1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 36及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= ，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.下列各式中正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设数列x n 与y n 满足 （分数：2.00）A.若x n 发散，则y n 必发散。B.若x n 无界，则y n 必无界。C.若x n 有界，则y n 必为无穷小。D.若 5.设函数 f(x)在(一，+)内单调有界，x n 为数列，下列命题正
2、确的是( )（分数：2.00）A.若x n 收敛，则f(x n )收敛。B.若x n 单调，则f(x n )收敛。C.若f(x n )收敛，则x n 收敛。D.若f(x n )单调，则x n 收敛。6.当 x0 时，下列四个无穷小中，比其他三个高阶的无穷小是( )（分数：2.00）A.x 2 。B.1一 cosx。C.一 1。D.x一 tanx。7.设 x0 时，ax 2 +bx+ccosx是高阶的无穷小，其中 a，b，c 为常数，则( )（分数：2.00）A.a=B.a=C.a=D.a=8.当 x0 时，e x 一(ax 2 +bx+1)是比 x 2 高阶的无穷小，则( )（分数：2.00）
3、A.a=B.a=1，b=1。C.a=D.a=一 1，b=1。9.设 xa 时，f(x)与 g(x)分别是 xa的 n阶与 m阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是( )f(x)g(x)是 xa的 n+m阶无穷小；若 nm，则 （分数：2.00）A.1。B.2。C.3。D.0。10.设 f(x)在点 x 0 的某邻域内有定义，且 f(x)在 x 0 间断，则在点 x 0 处必定间断的函数是( )（分数：2.00）A.f(x)sinx。B.f(x)+sinx。C.f 2 (x)。D.f(x)。11.设函数 f(x)= 在(一，+)内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0。B.a0，b0。C.a0
4、，b0。D.a0，b0。12.设 f(x)= （分数：2.00）A.f(x)在点 x=1处连续，在点 x=一 1处间断。B.f(x)在点 x=1处间断，在点 x=一 1处连续。C.f(x)在点 x=1，x=一 1处均连续。D.f(x)在点 x=1，x=一 1处均间断。13.设 f(x)在(一，+)内有定义，且 （分数：2.00）A.x=0必是 g(x)的第一类间断点。B.x=0必是 g(x)的第二类间断点。C.x=0必是 g(x)的连续点。D.g(x)在点 x=0处的连续性与 a的取值有关。二、填空题(总题数：7，分数：14.00)14.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_15.= 1。
5、 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 a0，a1，且 （分数：2.00）填空项 1:_17.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_18.设 （分数：2.00）填空项 1:_19.若 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_20.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_22.试确定常数 A，B，C 的值，使得 e x (1+Bx+Cx 2 )=1+Ax+o(x 3 )， 其中 o(x 3 )是当 x0 时比 x 3 高阶的无穷小。（分数：2.00）_23.求极限 （分数：2
6、.00）_24.求极限 （分数：2.00）_25.求极限 （分数：2.00）_26.求极限 （分数：2.00）_27.求极限 （分数：2.00）_28.求极限 （分数：2.00）_29.求极限 （分数：2.00）_30.求极限 （分数：2.00）_设数列x n 满足 0x 1 ，x n1 =sinx n (n=1，2，)。（分数：4.00）(1).证明 （分数：2.00）_(2).计算 （分数：2.00）_31.求函数 f(x)= （分数：2.00）_考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 36答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选
7、择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= ，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：用推演法。将题设条件 f(x)中的所有自变量 x都用(一 x)替换，得 f(一 x)= 也就是 f(一 x)=3.下列各式中正确的是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由重要极限结论 =e，可立即排除 B、D。 对于 A、C 选项，只要验算其中之一即可。 对于 C选项，因 4.设数列x n 与y n 满足 （分数：2.00）A.若x n 发散，则y n 必发散。B.若x n 无界，则y n 必无界。C.若x n 有
8、界，则y n 必为无穷小。D.若 解析：解析：取 x n =n，y n =0，显然满足题设条件，由此可排除 A、B。若取 x n =0，y n =n，也满足 5.设函数 f(x)在(一，+)内单调有界，x n 为数列，下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若x n 收敛，则f(x n )收敛。B.若x n 单调，则f(x n )收敛。 C.若f(x n )收敛，则x n 收敛。D.若f(x n )单调，则x n 收敛。解析：解析：因为 f(x)在(一，+)内单调有界，且结合选项 B，x n 单调，所以f(x n )单调且有界。故f(x n )一定存在极限，即f(x n )一定收敛。6.当
9、 x0 时，下列四个无穷小中，比其他三个高阶的无穷小是( )（分数：2.00）A.x 2 。B.1一 cosx。C.一 1。D.x一 tanx。 解析：解析：利用常用的等价无穷小结论。 由于 x0 时，1 一 cosx7.设 x0 时，ax 2 +bx+ccosx是高阶的无穷小，其中 a，b，c 为常数，则( )（分数：2.00）A.a=B.a=C.a= D.a=解析：解析：由题意得 (ax 2 +bx+ccosx)=0， 得 c=1，又因为 所以 b=0，a= 8.当 x0 时，e x 一(ax 2 +bx+1)是比 x 2 高阶的无穷小，则( )（分数：2.00）A.a= B.a=1，b=
10、1。C.a=D.a=一 1，b=1。解析：解析：因 e x =l+x+ +o(x 2 )，故 e x 一(ax 2 +bx+1)=(1b)x+( 一 a)x 2 +o(x 2 )。显然要使上式是比 x 2 高阶的无穷小(x0 时)，只要 9.设 xa 时，f(x)与 g(x)分别是 xa的 n阶与 m阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是( )f(x)g(x)是 xa的 n+m阶无穷小；若 nm，则 （分数：2.00）A.1。B.2。 C.3。D.0。解析：解析：此类问题按无穷小阶的定义要逐一分析： 命题： xa 时，f(x)g(x)是 x一 a的n+m阶无穷小； 命题： 若 nm， xa 时，
11、f(x)g(x)是 x一 a的 nm阶无穷小； 命题： 例如，x0 时，sinx 与一 x均是 x的一阶无穷小，但 即 sinx+(一 x)是 x的三阶无穷小。 因此，正确，但错误。故选 B。10.设 f(x)在点 x 0 的某邻域内有定义，且 f(x)在 x 0 间断，则在点 x 0 处必定间断的函数是( )（分数：2.00）A.f(x)sinx。B.f(x)+sinx。 C.f 2 (x)。D.f(x)。解析：解析：若 F(x)+sinx在 x=x 0 处连续，则 f(x)=f(x)+sinx一 sinx在 x=x 0 连续，与已知矛盾。因此 f(x)+sinx在点 x 0 处必间断。故选
12、 B。11.设函数 f(x)= 在(一，+)内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0。B.a0，b0。C.a0，b0。D.a0，b0。 解析：解析：因 f(x)连续，所以 a+e bx 0，因此只要 a0 即可。再由 12.设 f(x)= （分数：2.00）A.f(x)在点 x=1处连续，在点 x=一 1处间断。B.f(x)在点 x=1处间断，在点 x=一 1处连续。 C.f(x)在点 x=1，x=一 1处均连续。D.f(x)在点 x=1，x=一 1处均间断。解析：解析：由函数连续定义可知， 所以 f(x)在 x=1处间断。13.设 f(x)在(一，+)内有定义，且 （分数：2.00）A.
13、x=0必是 g(x)的第一类间断点。B.x=0必是 g(x)的第二类间断点。C.x=0必是 g(x)的连续点。D.g(x)在点 x=0处的连续性与 a的取值有关。 解析：解析：因为 =a。 又 g(0)=0，所以当 a=0时，有 =g(0)， 也就是说，此时 g(x)在点 x=0处连续；当 a0 时，二、填空题(总题数：7，分数：14.00)14.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：15.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：16.设 a0，a1，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案
14、：2）解析：解析：17.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 6）解析：解析：将所给极限化为指数函数的形式，则有 18.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析： 19.若 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因为 f(x)在(一，0)及(0，+)内连续，所以需要确定参数 a，使 f(x)在 x=0处连续。当20.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由题设知，cx0，所以 又 f(x)在(，)内连续，则 f(x)必在 x=
15、c处连续，所以有 =f(c)， 即 c 2 1= 三、解答题(总题数：12，分数：24.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：22.试确定常数 A，B，C 的值，使得 e x (1+Bx+Cx 2 )=1+Ax+o(x 3 )， 其中 o(x 3 )是当 x0 时比 x 3 高阶的无穷小。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将麦克劳林展开式 e x =1+x+ o(x 3 )代入已知等式得 )解析：23.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 ln(cosx)=ln(1+cosx一 1)，所以 x0，ln(cosx)cosx1 x 2 。又由麦
16、克劳林展开式(1+x) m =1+mx+ x+o(x 2 )及 e x =1+x+ +o(x 2 )，因此 )解析：24.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由洛必达法则可知， )解析：26.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由麦克劳林展开式 x 2 +o(x 2 )和洛必达法则可知， )解析：27.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由麦克劳林展开式 ln(1+x)=x一 +o(x 2 )可知 )解析：28.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：该极限式为 1 型未定式，
17、可直接利用重要极限公式 进行计算， )解析：29.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由麦克劳林展开式 arctanx=x一 x 3 +o(x 3 )，arcsinx=x+ x 3 +o(x 3 )可得 原式= )解析：30.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设数列x n 满足 0x 1 ，x n1 =sinx n (n=1，2，)。（分数：4.00）(1).证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：0x 1 ，则 0x 2 =sinx 1 1。由数学归纳法知 0x n1 =sinx n 1，n=1，2，即数列x n 有界。 于是 1(因当 x0 时，sinxx)，则有 x n1 x n ，可见数列x n 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知，极限 存在。 设 x n =l，在 x n1 =sinx n 两边令 n，得 l=sinl，解得 l=0，即 )解析：(2).计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 ，由()知该极限为 1 型。 令 t=x n ，则 n，t0，而 )解析：31.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：函数 f(x)的可疑点只有 x=0和 x=1两个。 因为 )解析：
