1、MPA 公共管理硕士综合知识数学微积分（导数的应用）模拟试卷 2 及答案与解析选择题1 点(0， 1)是曲线 y=ax3+bx2+c 的拐点，则有( )（A）a=1 ，b=一 3，c=1（B） a0 的任意数，b=0，c=1（C） a=1，b=0，c 为任意数（D）a，b 为任意数， c=12 对曲线 y=3x5 一 5x3，肯定不会( ) （A）有 4 个极值点（B）有 2 个极值（C）有 3 个拐点（D）关于原点对称3 以下结论正确的是( ) （A）函数 f(x)的导数不存在的点，一定不是 f(x)的极值点（B）若 x0 为函数 f(x)的驻点，则 x0 必为 f(x)的极值点（C）若函数
2、 f(x)在点 x0 处有极值，且 f(x0)存在，则必有 f(x0)=0（D）若函数 f(x)在点 x0 处连续，则 f(x0)一定存在4 设在区间a，b上 f(x)0，f(x)0，f“(x) 0，令 S1=abf(x)dx， S 2=f(b)(b-a)，S 3=f(a)+f(b)(b 一 a)，则( )（A）S 1S 2S 3（B） S2S 1S 3（C） S3S 1S 2（D）S 2S 3S 15 函数 f(x)在 x=x0 的某邻域有定义，已知 f(x0)=0 且 f“(x0)=0，则在点 x0 处 f(x)( )（A）必有极大值（B）必有极小值（C）必有拐点（D）可能有也可能没有拐点
3、6 曲线 与直线 x=-1 的交点为 P，则曲线 在 P 点的切线方程为( )（A）2xy 一 1=0（B） 2xy+3=0（C） 2x+y 一 3=0（D）2x+y+1=07 设曲线 y1=ae-x 和 y2=x2+bx+c 相交于(1，1)点，且在该点处的两条切线相互垂直，则 a，b，c 的值分别为( )（A） b=1,c=一 1（B） a=e，b=1，c=一 1（C） a=e，b=一 1，c=1（D）a= 一 e，b=1，c=18 已知曲线 x2+y2=R2 上一点(X，Y)，过点(X ，Y)作曲线的切线，交坐标轴于A，B 两点，AB 线段为最短时，点(X，Y)的坐标为( )9 红旗三轮
4、车厂每生产一副车架要搭配三副轮胎，设轮胎的数量为 x，价格为 P1，车架数量为 y，价格为 P2，又设需求函数 x=63-025P 1 与 y=60 一 ，成本函数为 C(x，y)=x 2+xy+y2+90，则红旗三轮车厂获最大利润时的产量与价格为 ( )（A）x=27，y=9 ，P 1=153，P 2=144（B） x=9，y=27，P 1=144，P 2=153（C） x=27，y=9，P 1=144，P 2=153（D）x=9，y=27 ，P 1=153，P 2=14410 设 f(x)的导函数 f(x)为如图 1-3-5 的二次抛物线，且 f(x)的极小值为 2，极大值为 4，则 f(
5、x)为( )（A）4x 3 一 6x2（B）（C） 4x3 一 6x2+4（D）11 如图 136 所示，A 为固定的一盏路灯，MN 为一垂直于 x 轴的木杆，NP 为该杆在路灯下的影子，若该杆沿 x 轴正向匀速前行，并保持与 x 轴垂直，则( )（A）P 点做匀速前移（B） P 点前移速度逐渐减少（C） P 点前移速度逐渐增加（D）P 点前移速度先增加后减少填空题12 设某商品在 200 元的价格水平下的需求价格弹性 =一 012，它说明价格在200 元的基础上上涨 1时，需求量将下降_13 奶粉厂每周的销售量为 Q 千袋，每袋价格为 2 元，总成本函数为 C(Q)=100Q2+1300Q+
6、1000，可取得最大利润为 _14 食品厂生产 A，B 两种产品的联合成本函数为 C=45q A2+3qB2，需求函数分别是 qA2=30 一 pA，q B2=45 一 pB，其中 pA，p B，q A， qB 分别表示 A，B 两种产品的价格和需求量，则最大利润为_15 设某种电子产品的产量是劳动力 x 和原料 y 的函数：F(x，y)= 假设每单位劳动力花费 100 元，每单位原料花费 200 元，现有 30 000 元资金用于生产，产量最大时的劳动力为_16 设某种化妆品每天生产 x 单位时固定成本为 20 元，边际成本函数为 C(x)=04x+2( 元单位)，如果这科化妆品规定的销售单
7、价为 18 元，且产品可以全部售出，获得最大利润为_17 方程 x4 一 x3 一 2x2+3x+1=0 在(一，+)内有_个实根18 f(x)=|t|t 一 x|dt(x0)，f(x)的单调增区间为_19 方程 x3 一 12x+q=0 有两实根，此时 q=_20 设 a0，使 I=01|x2 一 a2|dx 为最小的 a 为_21 由抛物线(y 一 2)2=x 一 1 和与抛物线相切于纵坐标 y0=3 处的切线以及 x 轴所围成的图形面积为_22 设曲线在a，b上连续，且 f(x)0，又 F(x)=axf(t)dt+ ，问方程 F(x)=0在(a ，b)内有_个实根23 由方程 x2y2+
8、y=1(其中 y0) 确定隐函数 y=y(x)，则极大值为_.24 曲线 y=lnx 与曲线在(e，1)点处的法线及 y=0 所围图形的面积为_.25 当 t一 2 时，在t，+)区间上，f(x)= 的最小值为_.26 与曲线 y=x3+x2 一 1 相切且与直线 6x 一 2y 一 1=0 垂直的直线方程是_.计算题27 设圆面积以均匀速度 c 增长，问圆周长的增长速度与圆半径有什么关系? 为什么?28 设有方程 x3 一 27x+c=0，试问 c 为何值时，方程有三个相异的实根29 竹梯长 5 米，上端靠墙，下端着地当竹梯下端离墙 25 米时，以 12 米秒的速度离开墙问这时竹梯上端下降的
9、速度是多少?30 已知函数 f(x)=ax3+x2+2 在 x=0 和 x=一 1 处取得极值，试求 f(x)的增减区间31 方程 x3 一 3x+A=0，问 A 取何值时： (1) 只有一个实根； (2)有两个不同实根； (3)有三个不同实根32 证明 f(x)= 在(0，+)内是单调增加的33 当 ba e 时，证明 abb a34 讨论函数 y=(x 一 1)x2/3 的增减区间与极值、曲线的凹性与拐点35 讨论函数 的增减性、极值和凹性、拐点，并作函数的图形36 求函数 f(x)=(x 一 1)2(x 一 2)3 在0 ，15上的最大值和最小值MPA 公共管理硕士综合知识数学微积分（导
10、数的应用）模拟试卷 2 答案与解析选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 将 x=0，y=1 代入 y=ax3 一 bx2+c 中，得 c=1将(B)选项中a0、b=0，c=1 代入 y=ax3+bx2+c 中，有 y=ax3+1，y“(x)=6ax 在 x=0 左、右两侧的符号改变，所以 a0，b=0 ，c=1 时，(0，1)是曲线 y=ax3+bx2+c 的拐点【知识模块】 微积分2 【正确答案】 A【试题解析】 y=15x 4 一 15x2=15x2(x 一 1)(x+1)， 由和知，函数有两个极值点 x=1，x=一 1有三个拐点又因为 y(一 x)=一 y(x)，故图形是对称原点的，且
11、(3x5 一 5x3)=，所以函数又是无界函数，故只有(A)项是不正确的【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 可导函数的极值点一定是驻点【知识模块】 微积分4 【正确答案】 B【试题解析】 如图 138 所示，S 2 等于长方形 ABCE 的面积，S 3 等于梯形ABCD 的面积，S 1 等于曲边梯形 ABCD 的面积，从而有 S2S 1S 3【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 根据极值点和拐点的判定定理判定 f(x 0)=0 仅是 f(x)在 x0 点取得极值的必要条件，只有当 f“(x0)0 时，才必为极值点，故选项(A) ，(B)不成立 若f“(x0)=
12、0，而 f“(x)在 x0 的左右两侧邻近异号，点(x 0，f(x 0)是拐点，当两侧的符号相同时，点(x 0,f(x0)不是拐点，所以排除 (C)【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 易得 P 点的坐标为(一 1，1)，又由 y= 得 y(一 1)=2故切线方程为 y 一 1=2(x+1)，即 2xy+3=0【知识模块】 微积分7 【正确答案】 C【试题解析】 y 1=一 ae-x，y 1(1)=一 ae-1，y 2=2x+b，y 2(1)=2+b由已知，一 ae-1.(2+b)=一 1,又有 1=ae-1，1=1+b+c 三式联立，解得 a=e，b=一 1，c=1【知识模块
13、】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 x 2+y2=R2，两边对 x 求导： 过(X，Y)点的切线方程为： 代入 X2+Y2=R2，切线方程为 Xx+Yy=R2 所以 AB 线段长度的平方为：因在圆周 X2+Y2=R2 上d2 最小值存在，驻点唯一，所以 为所求坐标【知识模块】 微积分9 【正确答案】 C【试题解析】 由 x=63025P 1 得 P 1=2524x； P2=1803y利润函数 L(x，y)=xP 1+yP2 一 C(x，y) =x(2524x)+y(1803y)一(x2+xy+y2+90) =252x 一 5x2+180y 一 4y2 一 xy 一 90，其中 x=3y
14、，此题为条件极值问题用拉格朗日乘数法设 F=252x 一 5x2+180y 一 4y2 一 xy 一 90+(x 一 3y)，令 由和消去 ，有 93631x 一 11y=0，代入 x=3y，得 y=9，x=27 P 1=252427=144，P 2=18039=153由于最大利润存在，驻点唯一，所以x=27， y=9， P1=144，P 2=153 时利润最大【知识模块】 微积分10 【正确答案】 C【试题解析】 设 y=f(x)=ax(x 一 1)(a0)，则 f(x)=f(x)dx=ax(x 一 1)dx=又因 f(0)=0，f(1)=0，f“(x)=2ax 一 a，于是有 f“(0)=
15、-a0，f“(1)=a0 所以 f(x)的极大值点为 x=0 且 f(0)=4，极小值点为 x=1，且f(1)=2又因 f(0)=C，所以 C=4，f(1)= ，所以 a=12故函数 f(x)=+4=4x3 一 6x2+4【知识模块】 微积分11 【正确答案】 A【试题解析】 由题意知 =定值，设为 a，另设 ON=x，OP=y，则由故 这表明，当该杆沿 x 轴匀速前行时 P 点匀速前移所以应选(A)【知识模块】 微积分填空题12 【正确答案】 012【试题解析】 由于在 200 元的价格水平下的需求价格弹性=一 012，这里负号表示需求量与价格变动的方向相反，它表示需求量变动幅度是价格变动幅
16、度的 012 倍，即价格在 200 元的基石吐上上涨 1时，需求量将下降 012【知识模块】 微积分13 【正确答案】 225 元【试题解析】 利润函数为 L(Q)=2 000QC(Q)=一 100Q2+700Q 一 1 000，于是令 L(Q)=一 200Q+700=0，得 Q=35，又 L“(Q)=一 2000，所以 Q=35 时取得最大利润，最大利润为【知识模块】 微积分14 【正确答案】 115【试题解析】 设利润为 L，则 L=pAqA+pBqBC(qA，q B0)=(30 一 qA2)qA+(45 一qB2)qB-(45q A2+3qB2)=30qA 一 qA3+45qBqB3 一
17、 45q A2 一 3qB2，解得 q A=2，q B=3 根据题意，最大利润一定存在，又函数在定义域内只有唯一驻点，因此可以断定：当qA=2，q B=3，即生产 A 种产品 2 个单位，生产 B 种产品 3 个单位时，获利最大，为 115【知识模块】 微积分15 【正确答案】 225【试题解析】 产量函数 f(x，y)= 由 100x+200y=30 000，解得 x=3002y，代入 f(x，y)得所以y=37 5，x=225 时，产量最高【知识模块】 微积分16 【正确答案】 300 元【试题解析】 因为变上限的定积分是被积函数的一个原函数，因此可变成本就是边际成本函数在0，x 上的定积
18、分，又已知固定成本为 20 元，即 C(0)=20，所以每天生产 x 单位时总成本函数为 C(x)= 0x(04t+2)dt+C(0) =(0.2t2+2t)|0x+20 =0 2x2+2x+20 设销售 x 单位化妆品得到的总收益为 R(x)，根据题意有 R(x)=18x 因为 L(x)=R(x)一 C(x)，所以 L(x)=18x 一 (02x 2+2x+20) =一 02x 2+16x一 20 由 L(x)=一 04x+16=0，得 x=40，而 L“(40)=一 040，所以每天生产40 单位时，才能获最大利润最大利润为 L(40)= 一 0240 2+164020=300(元)【知识
19、模块】 微积分17 【正确答案】 2【试题解析】 令 f(x)=x4 一 x3-2x2+3x+1，此题先求出 f(x)的极值点，然后由 f(x)的图形求出 f(x)=0 的根f(x)=4x 3-3x2 一 4x+3=(x2 一 1)(4x 一 3)f“(x)=12x2 一 6x 一 4 f“(1)=20，x=1 为极小值点，极小值 f(1)=2 f“( 一 1)=140，x=一 1 为极小值点，极小值 f(一 1)=一 2f(x)的图形大致如图 139 所以 f(x)=0 有两个实根【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【试题解析】 f(x)= 01t|t-x|dt(x0)【知识模块】 微积
20、分19 【正确答案】 q=16 【试题解析】 设 f(x)=x3 一 12x+q，f(x)=3x 2 一 12 0，得 x=2f“(x)=6x，f“(2)=120，x=2 时取得极小值f“( 一 2)=一 120，x= 一 2 时取得极大值又因为 f(2)=q 一 16，f(一 2)=q+16(1)当 时，如图 1310 所示，有三个实根 (2)当 q=一 16 或 q=16 时，如图 1311所示，有两个实根 (3)当q+160 或 q 一 160 时，有一个实根【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【试题解析】 当 0a1，0a 21 I= 01|x2 一 a2|dx=0a(a2-x2)
21、dx+a1(x2 一 a2)dx当 a1 时，a 21，I= 01|x2-a2|dx=01(a2 一 x2)dx=a2一 所以 当 0a1 时，I(a)=4a 2 一 2a得驻点 ,I“(a)=8a 一 2，当 a1 时，无驻点当 a=1 时，I(a)连续， 所以 I(1)=2 存在由上可见， 是唯一驻点，且为极小值点，所以为最小值点【知识模块】 微积分21 【正确答案】 9【试题解析】 由(y 一 2)2=x 一 1，两边对 x 求导：y0=3 时，x 0=2，所以 y0=3 处的切线方程为即 x=2y 一 4，所求面积为图 1315 中阴影部分的面积A=03(y-2)2+1(2y-4)dy
22、= (y 一 2)3+y-y2+4y|03=9【知识模块】 微积分22 【正确答案】 1【试题解析】 首先证明 F(x)在(a ，b) 内有根因为 f(x)0，b a，所以 F(a)0，F(b)0 又 f(x)在a，b上连续， F(x)在a，b上可导，所以 F(x)在a，b上必连续，由闭区间上连续函数的性质，至少存在一个 (a，b)，使 F()=0 又因为F(x)在a，b内单调增，所以F(x)在(a，b)内有唯一实根( 或 F(x)= ，所以 F(x)在(a，b) 内单调增，在(a ，b)内有唯一实根)【知识模块】 微积分23 【正确答案】 1【试题解析】 利用隐函数求导法 2xy 2+x2.
23、2y.y+y=0，由于当 x0 时，y0；当 x0 时，y0所以 x=0 为极大值点，极大值 y(0)=1【知识模块】 微积分24 【正确答案】 【试题解析】 过点(e，1) 的法线方程为 y=一 e(xe)+1=一ex+e2+1，所求面积如图 1316 所示 面积【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【试题解析】 首先求 f(x)的驻点：因为得 x=一 2， x=1 设 t一 2，驻点为 x=一 2，x=1则 f(x)的取值如下：所以当 t一 2 时，x=一 2 为极小值点，x=1 为极大值点 因为 x=1 为极大值点，所以不能为最小值【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【试题解析】
24、直线 6x 一 2y 一 1=0 的斜率为 3，由直线与 6x 一 2y 一 1=0 垂直知所求直线斜率为 又因为所求直线与曲线 y=x3+x2 一 1 相切，故 y=3x2+2x=，切线方程为【知识模块】 微积分计算题27 【正确答案】 设时间为 t，圆半径为 r，圆周长为 l，圆面积为 S，则它们之间有关系 S=r 2(t)， l=2r(t)，已知 S(t)=2r(t)r(t)=c，即 r(t)= 这时，l(t)=2r(t)= 可见圆周长的增长速度与半径 r 成反比，反比系数为 c【知识模块】 微积分28 【正确答案】 考虑函数 f(x)=x327x+c，它在(一，+)上连续，且 f(x)
25、=3(x29)可知 f(x)有稳定点 x1=一 3，x 2=3易知 x=-3 点为函数 f(x)的极大值点，x=3 为 f(x)的极小值点由此可知方程 f(x)=0 有三个相异实根当且仅当 f(一 3)=c+540 且 f(3)=c 一 540 f(x)0， x(一，-3) (3，+) ， f(x)0， x(一 3，3)可知方程 f(x)=0 分别在区间(一 ，一 3)，(一 3，3)，(3，+)内有且仅有一个实根，即方程有三个相异实根由此可知当一 54c54 时，方程 x3 一 27x+c=0 有相异的三个实根【知识模块】 微积分29 【正确答案】 首先对此问题建立坐标系，墙为 y 轴，地面
26、为 x 轴，设在时刻 t时，竹梯下端距墙(原点) 为 x，上端高度为 y，x 和 y 都是时间 t 的函数先找出 y 与 x 的关系：由图 1 一 37，得然后两边对 t 求导，得这里负号表示竹梯上端的坐标 y 在减小【知识模块】 微积分30 【正确答案】 f(x)=3ax 2+2x=x(3ax+2)令其为零，得驻点为 x=0， 由已知可得 于是 f(x)=2x(x+1)分析 f(x)正负号如下：故区间(一 1，0)为 f(x)的单调减区间，区间(一，一 1)和(0，+)为 f(x)的单调增区间【知识模块】 微积分31 【正确答案】 设 f(x)=x3 一 3x+A，f(x)=3x 2 一 3
27、令 f(x)=0，解得 x1=1，x 2=一1，又 f“(x)=6x，由极值点的充分条件知， f“(一 1)=一 60，f“(1)=6 0，故 f(一 1)是极大值，f(1)是极小值而 f( 一 1)f(1)=(2+A)(A 一 2)=A2 一 4当 A2 一 40，即|A|2 时，说明 f(1)与 f(一 1)同号，而故 f(x)只有一个零值点，即方程只有一个实根如图 1312 所示当 A2 一 4=0，即 A=2 或 A=一 2 时，f(1)f(一 1)=0，说明 f(1)=0 或 f(一 1)=0，此时 f(x)有两个不同的零值点，方程有两个不同实根，如图 1313 当 A2一 40，即
28、|A|2 时，说明 f(1)与 f(一 1)异号，且定有 f(一 1)0，f(1)0，此时f(x)有三个零值点，即方程有三个不同实根，如图 13 一 14【知识模块】 微积分32 【正确答案】 欲证 f(x)单调增，只要证 f(x)0 即可【知识模块】 微积分33 【正确答案】 欲证明 abb a，即证明 blnaalnb为此引入函数 f(x)=xlnaalnx (xa)， 由于 ae，所以 lna1， 故 f(x)0，因此 f(x)单调增又因 f(a)=0，所以当 xa 时，f(x) 0，ba，所以 f(b)0 blnaalnb0，即 abb a证毕【知识模块】 微积分34 【正确答案】 利
29、用一阶二阶导数来讨论 驻点为 导数不存在的点为 x=0，且 f(x)在 x=0 点连续所以，如图 1-3 一 17，( 一，0)( ，+) 为函数的增区间， 是减区间，y(0)=0 是极大值， =一 033 是极小值在 上曲线是下凹的，其余部分曲线是上凹的，点 是曲线的拐点再考虑无穷远处的性态：【知识模块】 微积分35 【正确答案】 函数的定义域为(一，+) ， 令 y=0，得驻点：x= 一 1，x=3 再由 令 y“=0，得 x=1，从而有再考虑无穷远处性态： 图形如图 1318【知识模块】 微积分36 【正确答案】 首先求在(0，15)内的驻点这是多项式，没有不可导的点 y=2(x 一 1)(x-2)3+3(x-2)2(x 一 1)2 =(x 一 1)(x-2)2(5x 一 7)令 y=0，得驻点：x 1=1，x 3=2因为 x3 0，15 ，所以不考虑 x3又因为 x=0，x=1.5 为区间端点，故只要比较四个点处的函数值计算如下：由表可见，y(0)=一 8 为最小值，y(1)=0 为最大值【知识模块】 微积分
