1、考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )（A）当 mn 时，AB0（B）当 mn 时，AB0（C）当 nm 时，AB0（D）当 nm 时，AB02 A 足 mn 矩阵， B 都凡m 矩阵AB 可逆，则（A）r(A)m，r(B) m（B） r(A) m，r(B) n（C） r(A) n，r(B) m（D）r(A)n，r(B)n3 n 阶矩阵 A 的秩为 n1，则 a( )（A）1（B） 1(1n)（C） 1（D）1(n 1) 4 AB0，A，B 是两个非零矩阵
2、，则（A）A 的列向量组线性相关B 的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关5 设 1， 2， ， s，都是 n 维向量，A 是 mn 矩阵，下列选项中正确的是( )（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关6 1， 2，
3、 3， 线性无关，而 1， 2， 3， 线性相关，则（A） 1， 2， 3，c 线性相关（B） 1， 2， 3，c 线性无关（C） 1， 2， 3，c 线性相关（D） 1， 2， 3，c 线性无关7 设 1， 2， 3 线性无关，则( )线性无关（A） 1 2， 2 3， 3 1（B） 1 2， 2 3， 12 2 3（C） 12 2，2 23 3， 33 1（D） 1 2 3，2 13 222 3，3 15 25 3二、填空题8 与 1(1 ， 1，0，2) T， 2(2，3，1，1) T， 3(0，0，1，2) T 都正交的单位向量是_9 设 1， 2， 3， 4 都是 n 维向量判断下列
4、命题是否成立 如果 1， 2， 3线性无关， 4 不能用 1， 2， 3 线性表示，则 1， 2， 3， 4 线性无关 如果1， 2 线性无关， 3， 4 都不能用 1， 2 线性表示，则 1， 2， 3， 4 线性无关 如果存在 n 阶矩阵 A，使得 A1，A 2，A 3，A 4 线性无关，则 1， 2， 3， 4线性无关 如果 1A 1， 2A 2， 3A 3， 4A 4，其中 A 可逆，1， 2， 3， 4 线性无关，则 1， 2， 3， 4 线性无关 其中成立的为_10 已知 r(1， 2， s)r( 1， 2， s，)k，r( 1， 2， s，)k1，求 r(1， 2， s，) _1
5、1 设 1， 2， 3， 4， 5，它们的下列部分组中，是最大无关组的有_? (1)1， 2， 3 (2) 1， 2， 4 (3) 1， 2， 5 (4) 1， 3， 412 已知 1， 2， 3 线性无关 1t 2， 22t 3， 34t 1 线性相关则实数 t 等于_13 设 A 为 3 阶正交矩阵，它的第一行第一列位置的元素是 1，又设 (1，0，0)T，则方程组 AX 的解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 A 是 n 阶矩阵，k 为正整数， 是齐次方程组 AkX0 的一个解，但是 Ak-10证明 ，A ，A k-1 线性无关15 设 1， 2， ， s 线
6、性无关， i i i+1，i 1，s1， s s 1 判断1， 2， s。线性相关还是线性无关 ?16 设 1， 2， 3， 4 线性无关，12 1 3 4， 22 1 2 3， 3 2 4， 4 3 4， 5 2 3 (1)求r(1， 2， 3， 4， 5)； (2)求 1， 2， 3， 4， 5 的一个最大无关组17 设 1， 2， 3 都是 n 维非零向量，证明： 1， 2， 3 线性无关 对任何数s，t， 1s 3， 2t 3 都线性无关18 设 1， 2， ， s， 都是 n 维向量，证明： r( 1， 2， S，)19 设 A 是 mn 矩阵证明：r(A)1 存在 m 维和 n 维
7、非零列向量 和 ，使得A T20 设 1， 2， s 和 1， 2， t 都是 n 维向量组，证明r(1， 2， s， 1， 2， t)r(1， 2， s)r( 1， 2， t) 设 A和 B 是两个行数相同的矩阵，r(A B)r(A) r(B) 设 A 和 B 是两个列数相同的矩阵，( )表示 A 在上， B 在下构造的矩阵 证明 r(*)r(A)r(B)21 证明 r(A B)r(A)r(B)22 设 A 是 n 阶矩阵，证明 r(A*)23 设 1， 2， ， r 和 1， 2， s 是两个线性无关的 n 维向量证明：向量组1， 2， r； 1， 2， s线性相关 存在非零向量 r，它既
8、可用， ， ， r 线性表示，又可用 1， 2， s 线性表示24 设 A( 1， 2， n)是实矩阵，证明 ATA 是对角矩阵 1， 2， n 两两正交25 设 1， 2， ， s 是一组两两正交的非零向量，证明它们线性无关26 设 1， 2， ， s 和 1， 2， t 是两个线性无关的 n 维实向量组，并且每个i 和 j 都正交，证明 1， 2， s， 1， 2， t 线性无关27 设 A 是 n 阶非零实矩阵(n2)，并且 ATA *，证明 A 是正交矩阵考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答
9、案】 B【知识模块】 向量组的线性关系与秩2 【正确答案】 A【试题解析】 AB 是 m 阶矩阵，AB 可逆，则 mr(AB)r(A)m，得 r(A)m同理得 r(B)m【知识模块】 向量组的线性关系与秩3 【正确答案】 B【试题解析】 用初等变换化 A 为阶梯形矩阵来求秩(这里第一步变换是把第 2n 列都加到第 1 列上；第二步变换是把第 2n 行都减去第 1 行)如果 1(n1)a0 并且 1a0，则 r(A)n如果 1a0，则 r(A)1当 1(n1)a0 时 r(A)n 1，即 a1(1n) 【知识模块】 向量组的线性关系与秩4 【正确答案】 A【试题解析】 用秩矩阵的行(列)向量组线
10、性相关，即其的秩小于行(列)数设 A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，则由 AB0 得到 r(A)r(B)n由于 A，B都不是零矩阵，r(A)0， r(B)0于是 r(A)n ，r(B) n n 是 A 的列数，B 的行数，因此 A 的列向量组线性相关B 的行向量组线性相关【知识模块】 向量组的线性关系与秩5 【正确答案】 A【知识模块】 向量组的线性关系与秩6 【正确答案】 D【试题解析】 由于 1， 2， 3， 线性无关， 1， 2， 3 是线性无关的于是根据定理， 1， 2， 3，c ( 或 c)线性相关与否取决于 c(或 c)可否用1， 2， 3 线性表示 条件说明 不能由 1，
11、2， 3 线性表示，而 可用1， 2， 3 线性表示 c 可否用 1， 2， 3 线性表示取决于 c，当 c0 时c 可用 1， 2， 3 线性表示；c0 时 c 不可用 1， 2， 3 线性表示C不确定，选项 A，B 都不能选 而 c 总是不可用 1， 2， 3 线性表示的，因此选项 C 不对，选项 D 对【知识模块】 向量组的线性关系与秩7 【正确答案】 C【知识模块】 向量组的线性关系与秩二、填空题8 【正确答案】 (1，1，2，1) T【试题解析】 设 ( 1， 2， 3， 4)T 与 1， 2， 3 均正交，则Ti0(i 1， 2，3)，即 求出基础解系：(1， 1，2，1) T，单
12、位化得 (1，1，2，1) T 为所求【知识模块】 向量组的线性关系与秩9 【正确答案】 ， ， 【试题解析】 直接从定理得到 明显不对，例如 3 不能用 1， 2 线性表示，而 3 4 时， 3， 4 都不能用 1， 2 线性表示但是 1， 2， 3， 4 线性相关 容易用秩说明：A 1，A 2，A 3，A 4 的秩即矩阵(A 1，A 2，A 3，A 4)的秩，而(A1，A 2，A 3，A 4)A( 1， 2， 3， 4)，由矩阵秩的性质， r(A1，A 2， A3，A 4)r(1， 2， 3， 4)A 1，A 2，A 3，A 4 无关，秩为4，于是 1， 2， 3， 4 的秩也一定为 4，
13、线性无关 也可从秩看出：A 可逆时，r(1， 2， 3， 4)r(A 1，A 2，A 3，A 4)4【知识模块】 向量组的线性关系与秩10 【正确答案】 k1【知识模块】 向量组的线性关系与秩11 【正确答案】 (2)和(4)是【知识模块】 向量组的线性关系与秩12 【正确答案】 t12【试题解析】 记矩阵 A( 1t 2， 22t 3， 34t 1)用矩阵分解，有 A( 1， 2， 3) 记 C 由于 1， 2， 3 线性无关，(1， 2， 3)是列满秩的，于是根据矩阵秩的性质， r(1t 2， 22t 3， 34t 1)rr(a)r(C) 于是 1t 2， 22t 3， 34t 1线性相关
14、 (C)3 C0 求出C18t 3，于是得8t3 1，t 12【知识模块】 向量组的线性关系与秩13 【正确答案】 (1，0，0) T【试题解析】 设 A( 1， 2， 3)A 为正交矩阵，列向量是单位向量于是 是(1，0， 0)T则 1A(1，0，0) T， 解为(1，0，0) T，【知识模块】 向量组的线性关系与秩三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 设 c1c 2Ac KAk-10，要推出每个 ci0 先用 Ak-1 乘上式两边，注意到当 mk 时，A m0(因为 AkX0)，得到 c1Ak-10又因为 Ak-10，所以 c10上式变为 c2Ac kAk-
15、1 0再用 Ak-2 乘乘之，可得到c20如此进行下去，可证明每个 ci0【知识模块】 向量组的线性关系与秩15 【正确答案】 1， 2， ， 4 对 1， 2， s 的表示矩阵为C1(1) s+1 于是当 s 为偶数时，C 0，r(C)s，从而 r(1， 2， s)s ， 1， 2， s 线性相关 当 s为奇数时，C2，r(C)s，从而 r(1， 2， ， s)s ， 1， 2， s 线性无关【知识模块】 向量组的线性关系与秩16 【正确答案】 (1) 1， 2， 3， 4， 5 对 1， 2， 3， 4 的表示矩阵为 C 用初等行变换化阶梯形矩阵：则 r(1， 2， 3， 4， 5)r(C
16、)r(C)3 (2)记 C 的列向量组为 1， 2， 3， 4， 5则由(1)的计算结果知1， 2， 3 是线性无关的又 ( 1， 2， 4)( 1， 2， 3， 4)(1， 2， 4) 得到r(1， 2， 4)r( 1， 2， 4)3， 1， 2， 4 线性无关，是 1， 2， 3， 4， 5 的一个最大无关组【知识模块】 向量组的线性关系与秩17 【正确答案】 1s 3， 2t 3， 1， 2， 3 的表示矩阵为 C 显然对任何数 s，t ，C 的秩都是 2，于是 1s 3， 2t 3 的秩为 2，线性无关 在st 0 时，得 1， 2 线性无关，只要再证明 3 不可用 1， 2 线性表示
17、如果 3可以用 1， 2 线性表示，设 3c 11c 22， 则因为 3不是零向量，c 1，c 2 不能全为 0不妨设 c10，则有 c 1(1 3)c 220， 于是 1 3， 2 线性相关，即当 s ，t0 时 1s 3， 2t 3 相关，与条件矛盾【知识模块】 向量组的线性关系与秩18 【正确答案】 设() 是 1， 2， s 的一个最大无关组，则它也是1， 2， s， 中的一个无关组 问题是：()增添 后是否相关 若 可用1， 2， s 表示，则 可用()表示(因为 1， 2， s，和()等价!)，于是()增添 后相关，从而()也是 1， 2， s， 的最大无关组，r(1， 2， s，
18、)r( 1， 2， s) 若 不可用 1， 2， s 表示，则 不可用( )表示， ()增添 后无关，从而() 不是 1， 2， s， 的最大无关组，此时( )， 是 1， 2， ， s， 的最大无关组，r( 1， 2， s，)r( 1， 2， s)1【知识模块】 向量组的线性关系与秩19 【正确答案】 “ ”记 A 的列向量组为 1， 2， n，则因为 r(A)1，所以r(1， 2， n)1于是 A 一定有非零列向量，记 为一个非零列向量，则每个 i 都是 的倍数设 ib i，i1，2，n记 B(b 1，b 2，b n)T，则0，并且 A( 1， 2， n)(b 1，b 2，b n) T “
19、 ”设 A T，则r(A)r()1由于 ， 都不是零向量，可设 的第 i 个分量 i0， 的第 j 个分量 bi0则 A 的(i，j)位元素为 aibi0，因此 A0，从而 r(A)0得 r(A)1【知识模块】 向量组的线性关系与秩20 【正确答案】 这是 3 个互相等价的命题：是 的向量形式；是的转置形式因此对其中之一的证明就完成了这 3 个命题的证明 证明取1， 2， s， 1， 2， t的一个最大无关组 () ，记() t 是( )中属于1， 2， s 中的那些向量所构成的部分组，() 2 是()中其余向量所构成的部分组于是() 1 和() 2 分别是属于 1， 2， s 和 1， 2，
20、 t 的无关部分组，因此它们包含向量个数分别不超过 r(1， 2， ， s)和 r(1， 2， t)从而 r( 1， 2， s， 1， 2， t)()中向量个数 () 1 中向量个数() 2中向量个数 r( 1， 2， ， s)r( 1， 2， t)【知识模块】 向量组的线性关系与秩21 【正确答案】 r(A B)r(AB B)对矩阵(ABB)进行初等列变换：左边 AB 各列都减去右边 B 的对应列，化为(AB)于是r(AB)r(ABB)r(A B)r(A)r(B)【知识模块】 向量组的线性关系与秩22 【正确答案】 当 r(A) n 时，A 可逆，从而 A*也可逆，秩为 n 当 r(A)n1
21、时，它的每个余子式 Mij(是 n1 阶子式)都为 0，从而代数余子式 Aij 也都为 0于是 A*0，r(A *)0 当 r(A)n1 时，A0，所以 AA*0于是 r(A)r(A *)n由于 r(A)n1，得到 r(A*)1 又由 r(A)n1 知道 A 有 n1 阶非0 子式，从而存在代数余子式 Ahk 不为 0，于是 A*0，r(A *)0于是 r(A*)1【知识模块】 向量组的线性关系与秩23 【正确答案】 “ ”因为 1， 2， r； 1， 2， s线性相关，所以存在c1，c 2，c r，c r+1，c r+s 不全为 0，使得 c11c 22c rrc r+11c r+22c r
22、+ss0 记c 11c 22c rr(c r+11c r+22c r+ss)， 则 0(否则由1， 2， r，和 1， 2， s 都线性无关，推出c1，c 2，c r，c r+1，c r+s 全为 0)，并且它既可用 1， 2， r 表示，又可用 1， 2， s 表示 “ ”设 0，它既可用 1， r 表示，又可用1， s 表示 记 c 11c 22c rst 11t 22t ss，则c1，c 2，c r 和 t1，t 2，t s 都不全为 0，而 c11c 22c rst 11t 22t ss0 根据定义，1， 2， r； 1， 2， s线性相关【知识模块】 向量组的线性关系与秩24 【正确
23、答案】 A TA 的(i，j)位元素为( ij)于是 ATA 是对角矩阵 当 ij 时，ATA 的(i ，j) 位元素为 0 当 ij 时， 1， j 正交 1， 2， n 两两正交【知识模块】 向量组的线性关系与秩25 【正确答案】 以 ， 为列向量组构造矩阵 A( 1， 2， s)，则ATA 是对角矩阵，并且对角线上的元素依次为 12， 22， s2，它们都不为0于是 r( 1， 2， s)r(A)r(A TA)s， 从而 1， 2， s 线性无关【知识模块】 向量组的线性关系与秩26 【正确答案】 设 c11c 22c ssk 11k 22k tt0， 记c 11c 22c ss(k 11k 22k tt)，则( ，)(c 11c 22c ss，k 11k 22k tt)0 即 0，于是c1，c 2，c s，k 1，k 2，k t 全都为 0【知识模块】 向量组的线性关系与秩27 【正确答案】 AA TAA *AE，因此只用证明A1，就可由定义得出A 是正交矩阵 由于 A0，有非零元素，设 aij0则 AAT 的(i ，i)位元素Aa i12a i22a ij2a in20，从而 AAT0 对等式 AATAE ，两边取行列式，得A 2A n，即A n-21又由A0，得出A1【知识模块】 向量组的线性关系与秩
