1、考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷 5（无答案）一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 1， 2， ， r 线性无关( )（A）存在全为零的实数 k1，k 2，k r，使得 k11+k22+krr=0（B）存在不全为零的实数 k1，k 2，k r，使得 k11+k22+krr0（C）每个 i 都不能用其他向量线性表示（D）有线性无关的部分组2 设 1， 2， ， s 是 n 维向量组，r( 1， 2， s)=r，则( ) 不正确（A）如果 r=n，则任何 n 维向量都可用 1， 2， s 线性表示（B）如果任何 n 维向量都可用 1， 2， s 线性表示，则
2、r=n（C）如果 r=s，则任何 n 维向量都可用 1， 2， s 唯一线性表示（D）如果 rn，则存在 n 维向量不能用 1， 2， s 线性表示3 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )（A）当 mn 时，AB0（B）当 mn 时，AB=0（C）当 nm 时，AB0（D）当 nm 时，AB=04 1， 2， 3， 线性无关，而 1， 2， 3， 线性相关，则（A） 1， 2， 3，c+ 线性相关（B） 1， 2， 3，c+ 线性无关（C） 1， 2， 3，+c 线性相关（D） 1， 2， 3，+c 线性无关5 设 1， 2， 3， 4 是 3 维非零向量，则下列说法正确的是（
3、A）若 1， 2 线性相关， 3， 4 线性相关，则 1+3， 2+4 也线性相关（B）若 1， 2， 3 线性无关，则 1+4， 2+4， 3+4 线性无关（C）若 4 不能由 1， 2， 3 线性表出，则 1， 2， 3 线性相关（D）若 1， 2， 3， 4 中任意三个向量均线性无关，则 1， 2， 3， 4 线性无关6 若 r(1， 2， s)=r，则（A）向量组中任意 r1 个向量均线性无关（B）向量组中任意 r 个向量均线性无关（C）向量组中任意 r+1 个向量均线性相关（D）向量组中向量个数必大于 r二、填空题7 已知 1， 2， 3 线性无关 1+t2， 2+2t3， 3+4t
4、1 线性相关则实数 t 等于_8 向量组 1=(1，0，1，2) T， 2=(1，1，3，1) T， 3=(2，1，a+1，5) T 线性相关，则 a=_9 若 =(1，3，0) T 不能由 1=(1，2，1) T， 2=(2，3，a) T， 3=(1，a+2，2) T 线性表出，则 a=_10 已知 r(1， 2， s)=r(1， 2， s，)=r，r( 1， 2， s，)=r+1，则r(1， 2， s， ，)=_11 已知 A= ，B 是 3 阶非 0 矩阵，且 BAT=0，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 AB=C，证明：(1)如果 B 是可逆矩阵，则
5、 A 的列向量和 C 的列向量组等价(2)如果 A 是可逆矩阵，则 B 的行向量组和 C 的行向量组等价13 设 1， 2， 3， 4， 5，它们的下列部分组中，是最大无关组的有哪几个? (1)1， 2， 3 (2) 1， 2， 4 (3) 1， 2， 5 (4) 1， 3， 414 设 A= ，已知 r(A*)+r(A)=3，求 a，b 应该满足的关系15 设 ， 都是 3 维列向量，A= T+T证明 (1)r(A)2 (2)如果 ， 线性相关，则 r(A)216 求常数 a，使得向量组 1=(1，1，a) T， 2=(1，a ，1) T， 3=(a，1，1) T 可由向量组 1=(1，1，
6、a) T， 2=( 2，a ，4) T， 3=(2，a，a) T 线性表示，但是 1， 2， 3不可用 1， 2， 3 线性表示17 设 1=(1， 1，1，3) T， 2=(1，3，5，1) T， 3=(3，2，1，p+2)T， 4=(2，6，10，p) Tp 为什么数时， 1， 2， 3， 4 线性相关? 此时求r(1， 2， 3， 4)和写出一个最大无关组18 设 A 为 n 阶矩阵，a 00，满足 A0=0，向量组 1， 2 满足 A1=0，A 22=0证明 0， 1， 2 线性无关19 设 1， 2， 3， 4 线性无关，1=21+3+4， 2=21+2+3， 3=2 4， 4=3+
7、4， 5=2+3 (1)求r(1， 2， 3， 4， 5)； (2)求 1， 2， 3， 4， 5 的一个最大无关组20 设 A 是 mn 矩阵证明：r(A)=1 存在 m 维和 n 维非零列向量 和 ，使得A=T21 设 A 是 n 阶矩阵，满足(AaE)(AbE)=0，其中数 ab证明：r(AaE)+r(AbE)=n22 设 A=(1， 2， n)是实矩阵，证明 ATA 是对角矩阵 1， 2， n 两两正交23 设 1， 2， ， s 和 1， 2， t 是两个线性无关的 n 维实向量组，并且每个i 和 i 都正交，证明 1， 2， s， 1， 2， t 线性无关24 设 A 是 n 阶非零实矩阵(n2)，并且 AT=A*，证明 A 是正交矩阵25 已知向量组有相同的秩，且 3 可由 1， 2， 3 线性表出，求 a，b 的值26 证明 1， 2， s(其中 10)线性相关的充分必要条件是存在一个 I(1is)能由它前面的那些向量 1， 2， i1 线性表出27 设 A 是 n 阶实反对称矩阵，x，y 是实 n 维列向量，满足 Ax=y，证明 x 与 y 正交
