1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 38 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 a(xa)，则 等于( )（A）e（B） e2（C） 1（D）2 函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是( )3 设 ，其中 D：x 2+y2a2，则 a 为( )（A）1（B） 2（C）（D）4 二阶常系数非齐次线性微分方程 y“-2y-3y=(2x+1)e-x 的特解形式为( )（A）(ax+b)e -x（B） x2e-x（C） x2(ax+b)e-x（D）x(ax+b)e -x二、填空题5 设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)=0，f(0)0 ，则 =_6
2、设 f(x)二阶连续可导，且 =_7 设 f(x，y)可微，f(1 ，2)=2，f x(1，2)=3 ，f y(1，2)=4，(x)=fx，f(x，2x)，则(1)=_8 设 u=u(x，y)二阶连续可偏导，且 ，若 u(x，3x)=x ，u x(x，3x)=x 3，则u“xy(x， 3x)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设 f(x)在1，+)内可导，f(x) =a0，令 an= 1nf(x)dx证明：a n收敛且 0 f(1)10 11 x=(y)是 y=f(x)的反函数，f(x) 可导，且 ，f(0)=3，求 “(3)11 设 f(x)在(-1 ，1) 内二阶连续
3、可导，且 f“(x)0证明：12 对(-1，1)内任一点 x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使得 f(x)=f(0)+xf(x)x；13 13 设函数 其中 g(x)二阶连续可导，且 g(0)=114 确定常数 a，使得 f(x)在 x=0 处连续；15 求 f(x)；16 讨论 f(x)在 x=0 处的连续性17 18 19 20 21 21 设直线 y=ax 与抛物线 y=x2 所围成的图形面积为 S1，它们与直线 x=1 所围成的图形面积为 S2，且 a22 确定 a，使 S1+S2 达到最小，并求出最小值；23 求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积24 设 u
4、=u(x，y)由方程组 u=f(x，y，z ，t)，g(y，z，t)=0 ，h(z，t)=0 确定，其中f，g， h 连续可偏导且25 设 f(x)在a，b上连续，证明： abf(x)dxxbf(y)dy= abf(x)dx226 在 t=0 时，两只桶内各装 10L 的盐水，盐的浓度为 15gL，用管子以 2Lmin的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以 2Lmin 的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用 1Lmin 的速度输出求在任意时刻 t0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程27 某人的食量是 2500 卡天(1 卡=41868 焦) ，其中
5、1200 卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所消耗的为 16 卡千克天乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量 10000 卡，求该人体重怎样随时间变化考研数学二（高等数学）模拟试卷 38 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 ，所以，选(D)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 D【试题解析】 (a)不对，如 存在，但f(x)在 x=1 处不连续，所以也不可导；存在，所以 f(x)在 x=1 处可导所以选 (D)【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 B【试题解析】 令 (02
6、，0ra)解得 a=2，选(B)【知识模块】 高等数学部分4 【正确答案】 D【试题解析】 方程 y“-2y-3y=(2x+1)e-x 的特征方程为 2-2-3=0，特征值为 1=-1， 2=3，故方程 y“-2y-3y=(2x+1)e-x 的特解形式为 x(ax+b)e-x，选(D) 【知识模块】 高等数学部分二、填空题5 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 e 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 47【试题解析】 因为 (x)=fxx，f(x，2x)3+f yx，f(x，2x)f x(x，2x)+2f y(x，2x)，所以 (1
7、)=fx1，f(1 ，2)+f y1，f(1 ，2)f x(1， 2)+2fy(1，2)=3+4(3+8)=47【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 【试题解析】 u(x，3x)=x 两边对 x 求导，得 ux(x，3x)+3u y(x，3x)=1，再对 x 求导，得 u“xx(x，3x)+6u“ xy(x，3x)+9u“ yy(x，3x)=0由 ，得 10u“xx(x，3x)+6u“xy(x，3x)=0，u x(x，3x)=x 3 两边对 x 求导，得 u“xx(x，3x)+3u“ xy(x，3x)=3x2，解得 u“xy(x，3x)=【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字
8、说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 因为 f(x)n+1-an=f(n+1)-nn+1f(x)dx=f(n+1)-f()0(n，n+1) ，所以an单调减少因为 an= f(k)-f(x)dx+f(n)，而 kk+1f(k)-f(x)dx0(k=1，2，n-1) 且 ，所以存在 X0，当 xX 时，f(x)0由 f(x)单调递减得 f(x)0(x1，+)，故 anf(n)0，所以 存在【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分12 【正确答案】 对任意 X(-1，1)，根据微分中值定理
9、，得f(x)=f(0)+xf(x)x，其中 00，则 f(x)在(-1， 1)内单调增加，又由于 x0，所以 (x)是唯一的【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 由泰勒公式，得 ，其中 介于 0 与x 之间，而 f(x)=f(0)+xf(x)x，所以有令 x0，再由二阶导数的连续性及非零性，得【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 当a=g(0)时，f(x)在 x=0 处连续【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 因为，所以 f(0)在 x=0 处连续。【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 【知
10、识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 直线 y=ax 与抛物线 y=xv 的交点为(0，0)，(a，a 2)当01+S2=0a(ax-x2)dx+a1(x2-ax)dx= 令，S 1+S2 取到最小值，此时最小值为 当 a0 时，S= a0(ax-x2)dx+01(x2-ax)dx= 因为，所以 S(a)单调减少，故 a=0 时 S1+S2 取最小值，而，S 1+S2 最小【知识模块
11、】 高等数学部分23 【正确答案】 旋转体的体积为【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中x，y 为自变量，由 u=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 ，得三个方程两边对 y 求偏导得【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 令 F(x)=axf(t)dt，【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 设在任意时刻 t0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为 m1(t)，m2(t)，在时间t ，t+dt内有 ，且满足初始条件m1(0)=150，解得 ；在时间t，t+dt内有，且满足初始条件 m2(0)=150【知识模块】 高等数学部分27 【正确答案】 输入率为 2500 卡天，输出率为(1200+16w)，其中叫为体重，【知识模块】 高等数学部分
