1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 32及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设当 0 时，有 a 3 b 2 c （分数：2.00）A.aB.aC.aD.a为任意常数，b2，c03.设 f() 0 sin sint 2 dt，g() 3 4 ，当 0 时，f()是 g()的( )（分数：2.00）A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小4.设 f() 0 dt 0 t tln(1u 2 )du，g() （分数：2.00）A.
2、低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价的无穷小5.设a n 与b n 为两个数列，下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.若a n 与b n 都发散，则a n b n 一定发散B.若a n 与b n 都无界，则a n b n 一定无界C.若a n 无界且 a n b n 0，则 D.若 a n 为无穷大，且 二、填空题(总题数：12，分数：24.00)6. 1 （分数：2.00）填空项 1:_7. 1 （分数：2.00）填空项 1:_8. 1 （分数：2.00）填空项 1:_9. 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.当 0 时，sincos2c k ，则 c 1，k
3、2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_11.设 （分数：2.00）填空项 1:_12. 1 （分数：2.00）填空项 1:_13. 1 （分数：2.00）填空项 1:_14.(1)设 8，则 a 1 (2)设 (abcos)sin 为 的 5阶无穷小，则 a 2，b 3 (3)设当 0 时，f() （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_15. 1 （分数：2.00）填空项 1:_16. 1 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 f()连续，f(0)0，f(0)1，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：
4、42.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.确定常数 a，b，c，使得 （分数：2.00）_20. （分数：2.00）_21.求 （分数：2.00）_22.求 （分数：2.00）_23.设 f()可导且 f(0)6，且 0，求 （分数：2.00）_24.设 e 3 ，其中 f()连续，求 （分数：2.00）_25.求 （分数：2.00）_26.求 （分数：2.00）_27.求 （分数：2.00）_28.求极限 （分数：2.00）_29.设 f()连续，f(0)0，f(0)0，F() 0 tf(t 2 2 )dt，且当 0 时，F() n ，求 n及
5、 f(0)（分数：2.00）_30.设 f()在1，)内可导，f()0 且， f()a0，令 a n f(k) 1 n f()d证明：(a n )收敛且 0 （分数：2.00）_31.设 a0， 1 0，且定义 n+1 (n1，2，)，证明： （分数：2.00）_32.设 a 1 1，当 n1 时，a n+1 （分数：2.00）_33.设 f()在0，2上连续，且 f(0)0，f(1)1证明： (1)存在 c(0，1)，使得 f(c)12c； (2)存在 0，2，使得 2f(0)f(1)3f(2)6f()（分数：2.00）_34.设 （分数：2.00）_35.设 f()在0，1上有定义，且 e
6、 f()与 e -f() 在0，1上单调增加证明：f()在0，1上连续（分数：2.00）_36.设 f()在a，)上连续，f(a)0，而 （分数：2.00）_37.设 f() （分数：2.00）_38.求 f() （分数：2.00）_考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 32答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设当 0 时，有 a 3 b 2 c （分数：2.00）A.aB.aC.aD.a为任意常数，b2，c0 解析：解析：因为当 0 时，a 2
7、 b 2 c sintdt， 3.设 f() 0 sin sint 2 dt，g() 3 4 ，当 0 时，f()是 g()的( )（分数：2.00）A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小 C.高阶无穷小D.低阶无穷小解析：解析：因为4.设 f() 0 dt 0 t tln(1u 2 )du，g() （分数：2.00）A.低阶无穷小 B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价的无穷小解析：解析： 得 n5 且 0 时，f() 5 由 得 m6 且 0 时，g() 5.设a n 与b n 为两个数列，下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.若a n 与b n 都发散，则a n b n 一定发
8、散B.若a n 与b n 都无界，则a n b n 一定无界C.若a n 无界且 a n b n 0，则 D.若 a n 为无穷大，且 解析：解析：A 项不对，如 a n 2(1) n ，b n 2(1) n ，显然a n 与b n 都发散，但 a n b n 3，显然a n b n 收敛；选项 B、C 都不对，如 a n n1(1) n ，b n n1(1) n ，显然a n 与b n 都无界，但 a n b n 0，显然a n b n 有界且 二、填空题(总题数：12，分数：24.00)6. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：7. 1 （分数：2.
9、00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为当 0 时， ，10.当 0 时，sincos2c k ，则 c 1，k 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析：因为 0 时，sin o( 3 )， cos21 o( 2 )12 2 o( 2 )， sincos2 3 o( 3 )， 所以 sincos2 ，故 c 11.设 （分数：2.00）填空项
10、1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： 12. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.(1)设 8，则 a 1 (2)设 (abcos)sin 为 的 5阶无穷小，则 a 2，b 3 (3)设当 0 时，f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1)ln2）填空项 1:_ （正确答案：(2)2）填空项 1:_ （正确答案：1）填空项 1:_ （正确答案：(3)3）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：解析：(1) 由 e 3a 8，得
11、aln2 解得 a2，b1 (3)由 得 f() 4 。 再由 g() a (e b 1)b a+1 得 a3，b 15. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 0 时， 1ln 2 (1) 2 ， 16. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：17.设 f()连续，f(0)0，f(0)1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：当 0 时，三、解答题(总题数：21，分数：42.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.确定常数
12、a，b，c，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 f()可导且 f(0)6，且 0，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 0 得 f(0)0，f(0)0， )解析：24.设 e 3 ，其中 f()连续，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
13、)解析：27.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设 f()连续，f(0)0，f(0)0，F() 0 tf(t 2 2 )dt，且当 0 时，F() n ，求 n及 f(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 则 n22，n4，且 )解析：30.设 f()在1，)内可导，f()0 且， f()a0，令 a n f(k) 1 n f()d证明：(a n )收敛且 0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f()0，所以 f()单调减少 又因为 a n+1 a n f(n1) n n+1
14、f()df(n1)f()0(n，n1)， 所以a n 单调减少 因为 a n f(k)f()df(n)，而 k k+1 f(k)f()d0(k1，2，n1) 且 f()a0，所以存在 X0，当 X 时，f()0 由 f()单调递减得 f()0(1，)，故 a n f(n)0，所以 存在 由 a n f(1)f(2) 1 2 f()df(n) n-1 n f()d， 而 f(k) k-1 k f()d0(k2，3，n)，所以 a n f(1)，从而 0 )解析：31.设 a0， 1 0，且定义 n+1 (n1，2，)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为正数的算术平均数不小于几
15、何平均数，所以有 从而 n+1 n 0(n2，3，)， 故 n ) n2 单调减少，再由 n 0(n2，3，)，则 存在， 令 A，等式 n+1 两边令 n得 A ， 解得 )解析：32.设 a 1 1，当 n1 时，a n+1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f() ，因为 f() 0(0)，所以数列a n 单调 又因为 a 1 1，0a n+1 1，所以数列a n 有界，从而数列a n 收敛，令 A，则有 )解析：33.设 f()在0，2上连续，且 f(0)0，f(1)1证明： (1)存在 c(0，1)，使得 f(c)12c； (2)存在 0，2，使得 2f(0)f(1)3f
16、(2)6f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 ()f()12，(0)1，(1)2，因为 (0)(1)0，所以存在 c(0，1)，使得 (c)0，于是 f(c)12c (2)因为 f()C0，2，所以 f()在0，2上取到最小值 m和最大值 M， 由 6m2f(0)f(1)3f(2)6M 得 m M， 由介值定理，存在 0，2，使得 )解析：34.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 0 1，因为 )解析：35.设 f()在0，1上有定义，且 e f()与 e -f() 在0，1上单调增加证明：f()在0，1上连续（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的
17、 0 0，1，因为 e f()与 e f() 在0，1上单调增加， 所以当 0 时，有 故 f( 0 )f() f( 0 )， 令 0 ，由迫敛定理得f( 0 0)f( 0 )； 当 0 时，有 故 )解析：36.设 f()在a，)上连续，f(a)0，而 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()k0，取 0 0，因为 f()k0，所以存在 X 0 0，当 X 0 时，有f()k ，从而 f() )解析：37.设 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f()的间断点为 k(k0，1，)及k (k0，1，) 因为 1，所以 0 为 f()的可去间断点； 因为，所以 k(k1，2，)为 f()的第二类间断点； 因为 0，所以 k)解析：38.求 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f()的间断点为 0，1，2，及 1 当 0 时， 则 0为函数 f()的第一类间断点中的跳跃间断点 当 1 时， ，则 1 为 f()的第一类间断点中的可去间断点 当 k(k2，3，)时， f()，则 k(k2，3，)为函数 f()的第二类间断点 当 1 时，因为 )解析：
