1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 38 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列各题计算过程中正确的是( )2 函数 f(x)=xsinx( )（A）当 x时为无穷大。（B）在 (一，+)内有界。（C）在 (一，+)内无界。（D）当 x时有有限极限。3 设对任意的 x，总有 (x)f(x)g(x)，且 g(x)一 (x)=0，则 f(x)( )（A）存在且等于零。（B）存在但不一定为零。（C）一定不存在。（D）不一定存在。4 设 f(x)可导，f(x)=0，f (0)=2，F(x)= 0xt2f(x3t 3)dt，g(x)= ，则当 x0 时，F
2、(x)是 g(x)的 ( )（A）低阶无穷小。（B）高阶无穷小。（C）等价无穷小。（D）同阶但非等价无穷小。5 把 x0 时的无穷小量 =0xcost2dt，= 0x2tan dt，= 0 sint3dt 排列起来，使排在后面的是前面一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是( )（A），。（B） ， 。（C） ， 。（D）， 。6 设当 x0 时，(1 一 cosx)ln(1+x2)是比 xsinxn 高阶的无穷小，而 xsinxn 是比(e x21)高阶的无穷小，则正整数 n 等于( )（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。7 已知当 x0 时，函数 f(x)=3sinxsin3x 与 c
3、xk 是等价无穷小，则( )（A）k=1，c=4。（B） k=1，c=一 4。（C） k=3，c=4。（D）k=3，c=一 4。8 设数列极限函数 f(x)= ，则 f(x)的定义域 I 和 f(x)的连续区间 J 分别是( )（A）I=( 一，+)，J=(一，+) 。（B） I=(一 1，+)，J=(一 1，1) (1，+)。（C） I=(一 1，+)，J=(一 1，+) 。（D）I=( 一 1，1) ，J=( 一 1，1)。9 设 f(x)在 R 上连续，且 f(x)0，(x)在 R 上有定义，且有间断点，则下列结论中正确的个数是( ) f(x)必有间断点； (x) 2 必有间断点； f(
4、x)没有间断点。（A）0。（B） 1。（C） 2。（D）3。10 函数 f(x)= 的间断点及类型是( )（A）x=1 为第一类间断点， x=一 1 为第二类间断点。（B） x=1 均为第一类间断点。（C） x=1 为第二类间断点，x= 一 1 为第一类间断点。（D）x=1 均为第二类间断点。11 设函数 f(x)= sinx，则 f(x)有( )（A）1 个可去间断点，1 个跳跃间断点。（B） 1 个可去间断点，1 个无穷间断点。（C） 2 个跳跃间断点。（D）2 个无穷间断点。二、填空题12 当 x0 时，(x)=kx 2 与 (x)= 是等价无穷小，则k=_。13 =_。14 =_。15
5、 =_。16 设 a1，a 2，a m(m2)为正数，则=_。17 x表示不超过 x 的最大整数，则 =_。18 设函数 f(x)= f(x)在 (一 ，+)上连续，则A=_。19 设 f(x)= ，则 f(x)的间断点为 x=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 求极限 。21 求极限 。22 求极限 。23 求极限 。24 求极限25 求极限 。26 求极限 。27 求极限 。28 求下列极限29 设函数 f(x)=lnx+ ，数列x n满足 lnxn+ 1，证明 xn 存在，并求此极限。30 设 f(x)在0，1连续，且 f(0)=f(1)，证明至少存在一点 0，1
6、，使得 f()=f(+)。考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 38 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 A 项错误，数列没有导数概念，不能直接用洛必达法则。 B 项错误，是定式，不能用洛必达法则。C 项错误，用洛必达法则求不存在，也不为，法则失效，不能推出原极限不存在，事实上该极限是存在的。故选 D。【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 C【试题解析】 令 xn=2n+ 。y n=2n+，则 f(xn)=2n+ ，f(y n)=0。因为，所以 f(x)在(一，+)内无界，且当 x时不一定为无穷大，故选 C。【知
7、识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 D【试题解析】 取 (x)=f(x)=g(x)=x，显然有 (x)f(x)g(x)，且 g(x)一 (x)=0，但 不存在，故排除 A、B。再取 (x)=f(x)=g(x)=1，同样有(x)f(x)g(x)，且 g(x)一 (x)=0，但 =1，可见 C 不正确。故选 D。【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 D【试题解析】 先改写【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 所以当 x0 时， 是 x 的一阶无穷小， 是 x 的三阶无穷小， 是 x 的二阶无穷小，故选 B。【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答
8、案】 B【试题解析】 因当 x0 时，1 一 cosx x2，ln(1+x 2)x 2，sinx nx n，e x2 一1x 2，故(1 一 cosx)ln(1+x2) x4，xsinx nx n1 。而由(1 一 cosx)ln(1+x2)是比xsinxn 高阶的无穷小，知 4n+1 ，即 n3；由 xsinxn 是比(e x2 一 1)高阶的无穷小，知 n+12，即 n1。因此正整数 n=2，故选 B。【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 C【试题解析】 由麦克劳林展开式 sinx=x 一 +o(x3)，sin3x=3x 一 +o(x3)可得=1。由此可得 k=3，c=4，故选
9、C。【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 B【试题解析】 当 x=一 1 时，arctan 无定义，则 f(x)在 x一 1 无定义。因此 f(x)的定义域为 I=(一 1，+) ，且 f(x)= f(x)的连续区间是 J=(一1，1)(1，+)。【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 A【试题解析】 错误。举例：设 (x)= f(x)=ex，则 f(x)=1 在 R 上处处连续。错误。举例：设 (x)= 则(x) 2=9 在 R 上处处连续。错误。举例：设 (x)= f(x)=ex，则 f(x)= 在 x=0 处间断。因此选 A。【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答
10、案】 B【试题解析】 分别就x=1，x1，x1 时求极限 ，得出f(x)的分段表达式：f(x)= 在x=1 处，因所以，x=1 均为 f(x)的第一类间断点，故选 B。【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 A【试题解析】 x=0，x=1 时，f(x)均无定义，所以 x=0，x=1 是函数的间断点。并且根据可去间断点和跳跃间断点的定义可知，x=0 是可去间断点，x=1 是跳跃间断点。因此选 A。【知识模块】 函数、极限、连续二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 由题设可知， 所以得k= 。【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 1【试题解析】 利用等价无穷小量替换将极
11、限式进行化简，即=1。【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 0【试题解析】 因为 0，且 arctanx 为有界函数，即 arctanx=0。【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 【试题解析】 该极限式为 1型未定式，可直接利用重要极限公式进行计算，【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 maxa 1，a 2，a m【试题解析】 不妨设 a1 为最大值，则原式=a1 =a11=a 1。所以 (a1n+a2n+am2)=maxa1，a 2，a m。【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 2【试题解析】 因为 ，所以当 x0 时，2 一 x 2；当x0
12、时，2 2 一 x。又由 (2 一 x)=2，利用夹逼准则可知，=2。【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 【试题解析】 令函数 f(x)= 其中 g(x)，h(x)分别在a，x 0，(x0，b上是初等函数，因此连续，且 f(x)在 x0 连续。所以 g(x0)=h(x0)。对任意常数A，显然 x1 时，f(x)连续。当且仅当 时，f(x)在x=1 连续。因此，当 A= 时，f(x)在(一 ， +)上连续。【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 0【试题解析】 首先对于不同的 x，用求极限的方法得出 f(x)的表达式，再讨论 f(x)的间断点。当 x=0 时，f(x)=0
13、；当 x0 时，所以 f(x)的表达式为所以 x=0 为 f(x)的间断点。【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 由麦克劳林展开式 sinx=x 一 +o(x3)，arcsinx=x+ +o(x3)，因此【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 由麦克劳林展开式 sinx=x 一 +o(x3)，cosx=1 一 +o(x2)及常见的等价无穷小代换，可得【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 由麦克劳林展开式 ln(1+x)=x 一 +o(x2)，cosx=1 一 +o(x2)，tanx=x+ x3+o(x3)，故可
14、得【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 因为且arcsinxx。故【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 由麦克劳林展开式 sinx=x 一 +o(x3)及常见的等价无穷小代换，得【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 该极限式为 1型未定式，可直接利用重要极限公式进行计算，【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 原式= 。【知识模块】 函数、极限、连续27 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 () 因为()因为()因为()利用定积分的定义可得()利用定积分的定义可得 ()利用定积分的定义可得【知识模块】 函数、极限、连续2
15、9 【正确答案】 令 f(x)= 0，则 x1。于是 f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+) 上单调递增，所以 x=1 是 f(x)唯一的最小值点，且 f(x)f(1)=1，从而有f(xn)=lnxn+ 1。再结合题目中的条件有 所以 xnx n1 ，0x ne ，即数列 xn单调递增且有界。由单调有界准则可知，极限xn 存在。由前面讨论出的函数 f(x)的性质可知 xn=a=1。【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 本题可以转化为证明 F(x)=f(x)一 f(x+ )在区间0，1上存在零点，因为 f(x)在0，1上连续，所以 F(x)=f(x)一 上连续。F(x)在0，1， 上存在零点的情况可转化为函数 F(x)在0，1， 存在两个点的函数值是异号。【知识模块】 函数、极限、连续
