1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 38及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列各题计算过程中正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.函数 f(x)=xsinx( )（分数：2.00）A.当 x时为无穷大。B.在(一，+)内有界。C.在(一，+)内无界。D.当 x时有有限极限。4.设对任意的 x，总有 (x)f(x)g(x)，且 g(x)一 (x)=0，则 （分数：2.00）A.存在且等于零。B.存在但不一定为零。C.一定不存在。D
2、.不一定存在。5.设 f(x)可导，f(x)=0，f (0)=2，F(x)= 0 x t 2 f(x 3 t 3 )dt，g(x)= （分数：2.00）A.低阶无穷小。B.高阶无穷小。C.等价无穷小。D.同阶但非等价无穷小。6.把 x0 时的无穷小量 = 0 x cost 2 dt，= 0 x2 tan （分数：2.00）A.，。B.，。C.，。D.，。7.设当 x0 时，(1 一 cosx)ln(1+x 2 )是比 xsinx n 高阶的无穷小，而 xsinx n 是比(e x2 1)高阶的无穷小，则正整数 n等于( )（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。8.已知当 x0 时，
3、函数 f(x)=3sinxsin3x与 cx k 是等价无穷小，则( )（分数：2.00）A.k=1，c=4。B.k=1，c=一 4。C.k=3，c=4。D.k=3，c=一 4。9.设数列极限函数 f(x)= （分数：2.00）A.I=(一，+)，J=(一，+)。B.I=(一 1，+)，J=(一 1，1)(1，+)。C.I=(一 1，+)，J=(一 1，+)。D.I=(一 1，1)，J=(一 1，1)。10.设 f(x)在 R上连续，且 f(x)0，(x)在 R上有定义，且有间断点，则下列结论中正确的个数是( ) f(x)必有间断点； (x) 2 必有间断点； f(x)没有间断点。（分数：2.
4、00）A.0。B.1。C.2。D.3。11.函数 f(x)= （分数：2.00）A.x=1为第一类间断点，x=一 1为第二类间断点。B.x=1均为第一类间断点。C.x=1为第二类间断点，x=一 1为第一类间断点。D.x=1均为第二类间断点。12.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.1个可去间断点，1 个跳跃间断点。B.1个可去间断点，1 个无穷间断点。C.2个跳跃间断点。D.2个无穷间断点。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)13.当 x0 时，(x)=kx 2 与 (x)= （分数：2.00）填空项 1:_14.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_15.= 1。 （分数：2
5、.00）填空项 1:_16.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 a 1 ，a 2 ，a m (m2)为正数，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.x表示不超过 x的最大整数，则 （分数：2.00）填空项 1:_19.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_20.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.求极限 （分数：2.00）_23.求极限 （分数：2.00）_24.求极限 （分数：2.00）_25.求极限 （分数：2.00）_26.
6、求极限 （分数：2.00）_27.求极限 （分数：2.00）_28.求极限 （分数：2.00）_29.求极限 （分数：2.00）_30.求下列极限 （分数：2.00）_31.设函数 f(x)=lnx+ ，数列x n 满足 lnx n + 1，证明 （分数：2.00）_32.设 f(x)在0，1连续，且 f(0)=f(1)，证明至少存在一点 0，1，使得 f()=f(+ （分数：2.00）_考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 38答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：
7、2.00）_解析：2.下列各题计算过程中正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：A 项错误，数列没有导数概念，不能直接用洛必达法则。 B 项错误， 是定式，不能用洛必达法则。 C 项错误，用洛必达法则求3.函数 f(x)=xsinx( )（分数：2.00）A.当 x时为无穷大。B.在(一，+)内有界。C.在(一，+)内无界。 D.当 x时有有限极限。解析：解析：令 x n =2n+ 。y n =2n+，则 f(x n )=2n+ ，f(y n )=0。因为 4.设对任意的 x，总有 (x)f(x)g(x)，且 g(x)一 (x)=0，则 （分数：2.00）A.存在且等于
8、零。B.存在但不一定为零。C.一定不存在。D.不一定存在。 解析：解析：取 (x)=f(x)=g(x)=x，显然有 (x)f(x)g(x)，且 g(x)一 (x)=0，但不存在，故排除 A、B。 再取 (x)=f(x)=g(x)=1，同样有 (x)f(x)g(x)，且 g(x)一(x)=0，但5.设 f(x)可导，f(x)=0，f (0)=2，F(x)= 0 x t 2 f(x 3 t 3 )dt，g(x)= （分数：2.00）A.低阶无穷小。B.高阶无穷小。C.等价无穷小。D.同阶但非等价无穷小。 解析：解析：先改写6.把 x0 时的无穷小量 = 0 x cost 2 dt，= 0 x2 t
9、an （分数：2.00）A.，。B.，。 C.，。D.，。解析：解析：因为 7.设当 x0 时，(1 一 cosx)ln(1+x 2 )是比 xsinx n 高阶的无穷小，而 xsinx n 是比(e x2 1)高阶的无穷小，则正整数 n等于( )（分数：2.00）A.1。B.2。 C.3。D.4。解析：解析：因当 x0 时，1 一 cosx x 2 ，ln(1+x 2 )x 2 ，sinx n x n ，e x2 一 1x 2 ，故(1 一 cosx)ln(1+x 2 ) 8.已知当 x0 时，函数 f(x)=3sinxsin3x与 cx k 是等价无穷小，则( )（分数：2.00）A.k=
10、1，c=4。B.k=1，c=一 4。C.k=3，c=4。 D.k=3，c=一 4。解析：解析：由麦克劳林展开式 sinx=x一 +o(x 3 )，sin3x=3x 一 +o(x 3 )可得 9.设数列极限函数 f(x)= （分数：2.00）A.I=(一，+)，J=(一，+)。B.I=(一 1，+)，J=(一 1，1)(1，+)。 C.I=(一 1，+)，J=(一 1，+)。D.I=(一 1，1)，J=(一 1，1)。解析：解析： 当 x=一 1时，arctan 无定义，则 f(x)在 x一 1无定义。 因此 f(x)的定义域为 I=(一 1，+)，且 f(x)=10.设 f(x)在 R上连续，
11、且 f(x)0，(x)在 R上有定义，且有间断点，则下列结论中正确的个数是( ) f(x)必有间断点； (x) 2 必有间断点； f(x)没有间断点。（分数：2.00）A.0。 B.1。C.2。D.3。解析：解析：错误。举例：设 (x)= f(x)=e x ，则 f(x)=1 在 R上处处连续。 错误。举例：设 (x)= 则(x) 2 =9在 R上处处连续。 错误。举例：设 (x)= f(x)=e x ，则f(x)= 11.函数 f(x)= （分数：2.00）A.x=1为第一类间断点，x=一 1为第二类间断点。B.x=1均为第一类间断点。 C.x=1为第二类间断点，x=一 1为第一类间断点。D
12、.x=1均为第二类间断点。解析：解析：分别就x=1，x1，x1 时求极限 ，得出 f(x)的分段表达式： f(x)=在x=1 处，因12.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.1个可去间断点，1 个跳跃间断点。 B.1个可去间断点，1 个无穷间断点。C.2个跳跃间断点。D.2个无穷间断点。解析：解析：x=0，x=1 时，f(x)均无定义，所以 x=0，x=1 是函数的间断点。并且二、填空题(总题数：8，分数：16.00)13.当 x0 时，(x)=kx 2 与 (x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设可知， 所以得 k=14.= 1。 （分数
13、：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：利用等价无穷小量替换将极限式进行化简，即15.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因为 0，且 arctanx为有界函数，即arctanx16.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：该极限式为 1 型未定式，可直接利用重要极限公式 进行计算， 17.设 a 1 ，a 2 ，a m (m2)为正数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：maxa 1 ，a 2 ，a m ）解析：解析：不妨设 a 1 为最大值，则 原式=a
14、 1 =a 1 1=a 1 。 所以 18.x表示不超过 x的最大整数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为 ，所以 当 x0 时，2 一 x 2；当 x0 时，2 2 一 x。 又由(2一 x)=2，利用夹逼准则可知，19.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令函数 f(x)= 其中 g(x)，h(x)分别在a，x 0 ，(x 0 ，b上是初等函数，因此连续，且 f(x)在 x 0 连续。所以 g(x 0 )=h(x 0 )。 对任意常数 A，显然 x1 时，f(x)连续。当且仅当 时，f(x
15、)在 x=1连续。 因此，当 A= 20.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：首先对于不同的 x，用求极限的方法得出 f(x)的表达式，再讨论 f(x)的间断点。 当 x=0时，f(x)=0； 当 x0 时， 所以 f(x)的表达式为三、解答题(总题数：12，分数：24.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由麦克劳林展开式 sinx=x一 +o(x 3 )，arcsinx=x+ +o(x 3 )，因此 )解析：23.求极限 （分数：2.00
16、）_正确答案：(正确答案：由麦克劳林展开式 sinx=x一 +o(x 3 )，cosx=1 一 +o(x 2 )及常见的等价无穷小代换， 可得 )解析：24.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由麦克劳林展开式 ln(1+x)=x 一 +o(x 2 )，cosx=1 一 +o(x 2 )，tanx=x+ x 3 +o(x 3 )， 故可得 )解析：25.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 且 arcsinxx。故 )解析：26.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由麦克劳林展开式 sinx=x一 +o(x 3 )及常见的等价无穷小代换，得 )解析
17、：27.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：该极限式为 1 型未定式，可直接利用重要极限公式 进行计算， )解析：28.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式= )解析：29.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.求下列极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 ()因为 ()因为 ()利用定积分的定义可得()利用定积分的定义可得 ()利用定积分的定义可得 )解析：31.设函数 f(x)=lnx+ ，数列x n 满足 lnx n + 1，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f (x)= 0，则 x1。于是
18、f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+)上单调递增，所以 x=1是 f(x)唯一的最小值点，且 f(x)f(1)=1，从而有 f(x n )=lnx n + 1。再结合题目中的条件有 所以 x n x n1 ，0x n e，即数列x n 单调递增且有界。由单调有界准则可知，极限 x n 存在。 由前面讨论出的函数 f(x)的性质可知 )解析：32.设 f(x)在0，1连续，且 f(0)=f(1)，证明至少存在一点 0，1，使得 f()=f(+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题可以转化为证明 F(x)=f(x)一 f(x+ )在区间0，1上存在零点，因为f(x)在0，1上连续，所以 F(x)=f(x)一 上连续。 F(x)在0，1， 上存在零点的情况可转化为函数 F(x)在0，1， 存在两个点的函数值是异号。 )解析：
