1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 28 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f() ，则 f()( )（A）无间断点（B）有间断点 1（C）有间断点 1（D）有间断点 02 设 b 其中 a，b 为常数，则( )（A）a1， b1（B） a1，b1（C） a1，b1（D）a1 ，b13 f()在 1，1上连续，则 0 是函数 g() 的( ) （A）可去间断点（B）跳跃间断点（C）连续点（D）第二类间断点二、填空题4 _5 若 f() 在 0 处连续，则 a_6 设 f() 在 0 处连续，则 a_7 设 f()连续可导， f(0)0 且 f
2、(0)b，若 F() 在 0处连续，则 A_8 设 f()连续，且 F() af(t)df，则 F()_9 设 f()可导且 2，又 g() 在 0 处连续，则 a_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 f() 是连续函数，求 a，b11 确定正数 a，b，使得 212 求常数 m，n，使得 313 设 an ，证明：a n收敛，并求 14 设 a11， an+1 0，证明：数列a n收敛，并求 15 设 12， n+12 ，求 16 设 a11， a22，3a n+24a n+1a n0，n1，2，求 17 求18 讨论函数 f() 的连续性19 讨论函数 f() (
3、0)的连续性20 设 f() ，求 f()的间断点并判断其类型21 设 f() ，求 f()的间断点，并分类22 求 f() 的间断点并分类23 设 f() ，求 f()的间断点并判断其类型24 设 f() ， ，1) ，试补充定义使得 f()在 ，1上连续25 设 f() ，求 f()的间断点及分类考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 28 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 当1 时，f()1；当1 时，f()0；当 1 时，f()0； 当 1 时，f()1于是 f() ，显然 1 为函数 f()的间断点，选 B【知识
4、模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，所以 ，即 a1， 又1，选 B【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 A【试题解析】 显然 0 为 g()的间断点，因为f(0)，所以 0 为 g()的可去间断点，选 A【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 当 0 时，于是【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 2【试题解析】 ， 因为 f()在 0 处连续，所以 1 a，故 a2【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 e -1【试题解析】 因为e -1， 所以 ae -1【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】
5、 a b【试题解析】 因为 F()在 0 处连续，所以 Aab【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 a 2f(a)【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 3【试题解析】 由 0(t)dt 0f(u)du， 当 0 时，arctan o(3) 得因为g()在 0 处连续，所以 a3【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 f() ，因为 f()是连续函数，所以 f(10)1f( 1) (ab1)f( 10)ab， f(10)abf(1)(ab1)f(10)1， 解得 a0，b1【知识模块】 函数、极限、连续
6、11 【正确答案】 显然 b1，且 2，故 a1【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 由 3 得 m n10，得 m26，解得 m4，n5【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 显然a n单调增加，现证明：a n3， 当 n1 时，a 1 3， 设nk 时，a k3， 当 nk1 时，a k+1 3， 由归纳法原理，对一切的自然数 n，有 an3，所以 an 存在 令 anA ，由an+1 ，得 A ，解得 A3，即 an3【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 先证明a n单调减少 a 20，a 2a 1； 设 ak+1，a k，a k+2，由 ak+1a k
7、 得 1a k+11a k， 从而 ，即 aa+2a k+1，由归纳法得数列a n单调减少 现证明 an a11，设 ak ，则 1a k ，从而 ，即 ak+1 ，由归纳法，对一切 n， 有 an 由极限存在准则，数列a n收敛，设 anA，对an+1 0 两边求极限得 A 0，解得 【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 令 l，则 l1 ，现证明 因为0 nl 1l， 且 1l 0，所以由夹逼定理得【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 由 3an+24a n+1a n0，得 3(an+2a n+1)a n+1a n(n1，2，) 令 bna n+1a n，则 bn+
8、11b n13(n1，2，)， 由 b11，得bn (n1，2，) ，即 解得 an1 ，所以 【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 当 0， 1时，由 0 sinnn， 积分得 0， 而 0，由迫敛定理得0【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 当 0 时，函数 f()连续， f(0 0)1，f(00) 1，f(0)1， 0 为函数 f()的第一类间断点中的跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 当 (0， e)时，f()1 当 e 时，f(e)1， 当e 时，f() ln 故 f()因为 f(e0)f(e) f(e0) 1，所以 f()在 0 处处
9、连续【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 因为 f()为初等函数，所以 f()的间断点为 0 和 1 因为0 时，1 ，所以 f()1，即 0 为 f()的第一类间断点中的可去间断点； 因为 f(10) 0，f(10)1，所以 1 为 f()的第一类间断点中的跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 显然 0， 1 为函数 f()的间断点 f(00)，f(00) ， 因为f(00)f(00) ，所以 0 为 f()的跳跃间断点； f(10) ，f(10) 0， 因为f(10)f(10) ，所以 1 为 f()的跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答
10、案】 1、 0、1、2 为 f()的间断点， 由得 1 为第二类间断点， 由得 0 为可去间断点， 由 f()得 1 为第二类间断点， 由 f(20) f()得 2 为第二类间断点【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 当 0 及 1 时 f()间断 由 f(00)0，f(00)得0 为 f()的第二类间断点 由 f(10) ，f(10) 得 1 为 f()的第一类间断点中的跳跃间断点，同理 1 也为 f()的跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 所以令 f(1) 则 f()在 ，1上连续【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 0 及 1 为 f()的间断点则0 为 f()的可去间断点；因为 f(10)f(10) ，所以 0 为 f()的跳跃间断点【知识模块】 函数、极限、连续
