1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设数列x n和y n满足 y n=0，则当 n时，y n必为无穷小的充分条件是( )（A）x n是无穷小（B） 是无穷小（C） xn有界（D）x n单调递减2 以下三个命题， 若数列 un收敛于 A，则其任意子数列 必定收敛于 A； 若单调数列x n的某一子数列 收敛于 A，则该数列必定收敛于 A； 若数列x 2n与x 2n+1都收敛于 A，则数列x n必定收敛于 A 正确的个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）33 设 f(x)是偶函数，(x)是奇函数，则下列
2、函数( 假设都有意义 )中，是奇函数的是( )（A）f(x)（B） ff(x)（C） f(x)（D）(x)4 设 f(x)=sin(cos x)，(x)=cos(sin x)，则在区间(0， )内 ( )（A）f(x)是增函数，(x) 是减函数（B） f(x)，(x)都是减函数（C） f(x)是减函数， (x)是增函数（D）f(x)，(x)都是增函数5 6 设 f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x) 一 v(x)，并设 都不存在，下列论断正确的是 ( ) 二、填空题7 设 =0，则 ， 的值为_8 设 f(x)是奇函数，且对一切 x 有 f(x+2)=f(x)+f(2)，又 f(1)
3、=a，a 为常数，n 为整数，则 f(n)=_9 对充分大的一切 x，给出以下 5 个函数：100 x，log 10x100，e 10x， ，则其中最大的是_10 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 f(x)= g(x)=ex，求 fg(x)12 设 f(x)= 求 fg(x)13 (1)求函数 f(x)= 的表达式，x0 ； (2) 讨论函数 f(x)的连续性14 求极限： 15 求极限： 16 求极限： 17 求极限： 18 求极限： 19 求极限： 20 设 a 21 求极限： 22 求极限： 23 求极限： 24 求极限： 25 求极限： 26 求极限： 2
4、7 求极限： 28 求极限： 29 求极限： 30 求极限： 31 求极限： 考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 若 =0，故(B)正确 若取xn= =0，且x n在 n 时是无穷小、有界、单调递减的，但y n不是无穷小，排除(A)，(C)，(D)【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 D【试题解析】 对于命题，由数列收敛的定义可知，若数列 un收敛于 A，则对任意给定的 0，存在自然数 N，当 nN 时，恒有u n 一 A则当 niN时，恒有 一 A因此数列 也收敛于
5、A，可知命题正确 对于命题，不妨设数列x n为单调增加的，即 x 1x2x n，其中某一给定子数列 收敛于 A，则对任意给定的 0，存在自然数 N，当 niN 时，恒有 A 由于数列x n为单调增加的数列，对于任意的 nN ，必定存在ninni+1，有 ，从而 x n 一 A可知数列x n收敛于 A 因此命题正确 对于命题，因 =A，由极限的定义可知，对于任意给定的 0，必定存在自然数 N1，N 2： 当 2nN 1 时，恒有x 2n 一 A； 当 2n+1N 2 时，恒有 x 2n+1 一 A 取N=maxN1， N2)，则当 nN 时，总有x n 一 A因此 =A可知命题正确故答案选择(D
6、) 【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 D【试题解析】 令 g(x)=(x)，注意 (x)是奇函数，有g(一 x)=(一 x)=一 (x)=一 (x)=一 g(x)，因此 (x)为奇函数，同理可得 f(x)，ff(x)， f(x)均为偶函数答案选(D)【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 B【试题解析】 注意在(0， )内，sinx 是增函数， cosx 是减函数任取 x1，x 2(0，)，且 x1x 2，有 cosx1cos x 2，所以 sin(cos x1)sin(cosx 2)，即 f(x)是减函数；由于 sin x1sin x 2，所以 cos(sin x1)c
7、os(sin x 2)，即 (x)是减函数【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 D【试题解析】 f(一 x)= 。【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 C【试题解析】 令 u(x)= ，当 x0 时可排除(B)；令 u(x)= ，当 x0 时可排除(D)【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题7 【正确答案】 5，【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 na【试题解析】 令 x=一 1，则 f(1)=f(一 1)+f(2)，因 f(x)是奇函数，得到 f(2)=f(1)一f(一 1)=2f(1)=2a再令 x=1，则 f(3)=f(1)+f(2)+f(
8、1)=3a，现用数学归纳法证明f(n)=na当 n=1，2，3 时，已知或者已证假设 n=k 时，有 f(k)=ka当 n=k+1 时，f(k+1)=f(k 一 1)+f(2)=(k 一 1)a+2a 一(k+1)a，故对一切正整数 n，有 f(n)=na，令x=0，则 f(2)=f(0)+f(2)，即 f(0)=0=0a，又 f(x)是奇函数，故对一切负整数 n 有f(n=一 f(一 n)=一(一 na)=na所以对一切整数 n，均有 f(n)=na【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 【试题解析】 当 x 充分大时，有重要关系：e x eln x，其中 ， ， 0，故本题填 【知
9、识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 由 fg(x)=【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 本题同样考查分段函数的复合方法下面用解析法求解首先，广义化为 fg(x)= ，由 g(x)的表达式知， 当 g(x)0，即(2e x 一 10)(x0)或x 2 一 10)x0，而 2e x 一 10)x0)=x一 ln 2)x0=(x一 ln 2， x 2 一 10)x0)=一 1x1)(x0)=(0x1 当 g(x)0，即(2e x 一 10)(x0)或x 2 一 1
10、0)x0，而 2e x 一 10)x0一x一 ln 2)x0)=(一 ln 2x0 ， x 2 一 10)x0)一(x1 或 x一 1x0=(x1 综上，得 fg(x)=【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 所以 f(x)在0，+) 上连续【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 当 x0 时，tan xx，。【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 当 x0 时，sin xx，e x e 一 x=e 一 x(e2x 一 1)2x，故原极限=2【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 当 x0 时，ln(1+
11、x 4)x 4，1 一 cos x【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 这是“1 ”型极限，可用公式 计算事实上 lnu=ln1+(u 一 1)u 一 1(u1)故原式=e2【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 这是“一”型未定式极限，首先通分变成 型未定式，然后使用洛必达法求极限。【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 是“1 ”型极限，可以使用洛必达法则求极限，也可以凑成第二个重要极限，还可以利用等价无穷小代换【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 当 x0 时，e tanxesinx=esinx(etanx 一 sinx1)tan xsin x，zsin 2xx 3，故【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 当 x=0，原式=1 ；【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 原式=【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 原式=【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 原式=【知识模块】 函数、极限、连续
