1、考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 mn 矩阵，r(A)mn，则下列命题中不正确的是（A）A 经初等行变换必可化为(E m，0)（B） bRm，方程组 Ab 必有无穷多解（C）如 m 阶矩阵 B 满足 BA0，则 B0（D）行列式A TA0 2 1， 2， ， r，线性无关 ( )（A）存在全为零的实数 k1，k 2，k r，使得 k11k 21k rr0（B）存在不全为零的实数 k1，k 2，k r，使得 k11k 21k rr0（C）每个 i 都不能用其他向量线性表示（D）有线性无关的部分
2、组3 设 A 是 45 矩阵， 1， 2， 3， 4， 5 是 A 的列向量组，r( 1， 2， 3， 4， 5)3，则( ) 正确（A）A 的任何 3 个行向量都线性无关（B） 1， 2， 3， 4， 5 的一个含有 3 个向量的部分组()如果与1， 2， 3， 4， 5 等价，则一定是 1， 2， 3， 4， 5 的最大无关组（C） A 的 3 阶子式都不为 0（D） 1， 2， 3， 4， 5 的线性相关的部分组含有向量个数一定大于 34 设 1， 2， ， s 是 n 维向量组，r( 1， 2， s)r，则( )不正确（A）如果 rn，则任何 n 维向量都可用 1， 2， s 线性表示
3、（B）如果任何 n 维向量都可用 1， 2， s 线性表示，则 rn（C）如果 rs，则任何 n 维向量都可用 1， 2， ， s 唯一线性表示（D）如果 rn，则存在 n 维向量不能用 1， 2， s 线性表示5 n 维向量组() 1， 2， ， r 可以用 n 维向量组() 1， 2， s，线性表示（A）如果() 线性无关，则 rs（B）如果 ()线性相关，则 rs（C）如果 ()线性无关，则 rs（D）如果() 线性相关，则 rs6 设 1， 2， ， m 和 1， 2， m 都是 n 维向量组，k 1，k 2，k m 和P1，P 2，p m 都是不全为 0 的数组，使得(k 1p 1)
4、1(k 2p 2)2(k mp m)m(k 1p 1)1(k 2p 2)2(k mp m)m0，则 ( )成立（A） 1， 2， m 和 1， 2， m 都线性相关（B） 1， 2， m 和 1， 2， m 都线性无关（C） 1 1， 2 2， m m， 1 1， 2 2， m m 线性无关（D） 1 1， 2 2， m m， 1 1， 2 2， m m 线性相关7 已知 n 维向量组 1， 2， s 线性无关，则 n 维向量组 1， 2， s 也线性无关的充分必要条件为（A） 1， 2， s 可用 1， 2， s 线性表示（B） 1， 2， s 可用 1， 2， s 线性表示（C） 1， 2
5、， s 与 1， 2， s 等价（D）矩阵( 1， 2， s)和( 1， 2， s)等价二、填空题8 已知 1(1，2，3，4) T， 2(2，0，1，1) T， 3(6，0，0，5) T，则向量组的秩 r(1， 2， 3)_，极大线性无关组是_9 向量组 1(1 ，1，3 ，0) T， 2(2，1，a ，1) T， 3(1，1，5，2) T 的秩为 2，则 a _。10 已知 r(1， 2， s)r( 1， 2， s，)r，r( 1， 2， s，)1，则 r(1， 2， s，) _11 设 4 阶矩阵 A 的秩为 2，则 r(A*)_12 已知 且 AXA*B ，秩 r(X)2，则a_13
6、已知 A B 是 3 阶俳 0 矩阵，且 BAT0，a _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 已知 求 r(ABA) 15 3 阶矩阵 已知 r(AB)小于 r(A)和 r(B)，求 a，b 和 r(AB)16 设 ， 都是 3 维列向量，A T T证明 (1)r(A)2 (2)如果 ， 线性相关，则 r(A)217 设 1(1 ， 0，2，3) T， 2(1，1，3，5) T， 3 (1，1，a 2，1)T， 4(1，2，4，a8) T，(1，1，b3，5) T 问：(1)a，b 为什么数时， 不能用 1， 2， 3， 4 表示 ? (2)a，b 为什么数时， 可用 1，
7、 2， 3， 4 表示，并且表示方式唯一?18 设 1(1 ， 2，3) T， 2(3，0，1) T， 3(9，6，7) T， 1(0，1，1)T， 2(a，2 ，1) T， 3(6，1，0) T已知 r(1， 2， 3)r( 1， 2， 3)，并且 可用 1， 2， 3 线性表示，求 a，b19 给定向量组(1) 1(1，0，2) T， 2(1 ，1，3) T， 3(1，1，2) T 和()1(1 ，2，a3) T， 2 (2，1，ab) T， 3(2 ，1，a4) T当口为何值时()和()等价?a 为何值时()和()不等价?20 求常数 a，使得向量组 1(1 ，1，a) T， 2(1，a
8、，1) T， 3(a ，1，1) T 可由向量组 1(1 ，1，a) T， 2 (2，a，4) T， 3( 2，a，a) T 线性表示，但是1， 2， 3 不可用 1， 2， 3 线性表示21 已知 可用 1， 2， s 线性表示，但不可用 1， 2， s-1 线性表示证明： (1) s 不可用 1， 2， s-1 线性表示； (2) s 可用 1， 2， s-1， 线性表示22 已知(2 ，1，1，1) T，(2，1，a，a) T，(3，2，1，a) T，(4，3，2，1) T 线性相关，并且 a1，求 a23 设 1(1 ， 1，1，3) T， 2(1，3，5，1) T， 3(3，2，1，
9、P2)T， 4(2，6，10，p) TP 为什么数时， 1， 2， 3， 4 线性相关?此时求r(1， 2， 3， 4)和写出一个最大无关组24 已知 1， 2 都是 3 阶矩阵 A 的特征向量特征值分别为1 和 1，又 3 维向量3 满足 A3 2 3证明 1， 2， 3 线性无关25 设 n 维向量组 1， 2， s 线性相关，并且 10，证明存在 1ks，使得 k可用 1， k-1 线性表示26 设 A 为 n 阶矩阵， 00，满足 A00，向量组 1， 2 满足A1 0，A 22 0证明 1， 2， 3 线性无关27 设 A 为 n 阶矩阵， 1 为 AX0 的一个非零解，向量组 2，
10、 2， s 满足 Ai-1i 1(i2，3，s)证明 1， 2， s 线性无关考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【知识模块】 向量组的线性关系与秩2 【正确答案】 C【知识模块】 向量组的线性关系与秩3 【正确答案】 B【试题解析】 r( 1， 2， 3， 4， 5)3，说明 1， 2， 3， 4， 5 的一个部分组如果包含向量超过 3 个就一定相关，但是相关不一定包含向量超过 3 个D 项不对 r( 1， 2， 3， 4， 5)3，则 A 的行向量组的秩也是 3，因此存在 3 个行向量线
11、性无关，但是不是任何 3 个行向量都线性无关排除 A A 的秩也是 3，因此有 3 阶非零子式，但是并非每个 3 阶子式都不为 0，C 项也不对 下面说明 B对( )与 1， 2， 3， 4， 5 等价，则() 的秩r( 1， 2， 3， 4， 5)3()中向量的个数，于是() 线性无关，由定义() 是最大无关组【知识模块】 向量组的线性关系与秩4 【正确答案】 C【试题解析】 利用“用秩判断线性表示”的有关性质 当 rn 时，任何 n 维向量添加进 1， 2， s 时，秩不可能增大，从而 A 正确 如果 B 项的条件成立，则任何 n 维向量组 1， 2， t 都可用 1， 2， s 线性表示
12、，从而r(1， 2， ， t)r(1， 2， s)如果取 1， 2， n 是一个 n 阶可逆矩阵的列向量组，则得 n r( 1， 2， n)r(1， 2， s)n， 从而r(1， 2， s)n ，B 项正确 D 项是 B 项的逆否命题，也正确 由排除法，得选项 C 不正确 r s 只能说明 1， 2， s 线性无关，如果 rn，则用 B 项的逆否命题知道存在 n 维向量不可用 1， 2， s 线性表示，因此 C 不正确【知识模块】 向量组的线性关系与秩5 【正确答案】 A【知识模块】 向量组的线性关系与秩6 【正确答案】 D【试题解析】 先排除选项 A 和选项 B 如果取 1， 2， m 都是
13、零向量，1， 2， m 线性无关，此时只要 kiP i，i1，2，m，则条件也满足，排除了选项 A 和选项 B 现在要看1 1， 2 2， m m， 1 1， 2 2， m m 线性相关还是线性无关 等式(k 1p 1)1(k 2P 2)2(k mp m)m(k 1P 1)1(k 2P 2)2 (k mP m)m0，可改写为 k 1(1 1)k 2(2 2)k m(m m)p 1(1 1)P 2(2 2)P m(m m)0， 由 k1，k 2，k m 和p1，p 2，P m 都不全为 0，得到1 1， 2 2， m m， 1 1， 2 2， m m 线性相关【知识模块】 向量组的线性关系与秩7
14、 【正确答案】 D【试题解析】 从条件选项 A 可推出 1， 2， s 的秩不小于 1， 2， s 的秩 s， 1， 2， s 线性无关即选项 A 是充分条件，但它不是必要条件 条件选项 C 也是充分条件，不是必要条件 条件选项 B 既非充分的，又非必要的 两个矩阵等价就是它们类型相同，并且秩相等现在( 1， 2， s)和(1， 2， s)都是 ns 矩阵，( 1， 2， s)的秩为 s，于是 1， 2， s线性无关(即矩阵( 1， 2， s)的秩也为 s) (1， 2， s)和(1， 2， s)等价【知识模块】 向量组的线性关系与秩二、填空题8 【正确答案】 ； 1， 2， 3 本身【试题解
15、析】 用初等行变换化简矩阵( 1， 2， 3)： ( 1， 2， 3)故秩 r(1， 2， 3)3， 1， 2， 3 线性无关，极大线性无关组就是 1， 2， 3 本身【知识模块】 向量组的线性关系与秩9 【正确答案】 2【试题解析】 r( 1， 2， 3)2，计算秩得 a2【知识模块】 向量组的线性关系与秩10 【正确答案】 r1【试题解析】 r( 1， 2， ， s)r( 1， 2， s，) ：r 表明 可由1， 2， s 线性表出， 于是 r(1， 2， s， ，) r( 1， 2， s，)，r1【知识模块】 向量组的线性关系与秩11 【正确答案】 0【试题解析】 由 r(A*) ，知
16、r(A*)0【知识模块】 向量组的线性关系与秩12 【正确答案】 0【试题解析】 由 A 可逆，知 A*可逆，那么 r(AXA*)r(X) ，从而 r(B)2，B 0于是【知识模块】 向量组的线性关系与秩13 【正确答案】 【知识模块】 向量组的线性关系与秩三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 如果先求出 ABA，再求它的秩，计算量比较大注意到ABAA(BE)，而 BE 是可逆矩阵，则根据矩阵秩的性质 ，r(ABA)r(A)，直接计算 r(A)就简单多了得 r(ABA)r(A)2【知识模块】 向量组的线性关系与秩15 【正确答案】 求出 AB 也从 r(AB)小
17、于r(A)和 r(B)看出 A 和 B 都不可逆，于是 r(AB)r(A)3，得 r(AB)1而 AB 不是零矩阵，得 r(AB)1 再求 a，b因为 r(AB)1，AB 的 3 个行向量两两相关，则第 2 行是第 3 两行的 2 倍，得 解得 a1，b2【知识模块】 向量组的线性关系与秩16 【正确答案】 (1)r(A)r( T)r( T)，而 r(T)r()1，同理 r(T)1 (2)不妨假设 c，则 A Tc(c T)(1c 2)T，于是 r(A)r(T)12【知识模块】 向量组的线性关系与秩17 【正确答案】 利用秩来判断较简单，为此计算出 r(1， 2， 3， 4)和r(1， 2，
18、3， 4，)作比较 构造矩阵( 1， 2， 3， 4) ，并用初等行变换化阶梯形矩阵： ( 1， 2， 3， 4)(1)当 a10，而 b0 时，r( 1， 2， 3， 4)2，而 r(1， 2， 3， 4，) 3，因此 不能用 1， 2， 3， 4 线性表示 (2)当 a10 时(b 任意) ，r( 1， 2， 3， 4)r( 1， 2， 3， 4，)4， 可用 1， 2， 3， 4 表示，并且表示方式唯一 (如果 a10，而 b0，则 r(1， 2， 3， 4)r( 1， 2， 3， 4，) 2，因此 能用 1， 2， 3， 4 线性表示，但是表示方式不唯一)【知识模块】 向量组的线性关系
19、与秩18 【正确答案】 题中有两个未知数，两个条件其中第二个条件只涉及未知数b于是可用它先求出 b，再用另一个条件求出 a 因为 3 可用 1， 2， 3 线性表示，所以 r(1， 2， 3， 3)r( 1， 2， 3) ( 1， 2， 3 3)得 r(1， 2， 3)2，于是 r(1， 2， 3， 3)2，得 b5 由条件 r(1， 2， 3)r( 1， 2， 3)2，则 1， 2， 3 线性相关， 1， 2， 30 1， 2， 315a ， 得 a15【知识模块】 向量组的线性关系与秩19 【正确答案】 思路()和() 等价用秩来刻画，即 r( 1， 2， 3， 1， 2， 3)r( 1，
20、 2， 3)r( 1， 2， 3)当a10 时， r(1， 2， 3)2，而 r(1， 2， 3， 1， 2， 3)3，因此()与()不等价 当 a 10 时，r( 1， 2， 3， 1， 2， 3)r( 1， 2， 3)3 再来计算r(1， 2， 3)则r(1， 2， 3)3(与 a 无关) 于是 a10 时()与()等价【知识模块】 向量组的线性关系与秩20 【正确答案】 当 a1 和2 时，r( 1， 2， 3)r( 1， 2， 3， 1， 2， 3)3，不符合要求 当a2 时，r( 1， 2， 3)2，r( 1， 2， 3)2，不符合要求 当 a1 时，r(1， 2， 3)1，r( 1
21、， 2， 3)3，必有 r(1， 2， 3， 1， 2， 3)3，符合要求，得 a1【知识模块】 向量组的线性关系与秩21 【正确答案】 由于 可用 1， 2， s 线性表示，可设有表示式 k 11k 22k mm， () (1) 用反证法 如果 s 可用 1， 2， s-1 线性表示；设 st 11t 22t m-1m-1，代入()式得 用 1， 2， s-1 线性表示式： (k 1t 1)1(k 2 t2)2(k m-1t m-1)m-1，与条件矛盾 (2)( )中的km0(否则 可用 1， 2， ， s-1 线性表示)于是有 s【知识模块】 向量组的线性关系与秩22 【正确答案】 因为这
22、 4 个向量线性相关，所以以它们为列向量的 4 阶行列式为0求出此行列式的值： (a1)(2a1) 得 a12【知识模块】 向量组的线性关系与秩23 【正确答案】 计算 r(1， 2， 3， 4) (1， 2， 3， 4)则当 p2 时，r(1， 2， 3， 4)3， 1， 2， 3， 4 线性相关， 1， 2， 3 是一个最大无关组 当 p2 时，r( 1， 2， 3， 4)4， 1， 2， 3， 4 线性无关【知识模块】 向量组的线性关系与秩24 【正确答案】 根据特征向量的性质， 1， 2 都是 A 的特征向量，特征值不相等，于是它们是线性无关的 用反证法如果 3 可用 1， 2 表示，
23、设3 c11c 22，用 A 左乘等式两边之，得 2 3c 11c 22， 减去原式得 22c 11， 与 1， 2 线性无关矛盾，说明 3 不可用 1， 2 线性表示【知识模块】 向量组的线性关系与秩25 【正确答案】 因为 1， 2， s 线性相关，所以存在不全为 0 的数c1，c 2，c s，便得 c 11c 22c ss0 设 ck 是 c1，c 2，c s 中最后一个不为 0 的数，即 ck0，但 ik 时，c i0则 k1(否则 10，与条件矛盾)，并且有 c11c 22c kk 0则于 k【知识模块】 向量组的线性关系与秩26 【正确答案】 即要说明当 c1，c 2，c 3 满足 c10c 21c 320 时它们一定都是0 记此式为(1)式，用 A 乘之，得 c 20c 3A20 (2) 再用 A 乘(2)得 c300由00，得 c3 0代入(2) 得 c20再代入(1)得 c1 0【知识模块】 向量组的线性关系与秩27 【正确答案】 设 c11c 22c ss0(1)，要推出系数 ci 都为 0 条件说明AiiA 10(i1，2，3，s) 用 As-1 乘(1)的两边，得 cs10，则 cs0 再用 As-2 乘(1)的两边，得 cs-110，则 cs-10这样可逐个得到每个系数都为 0【知识模块】 向量组的线性关系与秩
