1、考研数学二（二次型）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知实二次型=(a 11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2 正定，矩阵 A=(aij)33，则( )（A）A 是正定矩阵。（B） A 是可逆矩阵。（C） A 是不可逆矩阵。（D）以上结论都不对。2 设 f=xTAx，g=x TBx 是两个 n 元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )（A）x T(A+B)x。（B） xTA 一 1x。（C） xTB 一 1x。（D）x TABx。3 设 A，B 均
2、为 n 阶正定矩阵，下列各矩阵中不一定是正定矩阵的是 ( )（A）A 一 1+B 一 1。（B） AB。（C） A*+B*。（D）2A+3B 。4 下列条件不能保证 n 阶实对称阵 A 正定的是( )（A）A 一 1 正定。（B） A 没有负的特征值。（C） A 的正惯性指数等于 n。（D）A 合同于单位矩阵。二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 已知三元二次型 f=xTAx 的秩为 2，且 求此二次型的表达式，并求正交变换 x=Qy 化二次型为标准形。6 设矩阵 有一个特征值是 3，求 y，并求可逆矩阵 P，使(AP)T(AP)为对角矩阵。6 设二次 f(x1，x 2，x 3
3、)=xAx 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 y1+y2，且 Q 的第三列为7 求 A；8 证明 A+E 为正定矩阵，其中 E 为三阶单位矩阵。8 已知 二次型 f(x1，x 2，x 3)=xT(ATA)x 的秩为 2。9 求实数 a 的值；10 求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形。10 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=ax12+ax22+(a 一 1)x3+2x1x32x2x3。11 求二次型 f 的矩阵的所有特征值；12 若二次型 f 的规范形为 y12+y22，求 a 的值。13 设方阵 A1 与 B1 合同，A 2 与 B2 合同，证明： 合同。14 设 A 为 m 阶实
4、对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵， BT 为 B 的转置矩阵，试证：BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是 r(B)=n。14 设 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn矩阵。15 计算 PTDP，其中16 利用的结果判断矩阵 B 一 CTA 一 1C 是否为正定矩阵，并证明结论。16 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记17 证明二次型 f 对应的矩阵为 2T+T；18 若 ， 正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为 2y12+y22。19 用正交变换将二次型 f(x
5、1，x 2，x 3)=x12 一 2x22 一 2x32 一 4x1x2+4x1x3+8x3x3 化为标准形，并给出所施行的正交变换。19 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x32 一 2x1x22x1x3+2ax2x3 通过正交变换化为标准形 2y12+2y22+6y32。20 求常数 a， b 及所用的正交变换矩阵 Q；21 求 f 在 xTx=3 下的最大值。21 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=4x22 一 3x32+4x1x24x1x3+8x2x3。22 写出二次型 f 的矩阵表达式；23 用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵。23 设
6、二次型 f(x1，x 2，x 3)=3x12+3x22+5x32+4x1x34x2x3。24 写出二次型的矩阵表达式；25 求正交矩阵 P，作变换 x=Py 将二次型化为标准形。26 对 n 元实二次型 f=xTAx，其中 x=(x1，x 2，x n)T。试证:f 在条件x12+x22+x=1 下的最大值恰好为矩阵 A 的最大特征值。考研数学二（二次型）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 f=(a 11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x
7、3)2=xTATAx=(Ax)T(Ax)。因为实二次型 f 正定，所以对任意 x0,f0 的充要条件是Ax0，即齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，故 A 是可逆矩阵。所以选 B。【知识模块】 二次型2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f 是正定二次型，A 是 n 阶正定阵，所以 A 的 n 个特征值1， 2， n 都大于零。设 APj=jPj，则 ，A 一 1 的 n 个特征值必都大于零，这说明 A 一 1 为正定阵， xTA 一 1x 为正定二定型。同理，x TB 一 1x 为正定二次型，对任意 n 维非零列向量 x 都有 xT(A+B)x=xTAx+xTBx0，这说明 xT(A+B)
8、x 为正定二次型。由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以 xTABx 未必为正定二次型。【知识模块】 二次型3 【正确答案】 B【试题解析】 A，B 为正定矩阵，则 A 一 1，B 一 1 仍是正定矩阵，故 A 一 1+B 一 1 也是正定矩阵。类似地，选项 C、D 中的矩阵均为正定矩阵。故应选 B。事实上，由于(AB) T=BTAT=BA，但 AB=BA 不一定成立，故 AB 不一定是正定矩阵。【知识模块】 二次型4 【正确答案】 B【试题解析】 A 一 1 正定表明存在可逆矩阵 C，使 CTA 一 1C=E，两边求逆得到 C一 1A(CT)一 1=C 一 1A(C 一 1)T=E，即
9、A 合同于 E，A 正定，因此不应选 A。 D 选项是 A 正定的定义，也不是正确的选择。 C 选项表明 A 的正惯性指数等于 n，故 A是正定阵。由排除法，故选 B。 事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。【知识模块】 二次型二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 【正确答案】 二次型 xTAx 的秩为 2，即 r(A)=2，所以 =0 是 A 的特征值。所以 3 是 A 的特征值，(1，2，1) T 是与 3 对应的特征向量；一 1 也是 A 的特征值，(1，一 1，1) T 是与一 1 对应的特征向量。因为实对称矩阵不同特征值的特征
10、向量相互正交，设 =0 的特征向量是(x1，x 2，x 3)T，则有 由方程组解出 =0 的特征向量是(1，0，一 1)T。则经正交变换 x=Qy，有 xTAx=yTAy=3y12 一 y32。【知识模块】 二次型6 【正确答案】 因为 3 是 A 的特征值，故3EA=8(3 一 y 一 1)=0，解得y=2。于是 由于 AT=A，要(AP) T(AP)=PTA2P=A，而是对称矩阵，即要 A2A，故可构造二次型 xTA2x，再化其为标准形。由配方法，有 xTA2x=x12+x22+5x32+5x42+8x4x4=y12+22+5y32+ y42，其中y1=x1， y2=x2, ，y 4=x4
11、，即【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型7 【正确答案】 由题意知 QTAQ=A，其中 ，则 A=QAQT，设 Q 的其他任一列向量为(x 1，x 2，x 3)T。因为 Q 为正交矩阵，所以即 x1+x3=0，其基础解系含两个线性无关的解向量，即为 1=(一 1， 0，1) T， 2=(0，1，0) T.把 1 单位化得 ，所以【知识模块】 二次型8 【正确答案】 证明：因为(A+E) T=AT+E=A+E，所以 A+层为实对称矩阵。又因为A 的特征值为 1，1，0，所以 A+E 特征值为 2，2，1，都大于 0，因此 A+E 为正定矩阵。【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型9 【正确
12、答案】 由 r(ATA)=2 可得所以 a=一 1。【知识模块】 二次型10 【正确答案】 由(I)中结果，令矩阵 解得矩阵 B 的特征值为 1=0， 2=2， 3=6。由( iEB)x=0，得对应特征值1=0， 2=2， 3=6 的特征向量分别为 1=(一 1，一 1，1) T， 2=(一 1，1，0)T， 3=(1，1， 2)T。将 1， 2， 3 单位化可得：则正交变换 x=Qy 可将原二次型化为 2y22+6y32。【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型11 【正确答案】 二次型的矩阵为 ，则有所有特征值是 1=a， 2=a2， 3=a+1。【知识模块】 二次型12 【正确答案】 若
13、规范形为 y12+y22，说明有两个特征值为正，一个为 0。则由于a2aa+1，所以 a2=0，即 a=2。【知识模块】 二次型13 【正确答案】 因为 A1 与 B1 合同，所以存在可逆矩 C1，使得 B1=C1TA1C1。同理，存在可逆矩 C2，使得 B2=C2TA2C2。【知识模块】 二次型14 【正确答案】 必要性：设 BTAB 为正定矩阵，则由定义知，对任意的 n 维实列向量 x0，有 xT(BTAB)x0，即(Bx) TA(Bx)0。于是， Bx0.因此，Bx=0 只有零解，故有 r(B)=n。 充分性：因 (BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，故 BTAB 为实对称矩阵。
14、若 r(B)=n，则线性方程组 Bx=0 只有零解，从而对任意的 n 维实列向量 X0，有Bx0。又 A 为正定矩阵，所以对于 Bx0，有(Bx) TA(Bx)0。于是当 x0，有xT(BTAB)x=(Bx)TA(Bx) 0，故 BTAB 为正定矩阵。【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型15 【正确答案】 【知识模块】 二次型16 【正确答案】 由(I)中结果知矩阵 D 与矩阵 合同，又因 D是正定矩阵，所以矩阵 M 为正定矩阵，从而可知 M 是对称矩阵，那么 BCTA-1C是对称矩阵。对 m 维零向量 x=(0,0，0) T 和任意 n 维非零向量y=(y1，y 2，y n)T，都有依定
15、义，y T(B 一 CTA-1C)y 为正定二次型，所以矩阵 BCTA-1C 为正定矩阵。【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型17 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2所以二次型 f 对应的矩阵为 2T+T。【知识模块】 二次型18 【正确答案】 设 A=2T+T，由于=1 ， T=T=0，则 A=(2 T+T) =2 2+T=2，所以 为矩阵对应特征值 1=2 的特征向量；A=(2 T+T)=2T+ 2=，所以 为矩阵对应特征值 2=1 的特征向量。而矩阵 A 的秩r(A)=r(2T+T)r(2T)+r(T)
16、=2，所以 3=0 也是矩阵的一个特征值。故 f 在正交变换下的标准形为 2y12+y22。【知识模块】 二次型19 【正确答案】 二次型的矩阵为 特征多项式为矩阵 A 的特征值为 1=一 7， 2=3=2。由(iEA)x=0(i=1，2，3)解得特征值 1=一 7 和 2=3=2 对应的特征向量分别为1=(1， 2，一 2)T， 2=(一 2，1，0) T， 3=(2，0，1) T，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以先将 2,3 正交化，即再将 1， 2， 4 单位化，即则二次型 xTAx 在正交变换 x=Qy 下的标准形为一 7y12+2y22+2y32。【知识模块】 二次
17、型【知识模块】 二次型20 【正确答案】 二次型矩阵及其对应的标准形矩阵分别为由矩阵 B 可知矩阵 A 的特征值为 2，2，6。由矩阵 A 的迹 tr(A)=3=2+2+b 可得 b=一 1。由于 2 是 A 的二重特征值，而实对称矩阵 A 必可相似对角化，所以矩阵 A 的对应于特征值 2 的线性无关的特征向量有两个。于是矩阵 2EA 的秩为 1，而所以 a=一 1。由( iE 一 A)x=0(i=1，2， 3)解得特征值 1=2=2 和 3=一 1 对应的特征向量分别为 1=(1，0，一1)T， 2=(0，1，一 1)T， 3=(1，1，1) T，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交
18、，所以先将 1， 2 正交化，即再将 1， 2， 3 单位化，即 则正交变换矩阵 Q=(1， 2， 3)=【知识模块】 二次型21 【正确答案】 二次型 f=xTAx 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 2y2+2y2 一 y2。条件 xTx=3 等价于 yTQTy=y2+y2+y2=3，此时 f=2y12+2y22 一 y32=63y2 的最大值为 6，所以 f 在 xTx=3 下的最大值是 6。【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型22 【正确答案】 二次型的矩阵为 则二次型的矩阵表达式为f=xTAx。【知识模块】 二次型23 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为 矩阵 A的特征值为
19、1=1， 2=6， 3=一 6。由( iEA)x=0(i=1，2，3)解得特征值1=1， 2=6， 3=一 6 对应的特征向量分别为 1=(一 2，0，1) T， 2=(1，5，2)T， 3=(1，一 1，2) T，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以可直接将 1,2,3 单位化，即且二次型 xTAx 在正交变换 x=Qy 下的标准形为 f=y12+6y22 一 6y32。【知识模块】 二次型【知识模块】 二次型24 【正确答案】 二次型的矩阵为 则二次型的矩阵表达式为f=xTAx。【知识模块】 二次型25 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为 矩阵A 的特征值为 1=1， 2
20、=3， 3=7。由( iE 一 A)x=0(i=l，2，3)解得特征值1=1， 2=3， 3=7 对应的特征向量分别为 1=(一 1，1，1) T， 2=(1，1，0)T， 3=(1，一 1，2) T，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，所以可直接将 1,2,3 单位化，即则正交变换矩阵且二次型 xTAx 在正交变换 x=Py 下的标准形为 f=y12+3y22+7y32。【知识模块】 二次型26 【正确答案】 实二次型 f=xTAx 所对应的矩阵 A 为实对称矩阵，则存在正交矩阵 P 使 其中 i(i=1，2，n)是矩阵 A 的特征值。作线性变换 x=Py，其中 y=(y1，y 2，y n)T，则 x12+x22+xn2=xTx=yT(PTP)yTy=y12+y22+yn2，f=x TAx=yT(PTAP)y=1y2+2y2+ ny2。求 f=xTAx 在条件xTx=1 下的最大值可转化为求 f=1y12+2y22+ nyn2 在条件 y12+y22+yn2=1 下的最大值。设 c=max1， 2， n，则 f=1y12+2y22+ nyn2c(y12+y22+yn2)=c，上式取 y=(1，0，0) T 时，等号成立，此时 f 取到最大值 c。故在条件xTx=1 下 f 的最大值恰好为矩阵 A 的最大特征值。【知识模块】 二次型
