1、考研数学三（微积分）模拟试卷 38 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)二阶连续可导， ，则( )（A）f(2)是 f(x)的极小值（B） f(2)是 f(x)的极大值（C） (2，f(2)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(2)不是函数 f(x)的极值，(2，f(2)也不是曲线 y=f(x)的拐点2 设 f(x)在 x=0 的邻域内连续可导，g(x)在 x=0 的邻域内连续，且 ，又 f(x)=一 2x2+0xg(xt)dt，则( )（A）x=0 是 f(x)的极大值点（B） x=0 是 f(x)的极小值点、（C） (0，f(0)是曲线
2、y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点3 设 f(x)二阶连续可导，且 ，则( )（A）f(0)是 f(x)的极小值（B） f(0)是 f(x)的极大值（C） (0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 是 f(x)的驻点但不是极值点4 设函数 f(x)满足关系 f“(x)+f2(x)=x，且 f(0)=0，则( )（A）f(0)是 f(x)的极小值（B） f(0)是 f(x)的极大值（C） (0，f(0)是 y=f(x)的拐点（D）(0 ，f(0) 不是 y=f(x)的拐点5 下列说法正确的是( ) （A）设 f(x)在
3、 x0 二阶可导，则 f“(x)在 x=x0 处连续（B） f(x)在a，b 上的最大值一定是其极大值（C） f(x)在(a，b) 内的极大值一定是其最大值（D）若 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点6 设 f(x)在a，+)上二阶可导， f(a)0，f(a)=0，且 f“(x)k(k0)，则 f(x)在(a， +)内的零点个数为( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个7 设 k0，则函数 f(c)=lnx 一 +k 的零点个数为( )（A）0 个（B） 1 个（C） 2 个（D）3 个8 曲线 y=
4、 的渐近线的条数为( ) （A）0 条（B） 1 条（C） 2 条（D）3 条9 设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导数的图形如右图，则 f(x)有( )（A）两个极大点，两个极小点，一个拐点（B）两个极大点，两个极小点，两个拐点（C）三个极大点，两个极小点，两个拐点（D）两个极大点，三个极小点，两个拐点二、填空题10 设函数 y=y(x)由 确定，则 y=y(x)在 x=ln2 处的法线方程为_11 设 在 x=1 处可微，则 a=_，b=_12 设 F(x)=0x(x2 一 t2)f(x)出，其中 f(x)在 x=0 处连续，且当 x0 时，F(x)x 2，则 f(0)=_13 设 f
5、(x)在( 一，+)上可导，则 a=_14 设 f(x，y)可微，f(1 ，2)=2，f(1 2)=3 ，f y(1， 2)=4，(x)=fx，f(x，2x)，则(1)=_15 曲线 的斜渐近线为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 就 k 的不同取值情况，确定方程 x2 一 3x+k=0 根的个数17 设 k 为常数，方程 kx 一 +1=0 在(0，+)内恰有一根，求 k 的取值范围18 设 f(x)在 一 1，1上可导， f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f(0)=0，f“(0)=4 求19 设 f(x)二阶连续可导且 f(0)=f(0)=0，f“(x)0曲线 y=
6、f(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距为 u，求 20 设函数 其中 g(x)二阶连续可导，且 g(0)=1(1)确定常数 a，使得 f(x)在 x=0 处连续；(2)求 f(x)；(3)讨论 f(x)在 x=0 处的连续性21 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f+(a)f-一(b)0证明：存在(a， b)，使得 f()=022 设 f(x)在0，2上三阶连续可导，且 f(0)=1，f(1)=0，f(2)= 证明：存在(0， 2)，使得 f“()=223 设 f(x)是在a，b上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且 f(a)=ab
7、=f(b)证明：存在 i(a，b)(i=1，2，n) ，使得 =124 设函数 y=f(x)二阶可导，f(x)0，且与 x=(y)互为反函数，求 “(y)25 设 f(x)在 x=x0 的邻域内连续，在 x=x0 的去心邻域内可导，且 =M证明：f(x 0)=M26 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(1)=0证明：存在 (0，1)，使得 f“()=27 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的a0，b0，存在 ， (0，1)，使得28 设 f(z)在a，b上连续，在(a ，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0， abf(
8、x)dx=0证明： (1)存在 c(a，b)，使得 f(c)=0； (2)存在 i(a，b)(i=1，2)，且 12，使得 f(i)+f(i)=0(i=1，2)； (3)存在 (a，b)，使得 f“()=f()； (4)存在 (a，b)，使得 f“()一3f()+2f()=029 设 a1a 2a n，且函数 f(x)在a 1，a n上 n 阶可导，c a1，a n且 f(a1)=f(a2)=f(an)=0证明：存在 (a1，a n)，使得30 设 f(x)二阶连续可导，且 f“(x)0，又 f(x+h)=f(x)+f(x+h)h(01)证明：31 设 f(x)在0，1连续可导，且 f(0)=
9、0证明：存在 0，1，使得 f()=201f(x)dx32 求 的最大项33 设 x3 一 3xy+y3=3 确定隐函数 y=y(x)，求 y=y(x)的极值考研数学三（微积分）模拟试卷 38 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由 ，则存在 0，当 0x 一 2 时，有 ，即当 x(2 一 ，2)时，f(x)0；当 x(2，2+) 时，f(x)0，于是 x=2 为 f(x)的极小点，选 A【知识模块】 微积分2 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 x(一 ，0) 时，f(x)
10、0，当 x(0，)时，f“(x)0，所以(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点，选 C【知识模块】 微积分4 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(0)=0 得 f“(0)=0，f“(x)=12f(x)f“(x)，f“(0)=1 0，由极限保号性，存在 0，当 0x 时，f“(x) 0，再由 f“(0)=0，得故(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点，选 C 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 令 不存在，所以A 不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以 B 不对；C 显然不对，选 D【知识模块】 微积分6 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f(a)=0，且 f“(x
11、)k(x0)，所以 f(x)=f(a)+f(a)(x 一 a)+为 f(a)=0，且 f“(x)k(k 0)，所以 f(x)0(xa)，即 f(x)在a，+)单调增加，所以零点是唯一的，选 B【知识模块】 微积分7 【正确答案】 C【试题解析】 函数 f(x)的定义域为(0 ，+) ，由 f(x)= =0 得 x=e，当0xe 时， f(x)0；当 xe 时，f(x)0，由驻点的唯一性知 x=e 为函数 f(x)的最大值点，最大值为 f(e)=k0，又 ，于是 f(x)在(0， +)内有且仅有两个零点，选 C【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分9 【正确答
12、案】 C【试题解析】 设当 x0 时，f(x)与 x 轴的两个交点为 (x1，0)，(x 2，0)，其中x1x 2；当 x0 时，f(x)与 x 轴的两个交点为(x 3，0)，(x 4，0)，其中 x3x 4 当xx 1 时，f(x)0，当 x(x1，x 2)时，f(x)0，则 x=x1 为 f(x)的极大点；当x(x2，0)时，f(x)0，则 x=x2 为 f(x)的极小点；当 x(0，x 3)时，f(x)0，则 x=0为 f(x)的极大点；当 x(x3，x 4)时，f(x)0，则 x=x3 为 f(x)的极小点；当 xx 4 时，f(x)0，则 x=x4 为 f(x)的极大点，即 f(x)
13、有三个极大点，两个极小点，又 f“(x)有两个零点，根据一阶导数在两个零点两侧的增减性可得，y=f(x)有两个拐点，选C【知识模块】 微积分二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 当 x=ln2 时， t=1；当 t=i 时，y=0【知识模块】 微积分11 【正确答案】 2；-1【试题解析】 因为 f(x)在 x=1 处可微，所以 f(x)在 x=1 处连续，于是 f(1 一 0)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即 a+b=1由 f(x)在 x=1 处可微得a=2，所以 a=2，b=一 1【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 F(x)=x 20xf(t)dt0xt2f
14、(t)dt，F(x)=2x 0xf(t)dt，【知识模块】 微积分13 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 微积分14 【正确答案】 47【试题解析】 因为 (x)=fxx，f(x，2x)+f yx，f(x，2x)f x(x，2x)+2f y(x，2x)，所以 (1)=fx1，f(1 ，2)+f y1，f(1 ，2)f x(1， 2)+2fy(1，2)=3+4(3+8)=47【知识模块】 微积分15 【正确答案】 y=2x-4【试题解析】 【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 令 f(x)=x3 一 3x+k， 由f(x)=3x2 一
15、 3=0，得驻点为 x1=一 1，x 2=1f“(x)=6x，由 f“(一 1)=一 6， f“(1)=6，得 x1=一 1， x2=1 分别为 f(x)的极大值点和极小值点，极大值和极小值分别 为 f(一1)=2+k，f(1)=k 一 2 (1)当 k一 2 时，方程只有一个根； (2)当 k=一 2 时，方程有两个根，其中一个为 x=一 1，另一个位于(1，+)内； (3)当一 2k2 时，方程有三个根，分别位于(一，-1)，(一 1，1)，(1，+)内； (4)当忌一 2 时，方程有两个根，一个位于(一，一 1)内，另一个为 x=1； (5)当 k2 时，方程只有一个根【知识模块】 微积
16、分17 【正确答案】 【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线方程为 Y 一 f(x)=f(x)(Xx)，【知识模块】 微积分20 【正确答案】 【知识模块】 微积分21 【正确答案】 不妨设 f+(a)0，f -(b)0，根据极限的保号性，f +(a)=0，则存在 0(b 一 a)，当 0x 一 a 时，即 f(x)f(x) ， 所以存在 x1(a，b)，使得 f(x1)f(a) 同理由f-(b)0，存在 x2(a，b)，使得 f(x2)f(b) 因为 f(x)在a，b上连续，且 f(x1)f(a)，f(x
17、2)f(b)，所以 f(x)的最大值在(a，b) 内取到，即存在 (a，b)，使得 f()为 f(x)在a ，b上的最大值，故 f()=0【知识模块】 微积分22 【正确答案】 先作一个函数 P(x)=ax3+bx2+cx+d，使得令g(x)=f(x)一 P(x)，则 g(x)在0 ，2上三阶可导，且 g(0)=g(1)=g(2)=0，所以存在c1(0，1)，c 2(1，2) ，使得 g(c1)=g(1)=g(c2)=0，又存在 d1(c1，1)，d 2(1，c 2)使得 g“(d1)=g“(d2)=0，再由罗尔定理，存在 (d1，d 2) (0，2)，使得 g“()=0，而g“(x)=f“(
18、x)一 2，所以 f“()=2【知识模块】 微积分23 【正确答案】 令 h= 因为 f(x)在a，b上连续且单调增加，且 f(a)=ab=f(b)，所以 f(a)=aa+h a+(n 一 1)hb=f(b)，由端点介值定理和函数单调性，存在 ac 1c 2c n-1b，使得 f(c1)=a+h，f(c 2)=a+2h，f(c n-1)=a+(n 一 1)h，再由微分中值定理，得 f(c1)一 f(a)=f()(c1 一 a)，(a，c 1)，f(c 2)一f(c1)=f(2)(c2 一 c1)， 2(c1，c 2)，f(b) 一 f(cn-1)=f(n)(b 一 cn-1)，(c n-1，b
19、) ，从而有【知识模块】 微积分24 【正确答案】 因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数，所以【知识模块】 微积分25 【正确答案】 由微分中值定理得 f(x)一 f(x0)=f()(x 一 x0)，其中 介于 x0 与 x之间【知识模块】 微积分26 【正确答案】 令 (x)=(x 一 1)2f(x)，显然 (x)在0，1上可导，由 f(0)=f(1)=0，根据罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 f(c)=0，再由 (c)=(1)=0，根据罗尔定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 ()=0，而 (x)=2(x 一 1)f(x)+(x 一 1)2f“(x)，所以2( 一 1)f(
20、)+( 一 1)2f“()=0，整理得 f“()= 【知识模块】 微积分27 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，1上连续，f(0)=0，f(1)=1，且 f(0) f(1) ，所以由端点介值定理，存在 c(0，1)，使得 f(c)= 由微分中值定理，存在(0， c)， (c，1) ，使得【知识模块】 微积分28 【正确答案】 (1)令 F(x)=axf(x)dt，则 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且F(x)=f(x)故存在 c(a，6)，使得 abf(x)dx=F(b)一 F(a)=F(c)(b 一 a)=f(c)(b 一 a)=0，即 f(c)=0 (2) 令 h(x)=ex
21、f(x)，因为 h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在1(a， c)， 2(c，b) ，使得 h(1)=h(2)=0， 而 h(x)=exf(x)+f(x)且 ex0，所以f(i)+f(i)=0(i=1，2) (3)令 (x)=e-xf(x)+f(x)，( 1)=(2)=0，由罗尔定理，存在(1， 2) (a，b) ，使得 ()=0， 而 (x)=e-xf“(x)一 f(x)且 e-x0，所以 f“()=f() (4)令 g(x)=e-xf(x)， g(a)=g(c)=g(b)=0， 由罗尔定理，存在 1(a，c)，2(c， b)，使得 g(1)=g(2)=0， 而 g(x)=
22、e-xf(x)一 f(x)且 e0，所以 f(1)一 f(1)=0，f( 2)一 f(2)=0 令 (x)=e-2xf(x)一 f(x)，( 1)=(2)=0， 由罗尔定理，存在(1， 2) (a，b)，使得 ()=0， 而 (x)=e-2xf“(x)一 3f(x)+2f(x)且 e-2x0， 所以 f“()一 3f()+2f()=0【知识模块】 微积分29 【正确答案】 当 c=ai(i=1，2，n)时，对任意的 (a1，a n)，结论成立；设 c为异于 a1，a 2，a n 的数，不妨设 a1ca 2a n令，构造辅助函数 (x)=f(x)一 k(x 一 a1)(x 一a2)(x 一 an
23、)，显然 (x)在a 1，a n上 n 阶可导，且 (a1)=(c)=(a2)=(a n)=0，由罗尔定理，存在 1(1)(a1，c) ， 2(1)(c，a 2)， ， n(1)(an-1，a n)，使得 (1(1)=(2(1)=( n(1)=0，(x)在(a 1，a n)内至少有 n 个不同零点，重复使用罗尔定理，则 (n-1)(x)在(a 1，a n)内至少有两个不同零点，设为 c1，c 2(a1，a n)，使得 (n-1)(c1)=(n-1)(c2)=0，再由罗尔定理，存在 (c1，c 2) (a1，a 2)，使得 (n)()=0而 (n)(x)=f(n)(x)一 n!k，所以 f(n)
24、()=n!k，从而有【知识模块】 微积分30 【正确答案】 由泰勒公式得【知识模块】 微积分31 【正确答案】 因为 f(x)在区间0，1上连续，所以 f(x)在区间0，1上取到最大值 M 和最小值 m，对 f(x)一 f(0)=f(f)x(其中 c 介于 0 与 x 之间)两边积分得 01f(x)dx=01f(c)xdx， 由 mf(c)M 得 m01xdx01f(c)xdxM01xdx， 即 m201f(c)xdxM或 m201f(x)dxM， 由介值定理，存在 0，1，使得 f()=201f(x)dx【知识模块】 微积分32 【正确答案】 当 x(0，e) 时，f(x)0；当 x(e，+)时，f(x) 0，则 x=e 为 f(x)的最大点，【知识模块】 微积分33 【正确答案】 k 3 一 3xy+y3=3 两边对 x 求导得 3x2 一 3y 一 3xy+3y2y=0，【知识模块】 微积分
