1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 8 及答案与解析单项选择题1 设a n，b n，c n均为非负数列，且 cn=，则( )（A）a nb n 对任意 n 都成立（B） bnc n 对任意 n 都成立（C）极限 ancn 不存在（D）极限 bncn 不存在2 （A）13（B） 15（C） 110（D）1203 （A）2（B） 32（C） 23（D）14 （A）32（B） 25（C） 53（D）35 （A）等于1（B）等于 32（C）为 （D）不存在，也不为6 7 设函数 f(x 1)= 则 f(x)在 x=1 处( )（A）连续（B）间断，但左连续（C）间断，但右连续（D）间
2、断，既不左连续，也不右连续8 设函数 y=f(x)在点 x=x0 处可导，则 f(x0)=( )9 设 f(x)在点 x=a 的某个邻域内有定义，则 f(x)在点 x=a 处可导的一个充分条件是( )10 设函数 f(x)为可导函数，且满足条件 =1则曲线 y=f(x)在(1，f(1)处的切线斜率为 ( )（A）2（B） 1（C） 12（D）211 若 f(x)=f(x)( x+)，在( ，0)内 f(x)0，f“(x)0，则在(0，+)内有( )（A）f(x)0，f“(x)0（B） f(x)0，f“(x)0（C） f(x)0，f“(x)0（D）f(x)0，f“(x)012 （A）a=1 ，b
3、=52（B） a=0，b=2（C） a=0，b=52（D）a=1 ，b=213 设 f(ex)=ex ，则f(e x)=( )（A）1（B） e2x（C） e2x（D）114 设函数 f(x)可微，则 y=f(1e x )的微分 dy=( )（A）(1+e x )f(1e x )dx（B） (1e x)f(1e x )dx（C） ex f(1e x )dx（D）e x f(1e x )dx15 设 f(x)在点 x=0 的某邻域内连续，f(0)=0， =2，则在 x=0 处 f(x)必定( )（A）不可导（B）可导且 f(0)0（C）取得极大值（D）取得极小值计算题16 设 f(x)= ，求
4、f(x1)的定义域及 f(x1)17 已知极限 =e2，求 c18 若 ax b)=0，求 a，b19 20 若极限 =k，讨论当 x0 时，f(x)与 x 阶的关系21 设 f(x)= 在点 x=1 处连续，求 a，b 的值22 设 f(x)= 判定 f(x)+g(x)在(3，+)内的连续性23 设 y=y(x)由方程 yxe y=1 所确定，求 y“|x=024 设函数 f(x)在 x=0 的某邻域内连续，且 =3，求 f(0)25 26 27 设点 x=1 为函数 y=x3+ax2 的驻点，求常数 a 的值28 设 y=(x1) 2(x+1)2，求曲线 y 的凹凸性与函数 y 的单调区间
5、29 若一条二次曲线段把(，0)内的曲线段 y=ex 和(1，+)内的曲线段 y=1x 连结成一条一阶可导的曲线，求定义在0，1上的这条二次曲线段 y=ax2+bx+c经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷 8 答案与解析单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 极限的概念是描述在给定过程中函数(数列)变化的性态，数列极限存在与否与其前有限项的值无关，因此可以排除 A， B极限 ancn 为“0”型极限，为未定型，可知应排除 C由排除法选 D【知识模块】 微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 由于所求极限的函数为分式，且分母的极限与分子的极限都为零，因此不能利用极限的商的运算
6、法则又由于其分子中含有根式，故可以先有理化再求极限 故选 D【知识模块】 微积分3 【正确答案】 A【试题解析】 所给极限为“” 型，不能利用极限的四则运算法则，需先变形故选 A【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 所给极限为“00”型，不能直接利用极限的四则运算法则首先进行等价无穷小代换，再分组，可简化运算故选 C【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 当 x+ 时，e x+，因此 当x时，e x0，因此 故选 D【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 由于 lnx 在定义域内为连续函数，因此故选 B本题利用了连续函数的性质：设 y=fg(x)为复
7、合函数，由 y=f(u)与 u=g(x)复合而成，若g(x)=u0。存在，而 y=f(u)在 u=u0。处连续，则有 fg(x)=f g(x)=f(u0)该性质是求极限的常用方法【知识模块】 微积分7 【正确答案】 B【试题解析】 设 t=x1，则 x=t+1，由 f(x1)的表达式可得f(1)=2可知 f(x)=f(1)，即 f(x)在 x=1 处左连续； f(x)f( 1)，即 f(x)在 x=1 处不右连续因此 x=1 为 f(x)的间断点故选 B【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 由于函数 y=f(x)在点 x=x0 处可导，由导数定义可知知 C 不正确对于 D， =
8、2f(x0)f(x 0)=f(x0)故选 D【知识模块】 微积分9 【正确答案】 D【试题解析】 对于 A，令 t=1h，则 h+ 时，t0 +，可知当 t0 +时，存在，这只能保证 f+(a)存在，而不能保证 f(a)存在，因此排除 A对于 B，可设 f(x)=f(x)在点 x=a 处不连续，因此必不可导，但此时，存在排除 B对于 C，设 f(x)=|x|，f(x)在 x=0 处不可导，但当 a=0 时，C 中极限存在，排除 C对于 D，=f(a)可知 D 正确故选 D【知识模块】 微积分10 【正确答案】 D【试题解析】 =12f(1)= 1，可知f(1)=2由导数的几何意义可知，曲线 y
9、=f(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为2，故选 D【知识模块】 微积分11 【正确答案】 C【试题解析】 由题设 f(x)=f(x)，可知函数 f(x)为偶函数，其图形关于 y 轴对称由于在(， 0)内 f(x)0，可知 f(x)单调增加因此在(0，+)内 f(x)关于 y 轴对称的图形为单调减少，应有 f(x)0由于在(， 0)内 f“(x) 0，因此其图形为凸而经 y 轴对称，在(0，+)内图形仍为凸，从而f“(x)0故选 C【知识模块】 微积分12 【正确答案】 A【试题解析】 由于极限 =2，所求极限为“00”型，由洛必达法则知分母极限为零，比值极限存在，可知分子极限应为零，即 1
10、(a+2bx)(1+x)=1 a=0，从而知 a=1代入前面分式的极限，有解得b= 52故选 A【知识模块】 微积分13 【正确答案】 A【试题解析】 由复合函数的链式求导法则，可知 f(e x)=f(ex)e x=ex e x=1， 故选 A【知识模块】 微积分14 【正确答案】 D【试题解析】 由于 f(x)可微，可得 dy=df(1e x )=f(1e x )(1e x )dx=ex f(1e x )dx 故选 D【知识模块】 微积分15 【正确答案】 D【试题解析】 先研究 f(x)在点 x=0 处的可导性由于 f(0)=0，且 =2，可得 由于上面分式的分母极限为零，则其分子极限也必
11、定为零(或当 x0 时， x)，即可知 f(0)=0，因此 A，B 都不正确此时知 x=0 为 f(x)的驻点又由 f(x)x 2=1，由极限基本定理可知 f(x)x 2=1+(当 x0 时， 为无穷小量)，因此可知 f(x)=x2+o(x2)，对任意 x0，都有 f(x)0=f(0)，可知 f(0)为 f(x)的极小值故选 D【知识模块】 微积分计算题16 【正确答案】 由题设知，当4x0，且 4x1 及 49(x1) 20 时 f(x1) 有定义，即x4，x3，6x8 ，故 f(x)的定义域为6，3) (3，4)由于 fx=2 为 f(x1)定义域内的点，因此【知识模块】 微积分17 【正
12、确答案】 所给问题为求极限的反问题可先求极限，再定 c 的值=ec ec =e2c=e2，因此 c=1【知识模块】 微积分18 【正确答案】 所给问题为求极限的反问题因此应有 10a=0，(a+b)=0，得a=1，b=1【知识模块】 微积分19 【正确答案】 由于所给分式的极限存在且分母的极限为零，因此其分子的极限必定为零即 由对数的性质可知，当 x0 时，f(x)sinx0，因此当 x0 时，ln1+ f(x)sinx故由题设条件知 f(x)x 2=3【知识模块】 微积分20 【正确答案】 因此=k+a(当 x0 时，a 为无穷小)，则可知当 a+1=3，即 a=2 时，因此 f(x)x 2
13、=1即无论 k 为何值，f(x)为 x 的 2 阶无穷小量【知识模块】 微积分21 【正确答案】 点 x=1 为 f(x)的分段点，在点 x=1 两侧 f(x)表达式不同考虑 f(x)在点 x=1 两侧的单边连续性 asinx2=asin1，f(1)=b当f(x)=f(1)，即 b=asin1 时，f(x)在点 x=1 处左连续令 t=x+1，当 x1 +时，t0 +可知当 f(x)=f(1)，即 b=e时，f(x)在点 x=1 处右连续综上可知当 a=esin1，b=e 时，f(x)在点 x=1 处连续【知识模块】 微积分22 【正确答案】 由题设知 f(x)+g(x)为分段函数，分段点为
14、x=0，x=1在(，0) ，(0，1)，(1，+)内，f(x)+g(x) 为初等函数，故为连续函数只需考查其在点 x=0，x=1 处的连续性(2x)= ，f(0)+g(0)=，可知 f(x)+g(x)在点 x=0 处存在左极限，但不左连续 (2x+)=f(0)+g(0)，因此 f(x)+g(x)在 x=0 处右连续则 x=0 为 f(x)+g(x)的第一类间断点 (2x+)=2+ f(x)+g(x)=f(1)+g(1)=1+a可知仅当 a=1 时，f(x)+g(x)在点 x=1 处连续综上可知，f(x)+g(x) 在(，0)，(0，1)，(1，+) 内连续， x=0 为其第一类间断点当 a=1
15、 时，点 x=1 为 f(x)+g(x)的连续点；当 a1 时，点 x=1 为 f(x)+g(x)的第一类间断点【知识模块】 微积分23 【正确答案】 将 x=0 代入方程，得 y=1，方程两端分别对 z 求导数，得y=eyxe yy=0y= ， (*)因为当 x=0 时， y=1，所以 y|x=0=e将(*)式两端对 x 再求导，得 代入x=0，y=1，y=e，可得少 y“|x=0=2e2【知识模块】 微积分24 【正确答案】 由于 sinxx=1，则可知从而知： f(x)x=2由于上面分式极限存在，分母的极限为零，因此分子的极限必定为零又由于 f(x)在点 x=0 的某邻域内连续，因此 f
16、(x)=0=f(0)从而可得即 f(0)=2【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 本题属于“”型，应通分化成“0 0”型【知识模块】 微积分27 【正确答案】 由于 y=x3+ax2，可得 y=3x2+2ax，又 x=1 为 y 的驻点，因此y|x=1=3+2a=0，可解得 a=32【知识模块】 微积分28 【正确答案】 y=(x 1)(x+1)2=(x21) 2，y=4x(x 21)=4x 24x，y“=12x 24，令 y=0 得驻点 x1=1，x 2=0，x 3=1在(，1)，(0，1)内，y0，函数 y 单调减少；在(1，0) ，(1，+)内，
17、y0，函数 y 单调增加由 y“=12x24=4(3x 21)得当 时，y“0，曲线 y 为凸当x x+时，y“ 0，曲线 y 为凹【知识模块】 微积分29 【正确答案】 题目等价于函数 在(，+)内一阶可导，求 a，b，c 的值只需考虑在 x=0， x=1 处函数可导时，a ，b，c 的值 因为 f(x)在点 x=0 可导，必定连续，故必定有极限，可知 c=1 (ax2+bx+c)=a+b+c=a+b+1，因为 f(x)在点 x=1 可导，必定连续，故必定有极限，可知a+b+1=1，即 a+b=0，b= a，此时由于 f(x)在 x=0 处可导，有 f (0)=f+(0)，即 a=1，b=1可知当 a=1 时，f(1)存在故 a=1，b=1 ，c=1 ，即 y=x 2+x+1(0x1)为所求二次曲线段【知识模块】 微积分
