1、考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列命题中正确的是( )（A）定义在区间(一 l，l)(l0) 内的任何函数都可以表示为偶函数与奇函数之和的形式，且表示法不唯一（B）周期函数一定存在最小正周期（C）开区间内的连续函数一定有界（D）严格单调函数必有反函数2 函数 的有界区间是( )（A）(一 1，0) （B） (0，1) （C） (1，2) （D）(2 ，3)3 设（A）（B） 12a（C）（D）1+2a 二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 设 f(x)= ,x0，判断 f(x)是否单调，
2、是否有界 ?5 设 f(x)在( 一，+)内是连续的偶函数，证明 F(x)=0x(x 一 t)f(t)dt 也是偶函数6 求7 设 a0，x 10，且定义 证明当 n 时，数列x n的极限存在并求此极限值8 设一 1x 10，x n+1=xn2+2xn(n=0，1，2，)证明数列 xn的极限存在，并求此极限值9 设 xn= 又 un=x1+x2+xn，证明当 n 时，数列u n收敛10 设 x10，x n+1=1e-xn，n=1 ，2，(1)证明数列x n收敛，并求其极限；(2)求极限11 设函数 f(x)处处可导，且 0f(x) (k0 为常数)，又设 x0 为任意一点，数列x0满足 xn=
3、f(xn-1)(n=1， 2，)，试证：当 n时，数列x n的极限存在12 求13 求14 求15 求16 (1)证明当 |x|充分小时，不等式 0tan2x 一 x2x4 成立；(2)设17 求下列极限：18 求下列极限：19 求下列极限：20 求21 求22 确定常数 a，b，c 的值，使23 已知极限 试确定常数 n 和 c 的值24 已知25 设 试确定 a，b 的值26 设 f(x)在 0|x| 时有定义，其中 为正常数，且考研数学二（函数、极限、连续）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 定义在区间(
4、一 l，l)(l0) 内的任何函数都可以表示为偶函数与奇函数之和的形式，但表示法是唯一的设有函数 f(x)，x(一 l，l)，令 1(x)=显然 1(x)为偶函数， 2(x)为奇函数， 1(x)+2(x)=f(x) 设 1(x)为偶函数， 2(x)为奇函数，且 f(x)=1(x)+2(x)，因此有f(一 x)=1(一 x)+2(一 x)=1(x)一 2(x)， 从而表示式是唯一的，故(A)不正确狄利克雷函数是周期函数，但不存在最小正周期，故(B) 不正确 ,显然无界，故(C)不正确，综上，应选(D) 【知识模块】 函数、极限、连续2 【正确答案】 A【试题解析】 故 f(x)在(一 1，0)
5、内有界，应选(A) 【知识模块】 函数、极限、连续3 【正确答案】 A【试题解析】 利用等价无穷小量代换，有【知识模块】 函数、极限、连续二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。4 【正确答案】 当 0x1 时，当 1x2 时，令 n，得 f(x)=x当 x2 时，显然，当 x0 时，f(x)单调递增，是无界的【知识模块】 函数、极限、连续5 【正确答案】 由已知条件 f(一 x)=f(x)，F(一 x)=0-x(-x-t)f(t)dt，令 t=一 u，则 F(-x)=0x(一 x+u)d(一 u)d(一 u)=0x(xu)f(u)du=F(x)，故 F(x)=0x(x-t)f(t)
6、dt 也是偶函数【知识模块】 函数、极限、连续6 【正确答案】 数列可以看成特殊的函数，从而有【知识模块】 函数、极限、连续7 【正确答案】 因为正数的算术平均值不小于几何平均值，所以有故x n单调减少，由 xn0(n=1，2，)，根据单调有界准则， 存在【知识模块】 函数、极限、连续8 【正确答案】 因为 x1=x02+2x0=(x0+1)2 一 1，而一 1x 00，从而一1x 10假设一 1x n0，则 xn+1=(xn+1)2 一 1，即一 1x n+10，所以x n有界而 =xn+21，故 xn+1x n，从而x n单调递减，由单调有界准则，x n的极限存在 则 a=a2+2a，解得
7、 a=一 1，a=0(舍去)，即【知识模块】 函数、极限、连续9 【正确答案】 因为 xn0，所以 un=x1+x2+xn 单调增加又因为即数列u n有上界，所以数列u n收敛【知识模块】 函数、极限、连续10 【正确答案】 (1)因为 x10，所以 x2=1 一 0 设 xn0，则 xn+1=10，从而x n有下界 令 f(x)=x 一(1 一 e-x)，则 f(x)=1 一 e-x，当 x0 时，f(x)0，从而 f(x)f(0)=0 ，即 x1 一 e-x，于是 xn1 一 e-xn=xn+1，即x n单调递减 由单调有界准则，x n收敛，设 ，则 a=1 一 e-a，得 a=0(2)【
8、知识模块】 函数、极限、连续11 【正确答案】 先证x n单调 由 xn+1 一 xn=f(xn)-f(xn-1)=(xn 一 xn-1)f(n)，其中 n在 xn 与 xn-1 之间又由已知条件，f(x) 处处可导，且 0f(x) 于是知 f(n)0，从而(x n+1 一 xn)与(x n 一 xn-1)同号，故x n单调故由单调有界准则知，数列x n的极限存在【知识模块】 函数、极限、连续12 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续13 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续14 【正确答案】 两边令 n，由夹逼准则有【知识模块】 函数、极限、连续15 【正确答案】 【知识模块
9、】 函数、极限、连续16 【正确答案】 (1)因为 所以当|x|充分小时， 即 0tan 2x 一 x2x4(2)由(1)知，当 n 充分大时，故【知识模块】 函数、极限、连续17 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续18 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续19 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续20 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续21 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续22 【正确答案】 若 b0，则 与 c0 相矛盾，故 b=0由洛必达法则知 若 a1，则上式右端趋于 ，矛盾，故 a=1，再由【知识模块】 函数、极限、连续23 【正确答案】 由洛必达法则，得【知识模块】 函数、极限、连续24 【正确答案】 知存在 x0 时的无穷小量 (x)，使得【知识模块】 函数、极限、连续25 【正确答案】 故有 b2=0，即 a=一 2，b=2【知识模块】 函数、极限、连续26 【正确答案】 【知识模块】 函数、极限、连续
