1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 21 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= ，则( ) （A）a0， b0（B） a0，b0（C） a0，b0（D）a0 ，b02 设 (xa)，则 等于( )（A）e（B） e2（C） 1（D）3 设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0 使得( )（A）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)（B）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)（C）当 x(0，)时，f(x)为单调增函数（D）当 x(0，)时，f(x) 是单调减函数4 设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qy
2、=sin2x+2ex 的满足初始条件f(0)=f(0)=0 的特解，则当 x0 时， ( )（A）不存在（B）等于 0（C）等于 1（D）其他5 下列命题正确的是( ) （A）若f(x)在=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续（B）若 f(x)在 x=a 处连续，则f(x)在 x=a 处连续（C）若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续（D）若 f(a+h)-f(a-h)=0，则 f(x)在 x=a 处连续二、填空题6 设 f(x)连续，且 f(1)=1，则 =_7 设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)=0，f(0)0 ，则 =_8 设 f(x)连续，且
3、 =_9 =_10 =_11 设 f(x)可导且 f(x)0，则 =_12 设 f(x)在 x=0 处连续，且 ，则曲线 y=f(x)在(2，f(2)处的切线方程为_13 当 x0 时， -1cos 2x-1，则 a=_14 设 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a=_15 设 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a=_16 设 f(x)= 在 x=0 处连续，则a=_，b=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 求 f(x)= 的间断点并判断其类型18 设 f(x)= ，求 f(x)的间断点并指出其类型19 求函数 y= 的反函数20 求极限21 求极限22 证明：23
4、设 f(x)=a1ln(1+x)+a2ln(1+2x)+anln(1+nx)，其中 a1，a 2，a n 为常数，且对一切 x 有f(x)e x-1证明：a 1+2a2+nan124 求极限25 设函数 f(x)可导且 0f(x) (k0)，对任意的 x0，作 xn+1=f(xn)(n=0，1，2，)，证明： 存在且满足方程 f(x)=x26 设 f(x)在a，+)上连续，且 f(x)存在证明：f(x)在a，+)上有界27 设 f(x)在a，b上连续，任取 xia，b(i=1，2，n)，任取ki0(i=1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)=(k
5、1+k2+kn)f()28 求29 设 ，求 n，c 的值30 已知： ，求 a，b 的值31 设 ，求 a，b 的值32 确定 a，b ，使得 x-(a+bcosx)sinx 当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小33 设 f(x)连续可导，34 求35 f(x)= ，求 f(x)的间断点并分类考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 21 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)= 在(-，+)内连续，所以 a0，又因为=0，所以 b0，选(C)【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 ，
6、所以【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(0) 0，所以 ，根据极限的保号性，存在0，当 x(0，)时，有 0，即 f(x)f(0)，选(A)【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(0)=f(0)=0，所以 f(0)-2，于是 ，选(C)【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 B【试题解析】 令 f(x)= 显然f(x) 1 处处连续，然而 f(x)处处间断，(A)不对；令 f(x)= 显然 f(x)在 x=0 处连续，但在任意 x=a0 处函数 f(x)都是间断的，故(C) 不对；令 f(x)= f(0+h)-f(
7、0-h)=0，但 f(x)在 x=0 处不连续， (D)不对；若 f(x)在 x=a 处连续，则 =f(a)，又0f(x) -f(a)f(x)-f(a)，根据夹逼定理， f(x)= f(a)，选(B)【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 2【试题解析】 当 x0 时，有【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 【试题
8、解析】 【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 -3【试题解析】 因为 x0 时， ，cos 2x-1=(cosx+1)(xosx-1)-x 2，且 -1cosx 2-1，所以 a=-3【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 【试题解析】 ，因为函数 f(x)在 x=0 处连续，所以 a=【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 -2【试题解析】 f(0+0)= f(0)=f(0-0)=a，因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 a=-2【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 -1,1【试题解
9、析】 f(0+0)=a+4bF(0-0)= 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 a+4b=3=2b+1，解得 a=-1，b=1【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 f(x)的间断点为 x=0，-1，-2，及 x=1当 x=0 时，f(0-0)=f(0+0)=-sin1，则 x=0 为函数 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点当 x=-1 时， ，则 x=-1 为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点当 x=k(k=-2，-3，)时， =，则 x=k(k=-2，-3，)为函数 f(x)的第二类间断点当 x=1 时，因为 不存在，所
10、以 x=1 为 f(x)的第二类间断点【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 首先 f(x)=其次 f(x)的间断点为x=k(k=0，1，) ，因为 =e，所以 x=0 为函数 f(x)的第一类间断点中的可去间断点，x=k(k=1 ，)为函数 f(x)的第二类间断点【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 令 f(x)=【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 当 x1，2 时有从而有=ln(n+1)【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 当 x0 时，由，根
11、据极限保号性得a 1+2a2+nan1【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 由【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 x n+1-xn=f(xn)-f(xn-1)=f(n)(xn-xn-1)，因为 f(x)0，所以 xn+1-xn 与 xn-xn-1 同号，故x n单调根据 f(x)的可导性得 f(x)处处连续，等式 xn+1=f(xn)两边令 n ，得，原命题得证【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 设 =A，取 0=1，根据极限的定义，存在 X00，当xX 0 时， f(x)-A1 ， 从而有f(x)A+1 又因为 f(x)在a，X 0上连续，根据闭区间上
12、连续函数有界的性质，存在 k0，当 xa，X 0，有f(x)k 取 M=maxA+1，k，对一切的 xa，+)，有f(x)M 【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 因为 f(x)在a ，b上连续，所以 f(x)在a，b上取到最小值 m 和最大值 M， 显然有 mf(xi)M(i=1，2，n)， 注意到 ki0(i=1，2，n)，所以有 kimkif(xi)kiM(i=1，2，n)， 同向不等式相加，得 (k 1+k2+kn)mk1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)(k1+k2+kn)M，即m M，由介值定理，存在 a，b，使得f()= 即 k1f(x1)+k2f(x2)+k
13、nf(xn)=(k1+k2+kn)f()【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 由【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 由 ln(1+ax)=【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 ln(1+x)-(ax+bx 2)【知识模块】 函数、极限、连续32 【正确答案】 令 y=x-(a+bcosx)sinx，y=1+bsin 2x-(a+bcosx)cosx， y=bsin2x+ sin2x+(a+bcosx)sinx=asinx+2bsin2x，y=acos2acosx+4bcos2x，显然 y(0)=0， y(0)=0，所以令 y(0)=y(0)=0 得故当 时，x-(a+bcosx)sinx 为阶数尽可能高的无穷小.【知识模块】 函数、极限、连续33 【正确答案】 由【知识模块】 函数、极限、连续34 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续35 【正确答案】 x=k(k=0，-1 ，-2，)及 x=1 为 f(x)的间断点f(0-0)=因为 f(0-0)f(0+0)，所以 x=0 为跳跃间断点；由 得x=-2 为可去间断点；当 x=k(k=-1，-3，-4，)时，由 =得 x=k(k=-1，-3，-4， )为第二类间断点；由 =得 x=1 为第二类间断点【知识模块】 函数、极限、连续
