1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 37 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= ，则 ffx)等于( )（A）0。（B） 1。（C）（D）2 当 X1 时，函数 的极限( )（A）等于 2。（B）等于 0。（C）为 。（D）不存在，但不为。3 设a n，b n，c n均为非负数列，且 =，则必有( )（A）a nb n 对任意 n 成立。（B） bnc n 对任意 n 成立。（C）极限 ancn 不存在。（D）极限 bncn 不存在。4 设 f(x)=2x+3x 一 2，则当 x0 时( )（A）f(x)与 x 是等价无穷小。（B）
2、f(x)与 x 是同阶，但非等价无穷小。（C） f(x)是比 x 高阶的无穷小。（D）f(x)是比 x 低阶的无穷小。5 当 x0 时，与 等价的无穷小量是( )6 设 x0 时，(1+sinx) x 一 1 是比 xtanxn 低阶的无穷小，而 xtanxn 是比(e sin2x 一 1)ln(1+x2)低阶的无穷小，则正整数 n 等于( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。7 当 x0 时，f(x)=x 一 sinax 与 g(x)=x2ln(1 一 bx)是等价无穷小，则( )（A）a=1 ，b= 。（B） a=1，b= 。（C） a=一 1，b= 。（D）a= 一 1，b=
3、。8 设 =2，其中 a2+c20，则必有( )（A）b=4d。（B） b=一 4d。（C） a=4c。（D）a= 一 4c。9 设 f(x)和 (x)在(一，+)上有定义，f(x)为连续函数，且 f(x)0，(x)有间断点，则( )（A）f(x)必有间断点。（B） (x)2 必有间断点。（C） f(x)必有间断点。（D） 必有间断点。10 设函数 f(x)= ，则( )（A）x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点。（B） x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点。（C） x=0 是 f(x)的第一类间断点， x=1 是 f(x)的第二类间断点。（D）x=0 是 f(x)的第二类间断
4、点，x=1 是 f(x)的第一类间断点。11 函数 f(x)= 在一 ，上的第一类间断点是 x=( )（A）0。（B） 1。（C） 。（D） 。12 函数 f(x)= 的无穷间断点的个数是 ( )（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。二、填空题13 =_。14 =_。15 =_。16 =_。17 数列 xn= =_。18 设函数 f(x)= 在 x=0 处连续，则 a=_。19 已知函数 f(x)连续，且 =1，则 f(0)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 求极限 。21 求极限 。22 求极限 。23 求极限 。24 求极限 。24 已知函数 f(x)= 。
5、25 求 a 的值；26 若 x0 时，f(x)一 a 与 xk 是同阶无穷小，求常数 k 的值。27 求极限 。28 求极限 。29 求极限 。30 (I)证明方程 xn+xn1 +x=1(n 为大于 1 的整数)在区间( ，1)内有且仅有一个实根；() 记 ()中的实根为 xn，证明 xn 存在，并求此极限。31 求函数 f(x)= ，所有的间断点及其类型。考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 37 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为f(x)1 恒成立，所以 ff(x)=1 恒成立，从而 ff(x)=f(1)=1
6、。故选 B。【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 D【试题解析】 因 故当 x1 时，函数极限不存在，也不是，应选 D。【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 D【试题解析】 由于极限值与数列前面有限项的大小无关，因此可排除 A、B ；而极限 是一个 0型未定式极限，可能存在也可能不存在，因此可以排除 C；极限bncn 是 1型，必为无穷大量，即极限不存在。因此选项 D 正确。也可用举反例法，取 an= ，b n=1，c n= n(n=1，2，)，则可立即排除 A、B 、C，因此正确选项为 D。【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 B【试题解析】 利用洛必达法则求解
7、。=ln2+ln3=ln6，故选 B。【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时，有以下等价无穷小：由排除法可知正确选项为 B。【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 B【试题解析】 当 x0 时， (1+sinx) x 一 1=exln(1sinx) 一 1xln(1+sinx)xsinxx 2， (esin2x 一 1)ln(1+x2)sin 2xx 2x 4， 而 xtanxnxx n=xn1 。因此 2n+14，则正整数 n=2，故选 B。【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 A【试题解析】 本题可以利用排除法解答，由于 ln(1bx
8、)与一 bx 为等价无穷小，则所以 a3=一 6b，故排除 B，C。另外 是存在的，即满足 1acosax0(x0)，故 a=1，排除 D。所以本题选 A。【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 D【试题解析】 当 x0 时，由带佩亚诺型余项的泰勒公式可知，tanx，ln(12x)均为 x 的一阶无穷小；而 1 一 cosx，1e x2 均为 x 的二阶无穷小，因此有故有=2，即 a=一 4c，故选 D。【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 D【试题解析】 借助极限的四则运算性质可知，连续间断= 由题意知，函数 f(x)连续，且 f(x)0，则 必定间断，故选 D。【知识模块
9、】 函数、极限、连续10 【正确答案】 D【试题解析】 显然函数 f(x)在 x=0，x=1 两个点处无定义，因此这两个点均为间断点。因为 =，所以 x=0 为第二类间断点；因为=一 1，所以 x=1 为第一类间断点。故应选 D。【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 A【试题解析】 可以先找出函数的无定义点，再根据左、右极限判断间断点的类型。显然函数在 x=0，x=1 ，x= 均无意义，而故 x=0 为函数 f(x)的第一类间断点，故应选 A。【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 B【试题解析】 已知 f(x)= 有间断点 x=0，1。所以正确选项为 B。【知识模块】
10、函数、极限、连续二、填空题13 【正确答案】 【试题解析】 将分子化简后用等价无穷小因子代换。易知(x0)，则【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 【试题解析】 该极限式为 1型未定式，可直接利用重要极限公式进行计算，【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 【试题解析】 利用等价无穷小因子，当 n时由麦可劳林展开式ln(1 t)=t t2o(t 2)(t0)得，【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 【试题解析】 已知 f(x)在 x=
11、0 处连续，则所以 a= 。【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 2【试题解析】 因此 f(0)=2。【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 由麦克劳林展开式 arctanx=x 一 x3+o(x3)，sinx=x 一 +o(x3)，ln(1+x)=x 一 +o(x2)，因此【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 由麦克劳林展开式 sinx=x 一 +o(x3)和 tanx=x+ x3+o(x3)，得【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 由积分上限函数
12、求导法则，且。故【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 =1，即a=1。【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 当 x0 时，又因为当 x0 时，xsinx 与 x3 是等价无穷小，故 由题设，x0 时，f(x)一 a 与 xk 是同阶无穷小，所以 k=1。【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 由洛必达法则可知【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 () 根据题意，令 f(x
13、)=xn+xn1 +x 一 1，则 f(1)0，又0。结合零点定理可得，f(x)=x n+xn1 +x一 1 在( ，1)内至少存在一个零点，即方程 xn+xn1 +x=1 在区间( ，1)内至少有一个实根。又因为 f(x)=xn+xn1 +x 一 1 在( ，1)上是单调的，可知 f(x)=xn+xn1 +x 一 1 在( ，1)内最多只有一个零点。综上所述，方程xn+xn 1+x=1 在区间( ，1)内有且仅有一个实根。()由题设 f(xn)=0，可知xnn+xnn1 +xn 一 1=0，进而有 xn1 n+xn1 n+xn1 一 1=0，所以xn1 n+xn1 n 1+xn1 10，比较上面两个式子可知 xn1 x n，故x n单调递减。又由( )知 X n1，也即 xn是有界的。则由单调有界收敛定理可知 xn收敛，假设 xn=a，可知 ax 2x 1=1。当 n 时，【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 函数 f(x)有可疑点 x=0，x=1，x=一 1，且所以 x=0 为跳跃间断点，x=1 为可去间断点，x=一 1 为无穷间断点。【知识模块】 函数、极限、连续
