1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 33 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f() 在( ，)内连续，且 f()0，则( ) （A）a0， b0（B） a0，b0（C） a0，b0（D）a0 ，b02 设 a(a) ，则 等于( ) （A）e（B） e2（C） 1（D）3 设函数 f()连续，且 f(0)0，则存在 0 使得( )（A）对任意的 (0，) 有 f()f(0)（B）对任意的 (0，)有 f()f(0)（C）当 (0，)时，f()为单调增函数（D）当 (0，)时，f()是单调减函数4 设 f()是二阶常系数非齐次线性微分方程 yP
2、yqysin22e 的满足初始条件 f(0)f(0)0 的特解，则当 0 时， ( )（A）不存在（B）等于 0（C）等于 1（D）其他5 下列命题正确的是( ) （A）若f() 在 a 处连续，则 f()在 a 处连续（B）若 f()在 a 处连续，则f()在 a 处连续（C）若 f()在 a 处连续，则 f()在 a 的一个邻域内连续（D）若 f(ah) f(a h) 0，则 f()在 a 处连续二、填空题6 设 f()连续，且 f(1)1，则 _7 设 f()一阶连续可导，且 f(0)0，f(0)0，则 _8 设 f()连续，且 2，则 _9 _10 _11 设 f()可导且 f()0，
3、则 _12 设 f()在 2 处连续，且 1，则曲线 yf()在(2，f(2)处的切线方程为_13 当 0 时， 1cos 21，则 a_14 设 f() 在 0 处连续，则 a_15 设 f() 在 0 处连续，则 a_16 设 f() 0，在 0 处连续，则a_， b_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 f() ，求 f()的间断点并指出其类型18 求函数 yln( )的反函数19 求极限20 求极限21 证明：22 设 f()a 1ln(1)a 2ln(12)a nln(1n)，其中 a1，a 2，a n 为常数，且对一切 有 f()e 1证明：a 12a 2n
4、a n123 求极限24 设函数 f()可导且 0f() (k0)，对任意的 n，作 n+1f( n)(n 0，1，2，) ，证明： n 存在且满足方程 f() 25 设 f()在a，) 上连续，且 f()存在，证明：f()在a，)上有界26 设 f()在a，b上连续，任取 ia，b(i1，2，n)，任取ki0(i1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k1f(1)k 2f(2)k nf(n)(k 1 k2k n)f()27 求28 设 c(0) ，求 n，c 的值29 已知 ，求 a，b 的值30 设 ，求 a，b 的值31 确定 a，b ，使得 (abcos)sin 当 0 时为阶数尽可能
5、高的无穷小32 设 f()连续可导， 2，求33 求34 f() ，求 f()的间断点并分类考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 33 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f() 在( ，)内连续，所以 a0，又因为f()0，所以 b0，选 C【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 D【试题解析】 因为 ，所以 0， 于是故选 D【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(0)0，所以 0，根据极限的保号性，存在 0，当 (0，)时，有 0，即 f()f(0)，选 A【知识模块】
6、 函数、极限、连续4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(0)f(0)0，所以 f(0)2，于是 1，选 C【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 B【试题解析】 令 f() 、显然f()1 处处连续，然而 f()处处间断，A 不对； 令 f() 显然 f()在 0 处连续，但在任意a0 处函数 f()都是间断的，故 C 不对； 令 f() 显然f(0h) f(0h)0 ，但 f()在 0 处不连续，D 不对； 若 f()在 a 处连续，则 f()f(a)，又 0f()f(a) f()f(a)，根据迫敛定理，f()f(a)，选 B【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题6 【正确答
7、案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 1【试题解析】 0tf(t)dt 0(u)f(u)(du) 0f(u)du 0uf(u)du， 0arctan(t) 2dt 0arctanu2(du) 0arctanu2du，【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 2【试题解析】 当 0 时，有 1cos a ，则1 2，1 ， 原式 2。【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续12 【
8、正确答案】 y (2)【试题解析】 由 得 f(2) ，且f(2) ，则曲线 yf()在点(2，f(2)处的切线方程为 y (2)【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 3【试题解析】 因为 0 时， ，cos 21 一(cos1)(cos1) 2， 且 1cos 21，所以 a3【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 【试题解析】 ， 因为函数 f()在 z 一 0 处连续， 所以 a 【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 2【试题解析】 f(00) 2, (0)f(0 一 0)a，因为 f()在 0 处连续，所以 a2【知识模块】 函数、极限、连续16 【正
9、确答案】 1；1【试题解析】 因为 f()在 0 处连续，所以 a4b32b1，解得 a1，b1【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 首先 f()其次 f()的间断点为 k(k0，1，)，因为 f()e，所以 0 为函数f()的第一类间断点中的可去间断点，k(k1，)为函数 f()的第二类间断点【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 令 f()ln( )， 因为 f()f()， 所以函数yln( )为奇函数，于是即函数 yln( )的反函数为 shy【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限
10、、连续20 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 当 1， 2时有 1 ，则 1 d， 当 2，3时有 当 n，n1 时有从而有1 ln(n1) 又当 E1，2时，当 2，3时， 当 n1， n时， 从而有 11lnn 故 ln(n1)1 1lnn ，于是 1 由迫敛定理得【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 当 0 时，由f()e 1 得且1，根据极限保号性得a2a nan1【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 由迫敛定理得【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 n+1 nf( n)f( n-1)f( n)(n n-1)，因为 f(
11、)0，所以n+1 n 与 n n-1 同号，故 n单调即 n有界，于是 n 存在， 根据 f()的可导性得 f()处处连续，等式 n+1f( n) 两边令 n，得 ，原命题得证【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 设 f()A，取 01，根据极限的定义，存在 X00，当X 0 时， f()A1， 从而有f()A1 又因为 f()在a ，X 0上连续，根据闭区间上连续函数有界的性质， 存在 k0，当 Xa，X 0，有f()k 取 MmaxA1，k，对一切的 a，) ，有f() M【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 因为 f()在a，b上连续，所以 f()在a，b上取到最
12、小值 m 和最大值 M， 显然有 mf(i)M(i1，2，n)， 注意到 ki0(i1，2，n)，所以有 kimkif(i)kiM(i1，2，n) ， 同向不等式相加，得 (k 1k 2k n)mk1f(1)k 2f(2)k nf(n)(k1k 2k n)M， 即 mM， 由介值定理，存在 a，b，使得 f() 即 k1f(1)k 2f(2)k nf(n)(k 1k 2k n)f()【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 由 ln(1a)a o( 2)，e b1b o( 2)，cos1
13、 o( 2)得 ln(1a)e bcos(ab) 2o( 2)，【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 ln(1) (a b 2) o( 2)(ab 2) (1a)(b )2o( 2)， 由 1 得 0 时， dt 2 于是 ，故 a1，b2【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 令 y(a bcos)sin ， y1 bsin2(abcos)cos， ybsin2 sin2(abcos)sinasin 2bsin2， y acos 4bcos2 ， 显然y(0)0，y (0)0， 所以令 y(0)y(0)0 得故当 时，(a bcos)sin 为阶数尽可能高的无穷小【知识模块】 函数、极限、连续32 【正确答案】 由 0f(t)dt 0f(u)(du) 0f(u)du， 0 时，ln(1 ) 得【知识模块】 函数、极限、连续33 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续34 【正确答案】 k(k 012) 及 1 为 f()的间断点 f(00)0， 因为 f(00)f(0 0)，所以 0 为跳跃间断点； 由得 2 为可去间断点； 当k(k1，3，4， )时， 由 f() 得 k(k1，3，4，)为第二类间断点； 由 f() 得 1 为第二类间断点【知识模块】 函数、极限、连续
