA（B）一 e-aA（C） e-aA（
2、D）一 A7 曲线 y=x3 在 P(a，a 3)点的切线(其中 a0)与曲线所围图形的面积为( )8 在曲线 y2=2px(p0)上点 处作曲线的法线，则法线与该曲线围成的区域D 的面积为( ) 9 由曲线 与过原点的曲线的切线及 x 轴所围图形的面积为( )（A）1（B）（C）（D）210 （A）（B）（C） 0（D）(A)，(B)，(C)都不正确11 12 曲线 y= 和直线 y=x 及 y=2 所围图形的面积 S 等于( )（A）1（B）（C） 1 一 ln2（D）13 I=-+(x+|x|)2e-|x|dx 等于( )（A）0（B） 2（C） 4（D）814 过点(1 ，0)作曲线
3、y=x2 的两条切线，它们与曲线 y=x2 所围图形的面积是( )填空题15 设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，则方程 2x0xf(t)dt=1 在(0，1)内实根的个数是_16 设 0x-1f(t)dt=x3 一 x2+x，则 f(x)在_处取得最小值17 18 19 由直线 x=0，x=2 ，y=0 与抛物线 y=一 x2+1 所围成的平面图形的面积S=_20 21 设 f(x)= 则 13f(x 一 2)dx=_22 由曲线 y=xex 与直线 y=ex 所围成图形的面积 S=_23 已知 xex 为 f(x)的一个原函数，则 01xf(x)dx=_24 定积分 03|x 一
4、1|dx=_25 设 f“(x)在0，2 上连续，且 f(0)=1，f(2)=3 ，f(2)=5，则 01xf“(2x)dx=_计算题26 设函数 f(x)在0，11上有连续的导数， f(x)无零点，且 f(0)=1，f(1)=2，0 求27 设 F(x)= 求 F(x)，其中函数 f(x)连续28 设函数 f(x)在(-，+)上连续，且满足 01f(x t)dt=f(x)+ 试求 f(x)29 设函数 f(x)满足：f(0)=2，f( 一 2)=0，f(x)在 x=一 1，x=5 有极值，f(x) 是二次多项式，求 f(x)30 求由方程 所确定的隐函数 y=y(x)的极值31 求由抛物线
5、y2=x 与直线 y=x 一 2 所围图形的面积 S32 当 a(0a4)为何值时，两曲线 与 y=(4 一 a)x(x 一 a)所围的图形的面积最大33 讨论无穷积分 的敛散性34 设常数 一 1， 0，试求无穷积分 其中函数在 +1 处的值35 讨论函数 f(x)的单调性，其中 f(x)在1，+) 上可积，且满足36 设 f(x)= 求 02f(x 一 1)dx37 计算下列定积分： (3)01x|a 一 x|dx；(4)050f(x)dx,其中 f(x)是 x 到离 x 最近的整数的距离38 讨论广义积分 1+ 的敛散性MPA 公共管理硕士综合知识数学微积分（定积分）模拟试卷 2 答案与
6、解析选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 令 01f(x)dx=A 原方程两边在区间0，1上积分，得 01d(x)dx=01xe-xdx+A01exdx因为 01xe-xdx=一 xe-x|01+01e-xdx=一 2e-x+1， 01exdx=e 一 1，所以 A=一 2e-1+1+AeA， f(x)=xe-xex-1【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 为奇函数，在对称区间上积分为零，而 为偶函数，所以【知识模块】 微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 三曲线所围图形如图 154 所示，面积【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 设 01f(x)dx=A，
7、将表达式两边从 0 到 1 积分【知识模块】 微积分5 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 过点 P(a， a3)的切线方程为 y=3a 2(x 一 a)+a3=3a2x 一 2a3，再求切线与曲线交点： x33a2x+2a3=(x 一 a)(x2+ax 一 2a2) =(x 一 a)(x 一a)(a+2a) =0 因此，另一交点为(一 2a，一 8a3)，切点为(a，a 3)，所求面积如图155 所示为 A=-2aax3 一(3a 2x 一 2a3)dx【知识模块】 微积分8 【正确答案】
8、C【试题解析】 因为点 在曲线 y2=2px 上，再求法线与抛物线的交点：要求的区域 D 的面积 S 如图 1-5-8 所示【知识模块】 微积分9 【正确答案】 B【试题解析】 设切点 P(x0，y 0)， 切线方程为解得 x0=2，y 0=2，切线方程为 y=x所求图形面积(见图 159)为【知识模块】 微积分10 【正确答案】 D【试题解析】 由于(A)，(B)，(C)中没有一个是 故选(D) 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 D【试题解析】 先作草图(见图 1510)，并求出曲线、直线间的交点的坐标 A，B(2，2)，C(1
9、， 1) 选取积分变量为 y，则有(y)=y， y1，2，于是有【知识模块】 微积分13 【正确答案】 D【试题解析】 因为 I= -+2x2e-|x|dx+-+2x|x|e-|x|dx， 由于 x|x|e-|x|是奇函数且 -+x|x|e-|x|dx 收敛，所以 -+x|x|e-|x|dx=0， 而 -+2x2e-|x|dx=40+x2e-xdx=4(一 e-xx2|0+0+2xe-xdx) =4(-2xe-x|0+20+e-xdx)=4(一 2e-x)|0+=8【知识模块】 微积分14 【正确答案】 B【试题解析】 先作草图(见图 1511)，再求切点及切线方程：设切点为(x 0，x 02
10、)，则切线斜率为 ，切线方程为 Y 一 x02=2x0(Xx0)因为切线通过点(1 ，0) ，即有一 x02=2x0(1 一 x0) 由此可得 x0=0 或 x0=一 2，所以切点为 O(0，0)与 A(2，4) ，两切线方程为 Y=0 与 Y 一 4=4(X 一 2)这时，两切线与曲线 y=x2 所围图形的面积为正确答案为(B)【知识模块】 微积分填空题15 【正确答案】 1【试题解析】 设 F(x)=2x0xf(t)dt 一 1，则 F(0)=一 10，F(1)=1 01f(t)dt1-01dt=0 由闭区间上连续函数的性质介值定理可知， F(x)在(0，1)内至少有一个零点 又因 F(x
11、)=2 一 f(x)0， 故 F(x)在(0，1)内为严格单调增函数，从而F(x)=0，即 2x0xf(t)dt=1 在(0，1)内有且仅有一个实根【知识模块】 微积分16 【正确答案】 【试题解析】 上式两端关于 x 求导，得 f(x 一 1)=3x2 一 2x+1，从而 f(x)=3x2+4x+2令 f(x)=6x+4=0，得唯一驻点： 而当 f(x)0；当 时，f(x)0所以 f(x)在 处取得最小值【知识模块】 微积分17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 2【试题解析】 S= 02|一 x2+1|
12、dx =01(一 x2+1)dx+12(x21)dx =【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【试题解析】 f(x)=2x 3，所以【知识模块】 微积分21 【正确答案】 【试题解析】 令 x 一 2=t，则 13f(x-2)dx=-11f(t)dt=10(1+t2)dt+01e-tdt=【知识模块】 微积分22 【正确答案】 【试题解析】 由 xex=ex 可知， x(exe)=0，则 x=0 或 x=1故 S=01(ex 一 xex)dx=【知识模块】 微积分23 【正确答案】 e【试题解析】 f(x)=(xe x)=ex+xex，所以 01xf(x)dx=xf(x)|0101f(x)d
13、x =xf(x)一 xex|01 =(x2ex)|01=e【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【试题解析】 由于 所以有 03|x 一 1|dx=01(1一 x)dx+13(x 一 1)dx【知识模块】 微积分25 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 微积分计算题26 【正确答案】 按定积分的换元积分法，作换元 u=f(x)，则有【知识模块】 微积分27 【正确答案】 因为变限定积分中的被积函数中还含有变量 x，必须通过换元，来去掉被积函数中的变量 x，即作换元 u=x+t2，则【知识模块】 微积分28 【正确答案】 由 x01f(x t)dt 0xf(u)du 可得对上式两边求导
14、，有【知识模块】 微积分29 【正确答案】 由 f(x)是二次多项式及 f(x)有极值点 x=一 1，x=5，可知有 f(x)=K(x+1)(x 一 5)，其中 K 为非零常数对上式两边积分，可得 f(x) 一 f(0)=K0x(t+1)(t-5)dt =K0x(t24t 一 5)dt 由 f(一2)=0，可得 K=3，结果有 f(x)=x 3 一 6x2 一 15x+2【知识模块】 微积分30 【正确答案】 又在等式两边求导，可得 可知隐函数 y 有唯一极小值点 x=1，且知极小值为 y(1)=0【知识模块】 微积分31 【正确答案】 先作草图(见图 156)，再求抛物线与直线的交点 A 与
15、 B 的坐标：A(1 ，一 1)，B(4，2) 选取 y 为积分变量，则有 x=(y)=y2，x=(y)=y+2，【知识模块】 微积分32 【正确答案】 先作草图(图 157)，选取 x 为积分变量则所围图形的面积为由 可知，在(0， 4)内有唯一的极值点 ，易知它是极大值点，因此即为最大值点所以当 时，所围图形的面积最大【知识模块】 微积分33 【正确答案】 由定义有所以无穷积分收敛，且其值为【知识模块】 微积分34 【正确答案】 其中利用了 函数的递推公式 (+2)=(+1)(+1)【知识模块】 微积分35 【正确答案】 先求 f(x)的表达式，即要求 1+f(x)dx=A 之值【知识模块
16、】 微积分36 【正确答案】 令 x 一 1=t，则 02f(x 一 1)dx=-11f(t)dt，由于在 一 1，1上 f(x)表达式不同，根据定积分的区间性质应分一 1，0和0，1上的两个积分计算，所以 02f(x-1)dx=-11f(t)dt=-10etdt+ =et|-10+ln(1+t)|01 =1-e-1+ln2【知识模块】 微积分37 【正确答案】 (1) =02|1 一 x|dx(开方取绝对值)= 01(1-x)dx+12(x-1)dx=1这是因为第一个积分为偶函数在对称区间上积分，第二个为奇函数在对称区间上积分为零，第三个积分利用定积分的几何意义， 是圆心在原点，半径为 2 的上半圆，它在-2，2上积分应是上半圆面积 ，故第一个积分为(3)当 a0 时， 01x|a-x|dx=01x(xa)dx= 当 a1 时， 01x|a 一 x|dx=一 01x(xa)dx= 当0a1 时， 01x|a 一 x|dx=0ax(a 一 x)dx+a1x(x 一 a)dx= 所以(4)由题意知，可得【知识模块】 微积分38 【正确答案】 依题意，得【知识模块】 微积分
