1、考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知 n 维向量组 1， 2， s 线性无关，则 n 维向量组 1， 2， s 也线性无关的充分必要条件为（A） 1， 2， s 可用 1， 2， s 线性表示（B） 1， 2， s 可用 1， 2， s 线性表示（C） 1， 2， s 与 1， 2， s 等价（D）矩阵( 1， 2， s)和( 1， 2， s)等价2 n 阶矩阵 A= 的秩为 n1，则 a=( )（A）1（B） 1(1n)（C） 1（D）1(n 1) 3 设 1， 2， ， s 都是 n 维向量，A
2、是 mn 矩阵，下列选项中正确的是( )（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关4 向量组 1， 2， s 线性无关的充分必要条件是（A） 1， 2， s 均不是零向量（B） 1， 2， s 中任意两个向量的分量不成比例（C） 1， 2， s， s+1 线性无关（D） 1， 2， s 中任一个向量均不能由其余 s1 个向量线性表出5 设向量组： 1，
3、 2， r 可由向量组： 1， 2， s 线性表示，则（A）当 rs 时，向量组()必线性相关（B）当 rs 时，向量组()必线性相关（C）当 rs 时，向量组()必线性相关（D）当 rs 时，向量组()必线性相关6 设 A 是 mn 矩阵，r(A)=mn，则下列命题中不正确的是（A）A 经初等行变换必可化为(E m，0)（B） bRm，方程组 Ax=b 必有无穷多解（C）如 m 阶矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0（D）行列式A TA=0二、填空题7 设 1， 2， 3， 4 都是 n 维向量判断下列命题是否成立 如果 1， 2， 3线性无关， 4 不能用 1， 2， 3 线性表示，则 1
4、， 2， 3， 4 线性无关 如果1， 2 线性无关， 3， 4 都不能用 1， 2 线性表示，则 1， 2， 3， 4 线性无关 如果存在 n 阶矩阵 A，使得 A1，A 2，A 3，A 4 线性无关，则 1， 2， 3， 4线性无关 如果 1=A1， 2=A2， 3=A3， 4=A4，其中 A 可逆，1， 2， 3， 4 线性无关，则 1， 2， 3， 4 线性无关 其中成立的为_8 已知 1， 2， 3 线性无关， 1+2，a 2 3， 1 2+3 线性相关，则a=_9 向量组 1=(1，1，3，0) T， 2=(2，1，a，1) T， 3=(1，1，5，2) T 的秩为2，则 a=_1
5、0 已知 且 AXA*=B，秩 r(X)=2，则a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 1， 2， ， s 是一个 n 维向量组， 和 也都是 n 维向量判断下列命题的正确性 如果 ， 都可用 1， 2， s 线性表示，则 + 也可用1， 2， s 线性表示 如果 ， 都不可用 1， 2， s 线性表示，则+ 也不可用 1， 2， s 线性表示 如果 可用 1， 2， s 线性表示，而 不可用 1， 2， s 线性表示，则 + 可用 1， 2， s 线性表示 如果 可用 1， 2， s 线性表示，而 不可用 1， 2， s 线性表示，则+ 不可用 1， 2， s 线性
6、表示12 设 1=(2， 1，2，3) T， 2=(1，1，5，3) T， 3=(0，1，4，3)T， 4=(1，0，2，1) T， 5=(1，2，9，8) T求 r(1， 2， 3， 4， 5)，找出一个最大无关组13 设 1=(1， 1，2，4) ， 2=(0，3，1，2) ， 3=(3，0，7，14)，4=(1， 2， 2，0) ， 5=(2，1，5，10) 求 r(1， 2， 3， 4， 5) 求一个最大线性无关组，并且把其余向量用它线性表示14 3 阶矩阵 ，已知 r(AB)小于 r(A)和 r(B)，求a，b 和 r(AB)15 给定向量组() 1=(1，0，2) T， 2=(1，
7、1，3) T， 3=(1，1，a+2) T 和()1=(1，2，a+3) T， 2=(2，1，a+6) T， 3=(2，1，a+4) T当 a 为何值时( )和()等价?a 为何值时() 和()不等价?16 已知(2 ，1，1，1) T，(2，1，a，a) T，(3，2，1，a) T，(4，3，2，1) T 线性相关，并且 a1，求 a17 设 n 维向量组 1， 2， s 线性相关，并且 10，证明存在 1ks，使得 k可用 1， k1 线性表示18 设 A 是 n 阶矩阵，k 为正整数， 是齐次方程组 AkX=0 的一个解，但是Ak1 0证明 ，A， ，A k1 线性无关19 设 1， 2
8、， ， s 线性无关， i=i+i+1，i=1 ，s 1， s=s+1判断1， 2， s 线性相关还是线性无关 ?20 设 1， 2， ， s， 都是 n 维向量，证明：21 证明 r(A+B)r(A)+r(B)22 设 1， 2， ， r 和 1， 2， s 是两个线性无关的 n 维向量证明：向量组1， 2， r； 1， 2， s线性相关存在非零向量 r，它既可用1， 2， r 线性表示，又可用 1， 2， s 线性表示23 设 1， 2， ， s 是一组两两正交的非零向量，证明它们线性无关24 设 A 为 n 阶正交矩阵， 和 都是 n 维实向量，证明：(1)内积(，)=(A，A)(2)长
9、度A=25 已知 1=(1，1，0，2) T， 2=(1，1，2，4) T， 3=(2，3，a，7)T， 4=(1，5，3，a+6) T，=(1，0，2，b) T，问 a，b 取何值时，() 不能由1， 2， 3， 4 线性表示?() 能用 1， 2， 3， 4 线性表出，且表示法唯一；() 能用 1， 2， 3， 4 线性表出，且表示法不唯一，并写出此时表达式26 设 A 是 n 阶非零实矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，如果AT=A*，证明任一 n 维列向量均可由矩阵 A 的列向量线性表出27 设 A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，C 是 ms 矩阵，满足
10、AB=C，如果秩 r(A)=n，证明秩 r(B)=r(C)考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 从条件 A 可推出 1， 2， s 的秩不小于 1， 2， s 的秩s， 1， 2， ， s 线性无关即 A 是充分条件，但它不是必要条件 条件 C 也是充分条件，不是必要条件 条件 B 既非充分的，又非必要的 两个矩阵等价就是它们类型相同，并且秩相等现在( 1， 2， s)和( 1， 2， s)都是 ns 矩阵，( 1， 2， s)的秩为 s，于是 1， 2， s 线性无关(即矩阵(
11、1， 2， s)的秩也为 s)(1， 2， s)和( 1， 2， s)等价【知识模块】 向量组的线性关系与秩2 【正确答案】 B【试题解析】 用初等变换化 A 为阶梯形矩阵来求秩(这里第一步变换是把第 2n 列都加到第 1 列上；第二步变换是把第 2n 行都减去第 1行)如果 1+(n1)a0 并且 1a0，则 r(A)=n如果 1a=0，则 r(A)=1当1+(n1)a=0 时 r(A)=n1，即 a=1(1n)【知识模块】 向量组的线性关系与秩3 【正确答案】 A【试题解析】 本题考的是线性相关性的判断问题，可以用定义说明 A 的正确性，做法如下： 因为 1， 2， s 线性相关，所以存在
12、不全为 0 的数 c1，c 2，c s使得 c 11+c22+css=0， 用 A 左乘等式两边，得 c 1A1+c1A2+csAs=0， 于是 A1，A 2，A s 线性相关 但是用秩来解此题，则更加简单透彻只要应用两个基本性质，它们是： 1 1， 2， s 线性无关 r(1， 2， s)=s 2r(AB)r(B) 矩阵(A 1，A 2，A s)=A(1， 2， s)，因此 r(A1，A 2， ，A s)r(1， 2， s) 于是，若 1， 2， s 线性相关，有 r(1， 2， ， s)s，从而 r(A1，A 2，A s)s，A 1，A 2，A s 线性相关【知识模块】 向量组的线性关系与
13、秩4 【正确答案】 D【试题解析】 A，B 均是线性无关的必要条件例如， 1=(1，1，1)T， 2=(1，2， 3)T， 3=(2，3，4) T，虽 1， 2， 3 均为非零向量且任两个向量的分量都不成比例，但 1+2 3=0， 1， 2， 3 线性相关 C 是线性无关的充分条件由 1， 2， s， s+1 线性无关= 1， 2， s 线性无关，但由1， 2， s 线性无关 1， 2， s， s+1 线性无关 D 是线性相关的意义故应选 D【知识模块】 向量组的线性关系与秩5 【正确答案】 D【试题解析】 若多数向量可用少数向量线性表出，则多数向量一定线性相关故应选 D【知识模块】 向量组的
14、线性关系与秩6 【正确答案】 A【试题解析】 例如， ，只用初等行变换就不能化为(E 2，0)形式，A 不正确故应选 A因为 A 是 mn 矩阵，m=r(A)r(Ab)m 于是 r(A)=r(Ab)=mnB 正确由 BA=0 知 r(B)+r(A)m，又 r(A)=m，故 r(B)=0，即 B=0C正确A TA 是 n 阶矩阵， r(ATA)r(A)=mn ，故A TA=0 ，即 D 正确【知识模块】 向量组的线性关系与秩二、填空题7 【正确答案】 ， ， 【试题解析】 直接从定理 32 得到 明显不对，例如 3 不能用 1， 2 线性表示，而 3=4 时， 3， 4 都不能用 1， 2 线性
15、表示但是 1， 2， 3， 4 线性相关 容易用秩说明： A1，A 2，A 3，A 4 的秩即矩阵(A 1，A 2，A 3，A 4)的秩，而(A 1，A 2，A 3，A 4)=A(1， 2， 3， 4)，由矩阵秩的性质， r(A1，A 2， A3，A 4)r(1， 2， 3， 4)A 1，A 2，A 3，A 4 无关，秩为4，于是 1， 2， 3， 4 的秩也一定为 4，线性无关 也可从秩看出：A 可逆时，r(1， 2， 3， 4)=r(A1，A 2，A 3，A 4)=4【知识模块】 向量组的线性关系与秩8 【正确答案】 2【试题解析】 记 1=1+2， 2=a2 3， 3=1 2+3，则 1
16、， 2， 3 线性相关=0 a2=0 = a=2【知识模块】 向量组的线性关系与秩9 【正确答案】 2【试题解析】 r( 1， 2， 3)=2，计算秩【知识模块】 向量组的线性关系与秩10 【正确答案】 0【试题解析】 由 A 可逆，知 A*可逆，那么 r(AXA*)=r(X)，从而 r(B)=2，B =0于是【知识模块】 向量组的线性关系与秩三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 正确的是和 ，和都不对 显然 不对，可用一个反例说明 取 不可用 1， 2， s 线性表示， =，则 也不可用1， 2， s 线性表示，但是 +=0，是可用 1， 2， s 线性表示
17、用反证法说明不对 对如果 + 可用 1， 2， s 线性表示，则因为 可用1， 2， s 线性表示，所以 =(+) 也可用 1， 2， s 线性表示，与条件矛盾【知识模块】 向量组的线性关系与秩12 【正确答案】 以 1， 2， 3， 4， 5 为列向量作矩阵 A，用初等行变换把 A 化为阶梯形矩阵： 于是r(1， 2， 3， 4， 5)=3 1， 2， 4 是 1， 2， 3， 4， 5 的一个最大无关组【知识模块】 向量组的线性关系与秩13 【正确答案】 构造矩阵 A=(1T， 2T， 3T， 4T， 5T)，并对它作初等行变换：记 B和 C 分别是中间的阶梯形矩阵和右边的简单阶梯形矩阵B
18、 有 3 个非零行，则r(1， 2， 3， 4， 5)=3 B 的台角在 1，2，4 列，则 1， 2， 4 是1， 2， 3， 4， 5 的一个最大无关组设 C 的列向量组为 1， 2， 3， 4， 5，则1， 2， 3， 4， 5 和 1， 2， 3， 4， 5 有相同线性关系显然3=31+2， 5=21+2，于是 3=31+2， 5=21+2【知识模块】 向量组的线性关系与秩14 【正确答案】 条件 r(AB)小于 r(A)，说明 B 不可逆 (这是用了矩阵秩的性质的逆否命题)类似地 r(AB)小于 r(B)，说明 A 不可逆于是A =B=0 求出A= 4a+8b12，B=a+b3，则
19、a，b 满足 解得a=1，b=2 r(AB) r(A) 3，则 r(AB)1再由 AB 不是零矩阵(如它的(2 ，3)位元素为 4)，得 r(AB)=1(说明 AB 不是零矩阵也可用反证法得到：如果 AB=0，则r(A)+r(B)3，而显然 r(A)=r(B)=2)【知识模块】 向量组的线性关系与秩15 【正确答案】 思路()和() 等价用秩来刻画，即 r(1， 2， 3， 1， 2， 3)=r(1， 2， 3)=r(1， 2， 3)当 a+1=0 时，r(1， 2， 3)=2，而 r(1， 2， 3， 1， 2， 3)=3，因此() 与()不等价当a+10 时，r( 1， 2， 3， 1，
20、2， 3)=r(1， 2， 3)=3再来计算 r(1， 2， 3)则 r(1， 2， 3)=3(与 a 无关)于是 a+10 时( )与()等价【知识模块】 向量组的线性关系与秩16 【正确答案】 因为这 4 个向量线性相关，所以以它们为列向量的 4 阶行列式为0求出此行列式的值： 得 a=12【知识模块】 向量组的线性关系与秩17 【正确答案】 因为 1， 2， s 线性相关，所以存在不全为 0 的数c1，c 2，c s，使得 c11+c22+css=0设 ck 是 c1，c 2，c s 中最后一个不为0 的数，即 ck0，但 ik 时，c i=0则 k1(否则 1=0，与条件矛盾)，并且有
21、c11+c22+ckk=0则于【知识模块】 向量组的线性关系与秩18 【正确答案】 用定义证明 方法一 设 c1+c2A+c kAk1 =0，要推出每个ci=0 先用 Ak1 乘上式两边，注意到当 mk 时，A m=0(因为 AkX=0)，得到c1Ak1 =0又因为 Ak1 0，所以 c1=0上式变为 c2A+c kAk1 =0再用Ak2 乘之，可得到 c2=0如此进行下去，可证明每个 ci=0 方法二 用反证法如果 ， A， ，A k1 线性相关，则存在不全为 0 的 c1，c 2，c k，使得c1+c2A+c kAk1 =0，设其中第一个不为 0 的系数是 ci，则ciAi1 +c kAk
22、1 =0，用 Aki 乘之，得 ciAk1 =0从而 Ak1 =0，与条件矛盾【知识模块】 向量组的线性关系与秩19 【正确答案】 1， 2， ， s 对 1， 2， s 的表示矩阵为C=1+(1) s+1于是当 s 为偶数时，C=0，r(C)s，从而 r(1， 2， s)s， 1， 2， s 线性相关当 s 为奇数时，C =2，r(C)=s ，从而 r(1， 2， s)=s， 1， 2， s 线性无关【知识模块】 向量组的线性关系与秩20 【正确答案】 把 1， 2， s 的一个最大无关组放在 1， 2， s， 中考察，看它是否也是 1， 3， 的最大无关组 设()是 1， 2， s 的一个
23、最大无关组，则它也是 1， 2， s， 中的一个无关组 问题是：()增添 后是否相关? 若 可用 1， 2， s 表示，则 可用()表示( 因为1， 2， s 和()等价！)，于是( )增添 后相关，从而 ()也是1， 2， s， 的最大无关组， r(1， 2， s，)=r( 1， 2， s) 若 不可用 1， 2， s 表示，则 不可用()表示， ()增添 后无关，从而()不是 1， 2， ， s， 的最大无关组，此时 ()， 是 1， 2， s， 的最大无关组，r( 1， 2， s，)=r( 1， 2， s)+1【知识模块】 向量组的线性关系与秩21 【正确答案】 r(A+B)r(A+B
24、B)对矩阵(A+BB)进行初等列变换：左边 A+B 各列都减去右边 B 的对应列，化为(A B)于是r(A+B)r(A+BB)=r(A B)r(A)+r(B)【知识模块】 向量组的线性关系与秩22 【正确答案】 “=”因为 1， 2， r； 1， 2， s线性相关，所以存在c1，c 2，c r，c r+1，c r+s 不全为 0，使得 c11+c22+crr+cr+11+cr+22+cr+ss=0 记=c11+c22+crr(c r+11+cr+22+cr+ss)， 则 0(否则由 1， 2， r 和1， 2， s 都线性无关，推出 c1，c 2，c r，c r+1，c r+s 全为 0)，并
25、且它既可用 1， 2， r 表示，又可用 1， 2， s 表示 “ 1， r 表示，又可用 1， s 表示 记 =c11+c22+crs=t11+t22+tss，则 c1，c 2，c r和 t1，t 2，t s 都不全为 0， 而 c 11+c22+crst 11t 22t ss=0 根据定义， 1， 2， r； 1， 2， s线性相关【知识模块】 向量组的线性关系与秩23 【正确答案】 方法一 用定义设 c 11+c22+css=0， 对每个i，c ii=(i，c 11+c22+css)=0，而 i0，于是 ci=0 方法二 计算秩 以1， 2， s 为列向量组构造矩阵 A=(1， 2， s
26、)，则由例 350 的结果，ATA 是对角矩阵，并且对角线上的元素依次为 12， 22， s2，它们都不为0于是 r( 1， 2， s)=r(A)=r(ATA)=s， 从而 1， 2， s 线性无关【知识模块】 向量组的线性关系与秩24 【正确答案】 (1)(A， A)=TATA=T=(，) (2)(，)=(A，A)两边求算术平方根，得=A【知识模块】 向量组的线性关系与秩25 【正确答案】 设 x11+x22+x33+x44=，对增广矩阵( 1， 2， 3， 4 )作初等行变换，有()当 a=1，b2 或 a=10， b1 时，方程组均无解所以 不能由1， 2， 3， 4 线性表出 ()当
27、a1 且 a10 时， b 方程组均有唯一解所以 能用 1， 2， 3， 4 线性表示且表示法唯一 () 方程组在两种情况下有无穷多解，即(1)当 a=10，b=1 时，方程组有无穷多解：(2)当 a=1，b=2 时，方程组有无穷多解：x 4= ，x 2=t，x 3=12t，x 1=5t ，即【知识模块】 向量组的线性关系与秩26 【正确答案】 因为 A*=AT，按定义有 Aij=aij( i，j=1，2，n)，其中 Aij 是行列式A中 aij 的代数余子式由于 A0，不妨设 a110，那么A=a 11A11+a12A12+a1nA1n=a112+a122+a1n20 于是 A=(1， 2， n)的 n 个列向量线性无关那么对任n 维列向量 ，恒有 1， 2， n， 线性相关因此 必可由 1， 2， n 线性表出【知识模块】 向量组的线性关系与秩27 【正确答案】 对齐次方程组()ABx=0， ()Bx=0，如 是 ()的解，有 B=0，那么 AB=0，于是 是()的解如 是 ()的解，有 AB=0，因为 A 是 mn 矩阵，秩 r(A)=n，所以 Ax=0 只有零解，从而 B=0于是 是 ()的解因此方程组() 与()同解那么 sr(AB)=sr(B)，即 r(AB)=r(B)所以 r(B)=r(C)【知识模块】 向量组的线性关系与秩
