1、经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷 4 及答案与解析单项选择题1 要使 部是线性方程组 Ax=0 的解，只要系数矩阵 A 为( )。2 设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯型矩阵是 则自由变量不能取成( ) 。（A）x 4，x 5（B） x2，x 3（C） x2，x 4（D）x 1，x 33 设 1， 2， 3 是 Ax=0 的基础解系，则该方程组的基础解系还可以表示成( )。（A） 1， 2， 3 的一个等价向量组（B） 1， 2， 3 的一个等秩向量组（C） 1， 1+2， 1+2+3（D） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 14 设 A 为 n 阶方阵，且秩(A)=
2、n 一 1， 1， 2 是 Ax=0 的两个不同的解向量，则Ax=0 的通解为( )。（A）k 1（B） k2（C） k(1 一 2)（D）k( 1+2)5 对于 n 元方程组，下列命题正确的是( )。（A）如果 Ax=0 只有零解，则 Ax=b 有唯一解（B）如果 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多解（C）如果 Ax=b 有两个不同的解，则 Ax=0 有无穷多解（D）Ax=b 有唯一解的充要条件是 r(A)=n6 已知 1， 2 是 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2 是相应齐次方程组 Ax=0 的基础解系，k 1，k 2 是任意常数，则 Ax=b 的通解是( )。7 设 n 阶矩
3、阵 A 的伴随矩阵为 A*0，若 1， 2， 3， 4 是非齐次方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的其次方程组 Ax=0 的基础解系 ( )。（A）不存在（B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量（D）含有三个线性无关的解向8 n 阶矩阵 A 可逆的充分必要条件是( )。（A）任一行向量都是非零向量（B）任一列向量都是非零向量（C） Ax=b 有解（D）当 x0 时，Ax0，其中 x=(x1，x 2,，x n)T9 设 A 是 mn 矩阵，则下列命题正确的是( ) 。（A）如 mn，则 Ax=b 有无穷多解（B）如 Ax=0 只有零解则 Ax=b 有唯一解（C）如 A 有 n
4、 阶子式不为零，则 Ax=0 只有零解（D）AX=b 有唯一解的充分必要条件是 r(A)=n10 非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量的个数为 n，方程组个数为 m，系数矩阵 A的秩为 r，则明天正确的是( )。（A）r=m 时，方程组 Ax=b 有解（B） r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（C） m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（D）rn 时，方程组 Ax=b 有无穷多解11 若线性方程组 无解，则 k=( )。（A）6（B） 3（C） 3（D）212 设线性无关的向量组 z1，z 2，z 3，z 4 可由向量组 1， 2， s 线性表示，则必有( )。（A） 1， 2， s 线
5、性相关（B） 1， 2， s 线性无关（C） s4（D）s4填空题13 设 1， 2， s。是方程组 Ax=b 的解，若 k11+k22+kss 也是 Ax=b 得解，则 k1，k 2，k s 应满足条件_。14 设 1， 2， 3 位 Ax=0 的基础解系，则 1 一 2,2-3， 3 一 1 也是 Ax=0 的基础解系的充要条件是_。15 齐次线性方程组 只有零解，则 k 应满足的条件是_。16 设 A 是 4 阶方阵，且秩(A)=2，则齐次线性方程组 A*x=0(A*是 A 得伴随矩阵)的基础解系所包含的线性无关解向量的个数为_。17 设 A、B 为三阶方阵，其中 且已知方阵 X，使得A
6、X=B，则 k=_18 已知方程组 总有解，则 应满足_。19 设 A 为三阶非零矩阵，B= 且 AB=0，则 Ax=0 的通解是_。20 设 A*是 A 的伴随矩阵，则 A*x=0 的通解是_。21 已知方程组 的通解是(1，21，0) T+k(一 1，2，一 1，1) T，则a=_。22 已知 如果矩阵方程 Ax=B 有解但不唯一，则a=_。计算题23 已知下列线性非齐次方程组(I)，( )(1)求解方程组(I)，用其求出的基础解析表示通解(2)当方程组中的参数 m，n，t 为何值时，(I)和()是同解方程组?24 设线性方程组 与方程 x1+2x2+x3=a 一 1 有公共解，求 a 的
7、值及所有公共解。25 问 为何值时，线性方程组 有解，并求出解的一般形式。26 解线性方程组27 设 (I)求满足 A2=1，A 23=1 的所有解向量2， 3。() 对于(I)中任意向量 2， 3，证明 1， 2， 3 线性无关。28 设 已知线性方程组 Ax=b 存在两个不同的解，(I)求，a 。 () 求方程组 Ax=b 的通解。29 设方程组 与方程组()x 1+2x2+x3=a-1 有公共解，求 a 的值及所有公共解。30 设方程组 ，问 m，k 为何值时，方程组有唯一解 ?有无穷多解，在无穷多解时。求出一般解。31 已知齐方程组 同解，求 a，b，c的值。32 设 问 为何值时(I
8、) 可以用1， 2， 3 唯一地线性表示。() 可由 1， 2， 3 线性表示，但表达式不唯一。() 不能用 1， 2， 3 线性表示。33 已知齐次线性方程组 试讨论a1，a 2，a n 和 b 满足何种关系式.(I)方程组仅有零解；()方程组有非零解在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。34 设齐次方程组 其中 a0，b0，n2 是讨论 a，b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多解?在有无穷多解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解。35 求齐次线性方程组 的全部解(要求用基础解系表示)。36 求线性方程组 的通解。经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷 4 答案与解析单
9、项选择题1 【正确答案】 A【知识模块】 数学基础2 【正确答案】 A【知识模块】 数学基础3 【正确答案】 C【知识模块】 数学基础4 【正确答案】 C【知识模块】 数学基础5 【正确答案】 C【知识模块】 数学基础6 【正确答案】 B【知识模块】 数学基础7 【正确答案】 B【知识模块】 数学基础8 【正确答案】 D【知识模块】 数学基础9 【正确答案】 C【知识模块】 数学基础10 【正确答案】 A【知识模块】 数学基础11 【正确答案】 A【知识模块】 数学基础12 【正确答案】 C【知识模块】 数学基础填空题13 【正确答案】 k 1+k2+， ，+k s=1【知识模块】 数学基础1
10、4 【正确答案】 1【知识模块】 数学基础15 【正确答案】 【知识模块】 数学基础16 【正确答案】 4【知识模块】 数学基础17 【正确答案】 k=-2【知识模块】 数学基础18 【正确答案】 【知识模块】 数学基础19 【正确答案】 k 1(1，4，3) T+k2(一 2，3，1) T【知识模块】 数学基础20 【正确答案】 k 1(1，4，7) T+k2(2，5，8) T【知识模块】 数学基础21 【正确答案】 3【知识模块】 数学基础22 【正确答案】 a=-2【知识模块】 数学基础计算题23 【正确答案】 (1)对(I) 的增广矩阵进行初等行变换化为阶梯型有求得(I)的通解为(一
11、2，一 4，一 5，0) T+k(1，1，2，1) T(2)将 0=(一 2，一 4，一 5，0) T 代入()，得 m=2，n=4，t=6，则 () 为 将 1=(1，1，2，1) T 代入()的导出齐次方程 Bx=0 也满足，易证 1=(1，1，2，1) T 也是 Bx=0 的基础解系。又计算知 r(B)= =3，即方程 Bx=0 只有一个基础解系，Bx=b 有解 所以 Ax=0与 Bx=0 同解，又 0=(一 2，一 4，一 5，0) T 是(I)和()的同一个特解，故(I)和()同解。【知识模块】 数学基础24 【正确答案】 将与 联立，得则方程的解就是 与的公共解。对方程组的增广矩阵
12、作初等行变换，有若a=1，则 从而方程组的通解为 k(1，0，一 1)T，即为方程组与的公共解。若 a=2，则 从而方程组的通解为(0 ，1，一 1)T，即方程组与 的公共解。【知识模块】 数学基础25 【正确答案】 当 =1 是，方程组有解 x=(1，-1，0) T+k(一 1，2，1) T。【知识模块】 数学基础26 【正确答案】 x=(一 5，0，0 一 4，0) T+k1(一 3，1，0，0，0)T+k2(3，0，0，2，1) T。【知识模块】 数学基础27 【正确答案】 (I) 2=(0，0，1) T+k(1，一 1，2) T， 3= +t1(一1，1，0) T+t2(0，0，1)
13、T 其中 k，t 1，t 2 为任意常数。 ()| 1， 2， 3|= 0，所以1， 2， 3 必线性无关。【知识模块】 数学基础28 【正确答案】 (I)=一 1，a=一 2，()通解为 +k(1，0，1) T，其中 k 为任意常数。【知识模块】 数学基础29 【正确答案】 当 a=1 时，有公共解 k(一 1，0，1) T，当 a=2 时，有公共解(0，1，一 1)T。【知识模块】 数学基础30 【正确答案】 当 m一 1 时，方程组有唯一解；当 m=一 1 且 k1 时，方程组无解；当 m=一 1 且 k=1 时，方程组有多组解： +k(一 1，0，1) T，其中 k 为任意常数。【知识
14、模块】 数学基础31 【正确答案】 a=2， b=1， c=2。【知识模块】 数学基础32 【正确答案】 (I)当 0 且 一 3 时， 可以用 1， 2， 3 唯一地线性表示。 ()当 =0 时， 可由 1， 2， 3 线性表示，但表达式不唯一。 ()当 =一 3 时， 不能用 1， 2， 3 线性表示。【知识模块】 数学基础33 【正确答案】 方程组的系数行列式(I)b0 且|A|0,方程组仅有零解。( )当 b=0 时，原方程组的同解方程组为a1x1+a2x2+anxn=0。由 可知 ai(i=1，2， ，n) 不全为零，不妨设 a10，因为秩 r(A)=1，取 x2，x 3，x n 为
15、自由变量，可得方程组的基础解系为 1=(一a2，a 1，0， ，0) T， 2=(一 a3，0，a 1， ，0) T， ， n-1=(一 an，0，0， ，a 1)T。由于秩r(A)=n1，则 Ax=0 的基础解系是 =(1，1，1， 1)T。【知识模块】 数学基础34 【正确答案】 方程组的系数行列式(I)当 ab且 a(1-n)b 时，方程组只有零解。()当 a=b 时，对系数矩阵做初等行变换，有得到基础解系： 1=(一1，1，0，0) T， 2=(一 1，0，1，0) T， ， n-1=(一 1，0，0，1) T 方程组的通解为：k 11+k22+kn-1n-1 其中 k1，k 2，k
16、n-1 为任意常数()当 a=(1一 n)b 时，对系数矩阵做初等行变换，有得基础解系为：=(1，1，1，1) T。通解为 k，其中 k 为任意常数。【知识模块】 数学基础35 【正确答案】 对系数矩阵作初等行变换得r(A)=2，故此方程组的基础解系含解向量的个数为 42=2 选 x1，x 4 为自由未知数，令(x 2，x 4)T=(1,0)T，可求得 1=(一2，1，0，0) T 令(x 2，x 4)T=(0，1) T，可求得 2=(1，0，0，1) T 则 1， 2 是此方程组的基础解系故齐次线性方程组的通解为 k11+k22,其中 k1，k 2R。【知识模块】 数学基础36 【正确答案】 第一步，对增广矩阵做初等变换。第二步，求方程组的通解。r(A)=2,3 一 r(A)=1，导出组的一个基础解系为 方程组的一个特解为：【知识模块】 数学基础
