1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 37及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= （分数：2.00）A.0。B.1。C.D.3.当 X1 时，函数 （分数：2.00）A.等于 2。B.等于 0。C.为。D.不存在，但不为。4.设a n ，b n ，c n 均为非负数列，且 （分数：2.00）A.a n b n 对任意 n成立。B.b n c n 对任意 n成立。C.极限 D.极限 5.设 f(x)=2 x +3 x 一 2，则当 x0
2、时( )（分数：2.00）A.f(x)与 x是等价无穷小。B.f(x)与 x是同阶，但非等价无穷小。C.f(x)是比 x高阶的无穷小。D.f(x)是比 x低阶的无穷小。6.当 x0 时，与 等价的无穷小量是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 x0 时，(1+sinx) x 一 1是比 xtanx n 低阶的无穷小，而 xtanx n 是比(e sin2x 一 1)ln(1+x 2 )低阶的无穷小，则正整数 n等于( )（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.4。8.当 x0 时，f(x)=x 一 sinax与 g(x)=x 2 ln(1一 bx)是等价无穷小，则( )（分数
3、：2.00）A.a=1，b=B.a=1，b=C.a=一 1，b=D.a=一 1，b=9.设 （分数：2.00）A.b=4d。B.b=一 4d。C.a=4c。D.a=一 4c。10.设 f(x)和 (x)在(一，+)上有定义，f(x)为连续函数，且 f(x)0，(x)有间断点，则( )（分数：2.00）A.f(x)必有间断点。B.(x) 2 必有间断点。C.f(x)必有间断点。D.必有间断点。11.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点。B.x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点。C.x=0是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第
4、二类间断点。D.x=0是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点。12.函数 f(x)= （分数：2.00）A.0。B.1。C.。D.。13.函数 f(x)= （分数：2.00）A.0。B.1。C.2。D.3。二、填空题(总题数：7，分数：14.00)14.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_15.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_16.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_17.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_18.数列 x n = （分数：2.00）填空项 1:_19.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_20.已知函数 f(x
5、)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_22.求极限 （分数：2.00）_23.求极限 （分数：2.00）_24.求极限 （分数：2.00）_25.求极限 （分数：2.00）_26.求极限 （分数：2.00）_已知函数 f(x)= （分数：4.00）(1).求 a的值；（分数：2.00）_(2).若 x0 时，f(x)一 a与 x k 是同阶无穷小，求常数 k的值。（分数：2.00）_27.求极限 （分数：2.00）_28.求极限 （分数：2.00）_29.求极限 （分数：2.00）_30.(
6、I)证明方程 x n +x n1 +x=1(n为大于 1的整数)在区间( ，1)内有且仅有一个实根； ()记()中的实根为 x n ，证明 （分数：2.00）_31.求函数 f(x)= （分数：2.00）_考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 37答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= （分数：2.00）A.0。B.1。 C.D.解析：解析：因为f(x)1 恒成立，所以 ff(x)=1恒成立，从而 ff(x)=f(1)=1。故选 B
7、。3.当 X1 时，函数 （分数：2.00）A.等于 2。B.等于 0。C.为。D.不存在，但不为。 解析：解析：因4.设a n ，b n ，c n 均为非负数列，且 （分数：2.00）A.a n b n 对任意 n成立。B.b n c n 对任意 n成立。C.极限 D.极限 解析：解析：由于极限值与数列前面有限项的大小无关，因此可排除 A、B；而极限 是一个 0型未定式极限，可能存在也可能不存在，因此可以排除 C；极限 b n c n 是 1型，必为无穷大量，即极限不存在。因此选项 D正确。也可用举反例法，取 a n = ，b n =1，c n = 5.设 f(x)=2 x +3 x 一 2
8、，则当 x0 时( )（分数：2.00）A.f(x)与 x是等价无穷小。B.f(x)与 x是同阶，但非等价无穷小。 C.f(x)是比 x高阶的无穷小。D.f(x)是比 x低阶的无穷小。解析：解析：利用洛必达法则求解。6.当 x0 时，与 等价的无穷小量是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：当 x0 时，有以下等价无穷小： 7.设 x0 时，(1+sinx) x 一 1是比 xtanx n 低阶的无穷小，而 xtanx n 是比(e sin2x 一 1)ln(1+x 2 )低阶的无穷小，则正整数 n等于( )（分数：2.00）A.1。B.2。 C.3。D.4。解析：解析：当
9、x0 时， (1+sinx) x 一 1=e xln(1sinx) 一 1xln(1+sinx)xsinxx 2 ， (e sin2x 一1)ln(1+x 2 )sin 2 xx 2 x 4 ， 而 xtanx n xx n =x n1 。因此 2n+14，则正整数 n=2，故选 B。8.当 x0 时，f(x)=x 一 sinax与 g(x)=x 2 ln(1一 bx)是等价无穷小，则( )（分数：2.00）A.a=1，b= B.a=1，b=C.a=一 1，b=D.a=一 1，b=解析：解析：本题可以利用排除法解答，由于 ln(1bx)与一 bx为等价无穷小，则 所以 a 3 =一6b，故排除
10、 B，C。 另外 9.设 （分数：2.00）A.b=4d。B.b=一 4d。C.a=4c。D.a=一 4c。 解析：解析：当 x0 时，由带佩亚诺型余项的泰勒公式可知，tanx，ln(12x)均为 x的一阶无穷小；而1一 cosx，1e x2 均为 x的二阶无穷小，因此有 故有 10.设 f(x)和 (x)在(一，+)上有定义，f(x)为连续函数，且 f(x)0，(x)有间断点，则( )（分数：2.00）A.f(x)必有间断点。B.(x) 2 必有间断点。C.f(x)必有间断点。D.必有间断点。 解析：解析：借助极限的四则运算性质可知，连续间断= 由题意知，函数 f(x)连续，且 f(x)0，
11、则11.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.x=0，x=1 都是 f(x)的第一类间断点。B.x=0，x=1 都是 f(x)的第二类间断点。C.x=0是 f(x)的第一类间断点，x=1 是 f(x)的第二类间断点。D.x=0是 f(x)的第二类间断点，x=1 是 f(x)的第一类间断点。 解析：解析：显然函数 f(x)在 x=0，x=1 两个点处无定义，因此这两个点均为间断点。 因为 =，所以 x=0为第二类间断点； 因为12.函数 f(x)= （分数：2.00）A.0。 B.1。C.。D.。解析：解析：可以先找出函数的无定义点，再根据左、右极限判断间断点的类型。显然函数在x=0，x=1
12、，x= 均无意义，而13.函数 f(x)= （分数：2.00）A.0。B.1。 C.2。D.3。解析：解析：已知 f(x)= 有间断点 x=0，1。二、填空题(总题数：7，分数：14.00)14.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：将分子化简后用等价无穷小因子代换。易知 (x0)，则15.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：16.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：17.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：该极限
13、式为 1 型未定式，可直接利用重要极限公式 进行计算， 18.数列 x n = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用等价无穷小因子，当 n时 由麦可劳林展开式 ln(1t)=t t 2 o(t 2 )(t0)得， 19.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知 f(x)在 x=0处连续，则 所以 a=20.已知函数 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：三、解答题(总题数：12，分数：24.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
14、_解析：22.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由麦克劳林展开式 arctanx=x 一 x 3 +o(x 3 )，sinx=x 一 +o(x 3 )，ln(1+x)=x一 +o(x 2 )， 因此 )解析：24.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由麦克劳林展开式 sinx=x一 +o(x 3 )和 tanx=x+ x 3 +o(x 3 )，得 )解析：25.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由积分上限函数求导法则，且 。 故 )解析：26.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(
15、正确答案： )解析：已知函数 f(x)= （分数：4.00）(1).求 a的值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2).若 x0 时，f(x)一 a与 x k 是同阶无穷小，求常数 k的值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时， 又因为当 x0 时，xsinx 与 x 3 是等价无穷小，故 )解析：27.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由洛必达法则可知 )解析：29.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.(I)证明方程 x n +x n1 +x=
16、1(n为大于 1的整数)在区间( ，1)内有且仅有一个实根； ()记()中的实根为 x n ，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据题意，令 f(x)=x n +x n1 +x一 1， 则 f(1)0，又 0。 结合零点定理可得，f(x)=x n +x n1 +x一 1在( ，1)内至少存在一个零点，即方程 x n +x n1 +x=1在区间( ，1)内至少有一个实根。 又因为 f(x)=x n +x n1 +x一 1在( ，1)上是单调的，可知 f(x)=x n +x n1 +x 一 1在( ，1)内最多只有一个零点。 综上所述，方程 x n +x n1 +x=1在区间( ，1)内有且仅有一个实根。 ()由题设 f(x n )=0，可知 x n n +x n n1 +x n 一 1=0，进而有 x n1 n +x n1 n +x n1 一 1=0， 所以 x n1 n +x n1 n1 +x n1 10，比较上面两个式子可知 x n1 x n ，故x n 单调递减。 又由()知 X n 1，也即x n 是有界的。则由单调有界收敛定理可知x n 收敛，假设 x n =a，可知 ax 2 x 1 =1。 当n时， )解析：31.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：函数 f(x)有可疑点 x=0，x=1，x=一 1，且 )解析：
