1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 47 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设当 xx 0 时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是 ( )（A）设当 xx 0 时，g(x)是无穷小，则 f(x)g(x)必是无穷小（B）设当 xx 0 时，g(x)不是无穷小，则 f(x)g(x)必不是无穷小（C）设在 x=x0 的某邻域内 g(x)无界，则当 xx 0 时，f(x)g(x) 必是无穷大（D）设在 x=x0 的某邻域内 g(x)有界，则当 xx 0 时，f(x)g(x)必不是无穷大2 设函数 f(x)在点 x0 的某邻域内有定义，且 f(x)在点
2、 x0 处间断，则在点 x0 处必定间断的函数为 ( )（A）f(x)sinx（B） f(x)+sinx（C） f2(x)（D）|f(x)|3 设当 xx 0 时，(x)，(x)(x)0)都是无穷小，则当 xx 0 时，下列表达式中不一定为无穷小的是 ( )（A）（B）（C） ln1+(x) 2(x)（D）|(x)|+|(x)|4 下列各项中与 的定义相悖的是 ( )（A）对于任意给定的正数 0，存在正整数 N，当 nN+2 时，有|a n 一 A|2（B）对于任意给定的正数 0，存在正整数 N，当 n2N 时，有|a n 一 A| 2（C）对于任意给定的正数 0，存在正整数 N，当 nN 时
3、，有|a n 一 A|2 （D）对于任意给定的正数 0，存在正整数 N，当 nN2 时，有|a n 一 A|5 若 f(x)在(a，b)内单调有界，则 f(x)在(a ，b)内间断点的类型只能是 ( )（A）第一类间断点（B）第二类间断点（C）既有第一类间断点也有第二类间断点（D）结论不确定6 设当 x0 时，e tanx 一 ex 与 xn 是同阶无穷小，则 n 为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空题7 设 则 ， 的值分别为_8 9 10 若当 x0 时，有 则a=_11 当 x0 时，若有 则 A=_，k=_12 当 x 时，若有 则A=_，k=_三、解答题解答应写出文
4、字说明、证明过程或演算步骤。13 设 f(x)=x2+ax+b，证明：|f(1)|，|f(3)|，|f(5)|中至少有一个不小于 214 求极限：15 求极限：16 求极限：17 求极限：18 求极限：19 求极限：20 求极限： ai0，且 ai1，i=1,2,n,n2.21 求极限： a0.22 设 求23 已知 存在，且求 f(x)24 设 f(x)是三次多项式，且有 求25 设 求 a，b 的值26 确定常数 a 和 b 的值，使27 设函数 证明：存在常数 A，B ，使得当 x0 +时，恒有 f(x)=e+Ax+Bx 2+o(x2)， 并求常数 A，B28 已知： 求常数 A，B ，
5、C，D 29 已知数列x n的通项 求30 设 a1=2， 证明： 存在并求其极限值31 设 x1=1， 求31 已知数列x n的通项 n=1，2，32 证明33 计算考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 47 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 设 当 x0 时为无界变量，不是无穷大令 g(x)=x，当 x0 时为无穷小， 可排除(A)设 x0 时，令 f(x)=x2， 可排除(B)，(C)因此选(D) 【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 B【试题解析】 方法一 若 f(x)+sinx 在点 x0 处连续，则
6、 f(x)=|f(x)+sinx一 sinx 在点x0 处也连续，与已知矛盾 方法二 排除法设 则 f(x)在点 x=0处间断，但 f(x)sinx=0 在 x=0 处连续若设 则 f(x)在点 x=0处间断，但 f2(x)=1，|f(x)|=1 在 x=0 处都连续故可排除(A) ，(C)，(D)【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 A【试题解析】 有限个无穷小的和、差、积、绝对值还是无穷小【知识模块】 函数、极限、连续4 【正确答案】 C【试题解析】 对于数列极限 教材写法一般为： 正整数 N0，当NN 时，有|a n 一 A|a这里， 作为衡量|a n 一 A|大小的尺度，只需
7、要满足任意小的正数即可，而不必拘泥于表达形式，(A)中的 2，(B)中的 2，(D)中的均可在0 时，任意小，但(C)中的 21，不可能为任意小，故选(C)至于对“nN”的其他写法，(A)(B)(C)(D)均可接受【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 A【试题解析】 不妨设 f(x)单调递增，且|f(x)|M ，对任一点 x0(a，b) ，当 xx 0-时，f(x)随着 x 增加而增加且有上界，故 存在；当 xx 0+时，f(x)随着 x 减小而减小且有下界，故 存在，故 x0 只能是第一类间断点【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 C【试题解析】 则 n=3 时，【知识模
8、块】 函数、极限、连续二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 所以 =5，【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 一 3【试题解析】 当 x0 时， 故 a=一 3【知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 【试题解析】 则 k=2，即【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 【试题解析】 当 x 时， 故k=2【知识模块】 函数、极限、连续三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 反证法设|f(1)|，|f(3)|
9、，|f(5)|都小于 2，即|f(1)|=|a+b+1|2 ，|f(3)|=|3a+b+9| 2，|f(5)|=|5a+b+25|2，则 |f(1)一 2f(3)+f(5)|f(1)|+2|f(3)|+|f(5)|2+22+2=8事实上，|f(1)一 2f(3)+f(5)|=|a+b+16a-2b-18+5a+6+25|=8，与上面结论矛盾，故|f(1)|，|f(3)|，|f(5)|中至少有一个不小于 2【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 因为即 又 所以【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续16 【正确答案】 因为当 x0 时，又 故原
10、极限=【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 因为 故原极限=【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 故原极限=【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 方法一 原极限等价于求 令f(t)=arctant， 由拉格朗日中值定理可得 故 方法二 令所以 【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 因为 所以 其中又当 x0 时， a x 一 1=exlna 一 1xln a 所以因此 f(x)Axlna sin x(x0)，于是得到【知识模块】 函数、极限、连续2
11、3 【正确答案】 设 令 x 一 1=t，则 【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 因为 所以 f(2a)=f(4a)=0，从而可知 x 一 2a，x 一 4a 为 f(x)的因式，又因为 f(x)为三次多项式，可令 f(x)=b(x 一 2a)(x 一 4a)(xc) 于是 解得所以 故 【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 因为 所以 故 a=1 又所以 b=一 4【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 于是 ln(12x+3x 2)=一 2x+3x2 一(一 2x+3x2)2+o(x2)=一 2x+x2+o(x2)，代入即得 【知识模块】 函数、极限、连
12、续27 【正确答案】 故【知识模块】 函数、极限、连续28 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续29 【正确答案】 因为故由夹逼准则有【知识模块】 函数、极限、连续30 【正确答案】 因为 所以a n有下界 下面再证明a n单调递减即 an+1an，所以存在 令 代入 有则 A=1(A=一 1 舍去) 【知识模块】 函数、极限、连续31 【正确答案】 假设 xnx n-1，则 即 xn+1x n，由数学归纳法可知对一切 n，都有 xn=1x n又所以x n单调递增且有上界，故x n收敛记 对等式 xn+1=1+ 两边取极限，得 即 a2一 a 一 1=0解得 因 xn1，故负值不合题意，于是【知识模块】 函数、极限、连续【知识模块】 函数、极限、连续32 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续33 【正确答案】 又 故 【知识模块】 函数、极限、连续
