1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 38 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 设 ，问当 k 为何值时，存在可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵?并求出 P 和相应的对角矩阵。2 设矩阵 ，已知 A 有 3 个线性无关的特征向量， =2 是 A 的 2重特征值。试求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角形矩阵。2 已知矩阵3 求 x 与 y 的值；4 求一个满足 P-1AP=B 的可逆矩阵 P。5 设 为可逆方阵 A 的一个特征值，证明： (1) 为 A-1 的特征值；(2) 为 A 的伴随矩阵 A*的特征值。5 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=2
2、， 3=3，对应的特征向量依次为 1=(1，1，1) T， 2=(1，2，4) T， 3=(1，3，9) T，又 =(1，1，3) T6 将向量 用 1， 2， 3 线性表出；7 求 An(n 为正整数 )。8 设 3 阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=一 1， 2=3 一 1，对应于 2 的特征向量为1=(0，1，1) T，求矩阵 A。8 已知 的一个特征向量。9 试求 a，b 的值及 所对应的特征值；10 问 A 能否相似于对角矩阵?说明理由。11 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其它生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及
3、实践至年终考核有 成为熟练工。设第 n 年一月份统计的熟练工和非熟工所占百分比分别为 xn 和 yn，记成向量12 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1，一 1，0，对应的特征向量分别为 1， 2， 3，若B=A2 一 2A+3E，试求 B-1 的特征值和特征向量。13 设 3 阶矩阵 A 与对角矩阵 相似，证明：矩阵 C=(A1E)(A2E)(A3E)=014 设 A 为 n 阶非零方阵，且存在某正整数 m，使 Am=0求 A 的特征值并证明 A不与对角矩阵相似。15 下列矩阵是否相似于对角矩阵?为什么?16 已知矩阵 A=(aij)胁的秩为 n 一 1，求 A 的伴随矩阵 A*的特征值和特征
4、向量。17 设 n 阶矩阵 A，B 可交换、即 AB=BA，且 A 有 n 个互不相同的特征值。证明：(1)A 的特征向量都是 B 的特征向量；(2)B 相似于对角矩阵。18 设矩阵 ，B=P -1A*P，求 B+2E 的特征值和特征向量，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 为 3 阶单位矩阵。19 若矩阵 相似于对角矩阵 A，试求常数 a 的值；并求可逆矩阵 P，使 P-1AP=A。20 设矩阵 是矩阵 A*的一个特征向量， 是 对应的特征值，其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵。试求 a、 b 和 的值。21 设 A 为 n 阶方阵，秩(A)=rn，且满足 A2=2A，证明：A 必相似于对角矩阵
5、。22 设 n 维实向量 =(a1，a 2，a n)T0，方阵 A=T(1)证明：对于正整数 m，存在常数 t，使 Am=tm-1A，并求出 t；(2) 求可逆矩阵 P-1 使 P-1AP 成对角矩阵。23 设矩阵 的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨论 A 是否可相似对角化。23 设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1=2=6 是 A 的二重特征值，若 1=(1，1，0)T， 2=(2，1，1) T， 3=(一 1，2，一 3)T，都是 A 的属于特征值 6 的特征向量。24 求 A 的另一特征值和对应的特征向量；25 求矩阵 A。26 设 A 为 m 阶实对称阵且正定，B 为 m
6、n 实矩阵，试证： BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n。考研数学三（线性代数）模拟试卷 38 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 由=(+1)2(A 一 1)=0，得 A 的全部特征值为 1=2=一 1， 3=1故 A 可对角化 A 的属于 2 重特征值 1=2=一 1 的线性无关特征向量有 2 个 方程蛆(一 E 一 A)x=0 的基础解系含 2 个向量 3 一 r(一 EA)=2 r(一 E 一 A)= =1 k=0当 k=0 时，可求出 A 的对应于特征值一 1，一 1；1的线性无关特征向量分别可取为 1=(一 1，2，
7、0) T， 2=(1，0，2) T； 3=(1，0，1)T，故得 P-1AP=【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 由于 =2 是 A 的 2 重特征值，故 3 一 r(2EA)=2，或 r(2EA)=2，y= 一 2；由 2+2+3=1+4+5，得 A 的另一特征值为3=6由 2EA ，得属于 1=2=2 的线性无关特征向量 1=(1，一 1，0) T， 2=(1，0，1) T。由 6EA=，得属于 3=6 的线性无关特征向量 3=(1，一 2，3) T，【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 x=0，y=1；【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 P=【知识模块】
8、线性代数5 【正确答案】 由 为 A 的特征值，知存在非零列向量 x，使 Ax=x，由此知0，否则 =0，则有 Ax=0， |A|=0，这与 A 可逆矛盾，故 0用 A-1 左乘Ax=x 两端，再用 为 A-1 的一个特征值且 x 为对应的特征向量。因 A-1=为 A*的一个特征值且 x 为对应的特征向量。【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 =2 122+3；【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A i=ii， ini=ini(i=1，2，3)。A n=An(2122+3)=2An12An2+An3=21n1 一 22n2+3n3【知识模块】 线性代数8 【正确答案
9、】 设 A 的属于特征值 2=3=1 的特征向量为 =(x1，x 2，x 3)T，则1T=x2+x3=0解得其基础解系为 2=(1，0，0) T， 3=(0，1，一 1)T，于是得 A 的标准正交的特征向量 ，e 2=2，e 3=【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 由(E A)=0解之得 a=一3，b=0 ，= 一 1【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 A 的特征值为 1=2=3=3=一 1，对应的线性无关特征向量却只有 1 个，故 A 不能相似于对角矩阵。【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 B=(A 2 一 2A
10、+3E)1=A21 一 2A1+31=121211+31=(12 一21+3)1=21，类似可得 B2=62，B 3=33，故 B 的特征值为 2，6，3，对应的线性无关特征向量分别为 1， 2， 3，得 B-1 的特征值为 ，对应的特征向量分别为 k11，k 22，k 33(ki 为任意非零常数，i=1，2，3)。【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 A=PDP -1，C=(PDP -1 一 1PP-1)(PDP-1 一 2PP-1)(PDP-1 一 3PP-1)=P(D1E)P-1P(D2E)P-1P(D3E)P-1=P(D1E)(D1E)(D3E)P-1【知识模块】 线性代数14 【
11、正确答案】 1=2= n=0，(0E 一 A)x=0 的基础解系最多含 n 一 1 向量。即n 阶方阵 A 最多有 n 一 1 个线性无关特征向量，故 A 不相似于对角阵。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 (1)是，因该方阵只有单特征值； (2)否。因 A 的特征值为1=2=2=3=4=1，而对应的线性无关特征向量却只有 2 个。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由 A*A=|A|E=0，知 A 的 n 一 1 个线性无关的列向量都是方程组A*x=0 的解向量，即 =0 至少是 A*的 n 一 1 重特征值，而上述 n 一 1 个列向量即为对应的线性无关特征向量，又由全部特征值
12、之和等于 A*的主对角线上元素之和A11+A22+An，故 A*的第 n 个特征值为 由于 r(A*)=1，故 A*的列成比例，不妨设(A 11A12，A 1n)T0，则存在常数 k2，k n，使【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 由于 A 有 n 个互不相同特征值，故 A 有 n 个线性无关的特征向量，因此，如果(1)成立，则(2) 成立，故只需证明(1) 。下证(1)：设 为 A 的特征向量，则有数 使 A=，两端左乘 B，并利用AB=BA，得 A(B)=(B)，若 B0，则 B 亦为 A 的属于特征值 的特征向量，因方程组(E 一 A)x=0 的解空间为 1 维的，故有数 ，使 B
13、=，故 亦为 B 的特征向量；若 B=0，则 B=0，即 为 B 的属于特征值 0 的特征向量，总之， 必为 B 的特征向量，由于 的任意性，知 A 的特征向量都是 B 的特征向量。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 的特征值为 1=2=9， 3=3对应于特征值 9 的全部特征向量为 k1(一 1，1，0) T+k2(一 2，0，1) T；对应于特征值 3 的全部特征向量为 k3(0，1，1) T。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 A 的特征值为 1=2=6， 3=一 2，由 r(6E 一 A)=1 得 a=0【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由 A 可逆知 A*可逆，
14、0，|A|0由 A*= 两端左乘 A 并利用 AA*=|A|E，得|A|=A， ，比较两端对应分量，得关于 a、 b 和 的方程组 ，解之得a=2，b=1，=1；或 a=2， b=一 2，=4【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由秩(A)=rn，知方程组 Ax 一 0 的基础解系含 n 一 r 个向量：1， 2， n-r。因此， 1， 2， n-r，就是 A 的对应于特征值 0 的 n 一 r 个线性无关的特征向量。设 A 按列分块为 A=12 n，则题设条件 AA=2A 就是A1A2A n=21222 n，由 Aj=2j，知 A 的列向量组的极大无关组j1， j2， jr，就是 A 的
15、对应于特征值 2 的 r 个线性无关特征向量。再由特征值的性质，知 1， n-r， j1， j2， jr，就是 n 阶方阵 A 的 n 个线性无关特征向量，所以，A 必相似于对角矩阵。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (1)A m=(T)(T)( T)=(T)m-1T=(T)m-1(T)= A=tm-1A，其中 t= 因为实对称矩阵 A 的非零特征值的个数就等于A 的秩，故 A 只有一个非零特征值，而有 n 一 1 重特征值 1 一 2= n-1=0，计算可得属于特征值 0 的线性无关特征向量可取为(设 10)： 1=。由于A 的全部特征值之和等于 A 的主对角线元素之和 ，故得 A
16、的唯一的非零特征值为 n= =T，且由 A=(T)=(T)=n=n 可得 为对应于 n 的一个特征向量。令矩阵 P=1 n-1，则有 P-1AP=diag(0，0，0， )为对角矩阵。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 A 的特征多项式为(1)若 =2 是f()的二重根，则有( 2 一 8+18+3a)|=2=22 一 16+18+3a=3a+6=0，解得 a=一 2当a=一 2 时，A 的特征值为 2，2，6，矩阵 2EA= 的秩为 1，故对应于二重特征值 2 的线性无关特征向量有两个，从而 A 可相似对角化。(2)若 =2不是 f()的二重根，则 2 一 8+18+3 为完全平方，从
17、而 18+3a=16，解得 a=当 时，A 的特征值为 2，4，4，矩阵 的秩为 2，故 A 的对应于特征值 4 的线性无关特征向量只有一个，故 A 不能相似于对角矩阵。【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因为 1=2=6 是 A 的二重特征值，故 A 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量有 2 个，有题设可得 1， 2， 3 的一个极大无关组为 1， 2，故1， 2 为 A 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量。由 r(A)=2 知|A|=0，所以 A 的另一特征值为 3=0设 3=0 对应的特征向量为 =(x1，x 2，x 3)T，则有iT=0(i=1， 2
18、)，即 ，解得此方程组的基础解系为 =(一1，1，1) T，即 A 的属于特征值 3=0 的特征向量为 k=k(一 1，1，1) T(k 为任意非零常数)。【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 令矩阵 P=123，则有【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 必要性 设 BTAB 正定，则对任意 n 维非零列向量 x，有 xT(BTAB)x0，即(Bx) TA(Bx)0，于是 Bx0因此，Bx=0 只有零解，从而有 r(B)=n。 充分性 因(B TAB)T=BTATB=BTAB，故 BTAB 为实对称矩阵，若 r(B)=n，则齐次线性方程组 Bx=0 只有零解，从而对任意 n 维非零列向量 x，有 Bx0，又 A 为正定矩阵，所以对于 Bx0，有(Bx) TA(Bx)0，于是当 X0 时，x T(BTAB)x=(Bx)TA(Bx)0，故 BTAB 为正定矩阵。【知识模块】 线性代数
