1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 32 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设当 0 时，有 a3b 2c sintdt，则( )（A）a ， b1，c 0（B） a ，b1，c 0（C） a ，b1，c 0（D）a 为任意常数， b2，c 02 设 f() 0sinsint2dt，g() 3 4，当 0 时，f()是 g()的( ) （A）等价无穷小（B）同阶但非等价无穷小（C）高阶无穷小（D）低阶无穷小3 设 f() 0dt0ttln(1u 2)du，g() (1cost)dt，则当 0 时，f()是 g()的( )（A）低阶无穷小（B）高阶
2、无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价的无穷小4 设a n与b n为两个数列，下列说法正确的是( )（A）若a n与b n都发散，则a nbn一定发散（B）若 an与b n都无界，则a nbn一定无界（C）若 an无界且 anbn0，则 bn0（D）若 an 为无穷大，且 anbn0，则 bn 一定是无穷二、填空题5 _6 _7 _8 _9 当 0 时， sincos2c k，则 c_， k_10 设 atetdt，则 a_11 _12 _13 (1)设 8，则 a_ (2)设 (a bcos)sin 为 的 5 阶无穷小，则 a_，b_ (3) 设当 0 时， f() ln(1t)dtg(
3、) a(eb1) ，则 a_ ，b_14 _15 _16 设 f()连续， f(0)0，f(0) 1，则 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 确定常数 a，b，c ，使得 c18 19 求20 求21 设 f()可导且 f(0) 6，且 0，求 22 设 e 3，其中 f()连续，求 23 求24 求25 求26 求极限27 设 f()连续， f(0)0，f(0)0，F() 0tf(t2 2)dt，且当 0 时，F() n，求n 及 f(0)28 设 f()在1，)内可导，f() 0 且， f()a0，令 an f(k) 1nf()d证明：(a n)收敛且 0 f(1)2
4、9 设 a0， 10，且定义 n+1 (n1，2，)，证明： n 存在并求其值30 设 a11，当 n1 时，a n+1 ，证明：数列a n收敛并求其极限31 设 f()在0，2上连续，且 f(0)0，f(1) 1证明：(1)存在 c(0，1)，使得 f(c)12c；(2)存在 0，2 ，使得 2f(0)f(1)3f(2) 6f()32 设 an A，证明：数列a n有界33 设 f()在0，1上有定义，且 ef()与 e-f()在0，1上单调增加证明：f()在0，1上连续34 设 f()在a，) 上连续，f(a) 0，而 f()存在且大于零证明：f()在(a，) 内至少有一个零点35 设 f
5、() ，求 f()的间断点并判断其类型36 求 f() 的间断点并判断其类型考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 32 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为当 0 时，a 2b 2c sintdt，得 a 为任意常数，b 2，选 D【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 ，所以正确答案为 B【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 A【试题解析】 得 n5且 0 时，f() 5 由得 m 6 且 0 时，g() 6，故 0 时，f()是 g()的低阶无穷小，应选 A【知识模块】 函数
6、、极限、连续4 【正确答案】 D【试题解析】 A 项不对，如 an2( 1) n，b n2 (1) n，显然a n与b n都发散，但 anbn3，显然a nbn收敛；选项 B、C 都不对，如 ann1 (1) n，bn n1( 1) n，显然a n与b n都无界，但 anbn0，显然a nbn有界且bn0；正确答案为 D【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题5 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 【试题解析】 因为当 0 时，
7、，【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 ；3【试题解析】 因为 0 时，sin o( 3)， cos21 o( 2)12 2o( 2)， sincos2 3o( 3)， 所以 sincos2 ，故 c ，k3【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 2【试题解析】 由eaae ae a 得 a2【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 (1)ln2 ， (2)2；1，(3)3； 【试题解析】 (1) 由 e3a8，得 aln2解得 a2，b
8、1 (3)由 得f() 4。 再由 g() a(eb1)b a+1 得 a3，b 【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 【试题解析】 因为 0 时， 1ln 2(1) 2，【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 0【试题解析】 当 0 时，【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限
9、、连续21 【正确答案】 由 0 得 f(0)0，f(0)0，【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 则 n22，n4，且于是 f(0)4【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 因为 f()0，所以 f()单调减少 又因为 an+1a nf(n1) nn+1f()df(n1)f()0(n，n1) ， 所以a n单调减少 因为 a
10、nf(k)f()df(n) ，而 kk+1f(k)f()d0(k1，2，n1) 且f()a0，所以存在 X0，当 X 时，f()0 由 f()单调递减得 f()0( 1，) ，故 anf(n)0，所以 存在 由 anf(1)f(2) 12f()df(n) n-1nf()d， 而 f(k) k-1kf()d0(k2，3，n)，所以 anf(1)，从而 0 f(1)【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有从而 n+1 n 0(n2，3，)， 故 n)n2 单调减少，再由 n0(n2，3， )，则 存在， 令 A，等式 n+1两边令 n得 A ，
11、 解得【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 令 f() ，因为 f() 0( 0)，所以数列a n单调 又因为 a11，0a n+11，所以数列a n有界，从而数列a n收敛，令 A，则有【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 (1)令 ()f() 12，(0)1，(1)2，因为 (0)(1)0，所以存在 c(0，1) ，使得 (c)0，于是 f(c)12c (2)因为 f()C0，2，所以 f()在0，2上取到最小值 m 和最大值 M， 由 6m2f(0)f(1)3f(2)6M 得m M， 由介值定理，存在 0，2，使得f()， 于是 2f(0)f(1)3f(2)6f(
12、)【知识模块】 函数、极限、连续32 【正确答案】 取 01，因为 A，根据极限定义，存在 N0，当 nN时，有 a n 一 A1，所以a n A1 取Mmaxa 1，a 2，a N，A1， 则对一切的 n，有a nM【知识模块】 函数、极限、连续33 【正确答案】 对任意的 00，1，因为 ef()与 ef() 在0，1 上单调增加， 所以当 0 时，有 故 f(0)f() f(0)， 令 0 ，由迫敛定理得 f(00)f( 0)； 当 0 时，有故 f(0)f()f(0)， 令 0 ，由迫敛定理得f(00) f( 0)，故 f(00)f( 00)f( 0)， 即 f()在 0 处连续，由
13、0 的任意性得 f()在0，1上连续【知识模块】 函数、极限、连续34 【正确答案】 令 f()k0，取 0 0，因为 f()k0，所以存在 X00，当 X0 时，有f()k ，从而 f() 0，特别地，f(X 0)0，因为 f()在a ，X 0上连续，且 f(a)f(X0)0，所以存在 (a，X 0)，使得 f()0【知识模块】 函数、极限、连续35 【正确答案】 f() 的间断点为 k(k0，1，)及k (k0，1 ，) 因为 1，所以 0 为 f()的可去间断点； 因为 ，所以 k(k1，2，)为 f()的第二类间断点； 因为 0，所以k (k0，1 ，)为 f()的可去间断点【知识模块】 函数、极限、连续36 【正确答案】 f() 的间断点为 0，1，2，及 1 当 0 时，则 0为函数 f()的第一类间断点中的跳跃间断点 当 1 时， ，则 1 为 f()的第一类间断点中的可去间断点 当 k(k2，3，)时，f()，则 k(k 2，3，)为函数 f()的第二类间断点 当 1 时，因为 f()不存在，所以 1 为 f()的第二类间断点【知识模块】 函数、极限、连续
