1、考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷 7 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 1， 2， s 线性无关 ( )（A）存在全为零的实数 k1，k 2，k r，使得 k11，k 22，k rs=0（B）存在不全为零的实数 k1，k 2，k r，使得 k11， k22，k rs0（C）每个 i 都不能用其他向量线性表示（D）有线性无关的部分组2 设 A 是 45 矩阵， 1， 2， 3， 4， 5 是 A 的列向量组，r( 1， 2， 3， 4， 5)=3，则 ( )正确 .（A）A 的任何 3 个行向量都线性无关（B） 1， 2， 3， 4， 5 的
2、一个含有 3 个向量的部分组()如果与1， 2， 3， 4， 5 等价，则一定是 1， 2， 3， 4， 5 的最大无关组（C） A 的 3 阶子式都不为 0（D） 1， 2， 3， 4， 5 的线性相关的部分组含有向量个数一定大于 33 设 1， 2， 3， 4 都是 n 维向量判断下列命题是否成立 如果 1， 2， 3线性无关， 4 不能用 1， 2， 3 线性表示，则 1， 2， 3， 4 线性无关 如果1， 2 线性无关， 3， 4 都不能用 1， 2 线性表示，则 1， 2， 3， 4 线性无关 如果存在 n 阶矩阵 A，使得 A1，A 2，A 3，A 4 线性无关，则 1， 2，
3、3， 4线性无关 如果 1=A1， 2=A2， 3=A3， 4=A4，其中 A 可逆，1， 2， 3， 4 线性无关，则 1， 2， 3， 4 线性无关 其中成立的为（A）.（B） .（C） .（D）.4 设 1， 2， ， s 是 n 维向量组，r( 1， 2， s)=r，则( ) 不正确（A）如果 r=n，则任何 n 维向量都可用 1， 2， s 线性表示（B）如果任何 n 维向量都可用 1， 2， s 线性表示，则 r=n.（C）如果 r=s，则任何 n 维向量都可用 1， 2， s 唯一线性表示（D）如果 rn，则存在 n 维向量不能用 1， 2， s 线性表示5 n 维向量组() 1
4、， 2， ， s 可以用 n 维向量组() 1， 2， s 线性表示（A）如果() 线性无关，则 rs（B）如果 ()线性相关，则 rs（C）如果 ()线性无关，则 rs（D）如果() 线性相关，则 rs6 已知 n 维向量组 1， 2， s 线性无关，则 n 维向量组 1， 2， s 也线性无关的充分必要条件为（A） 1， 2， s 可用 1， 2， s 线性表示（B） 1， 2， s 可用 1， 2， s 线性表示（C） 1， 2， s 与 1， 2， s 等价（D）矩阵( 1， 2， s)和( 1， 2， s)等价7 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则( )（A）当 mn 时
5、，AB0（B）当 mn 时，AB=0（C）当 nm 时，AB0（D）当 nm 时，AB=08 A 是 mn 矩阵， B 都 nm 矩阵AB 可逆，则（A）r(A)=m，r(B)=m（B） r(A)=m，r(B)=n （C） r(A)=n，r(B)=m （D）r(A)=n，r(B)=n 9 设 1， 2， 3， 4， 5，下列部分组中，是最大无关组的有哪几个? (1)1， 2， 3 (2) 1， 2， 4 (3) 1， 2， 5 (4) 1， 3， 4（A）(2)(4)（B） (1)(4)（C） (3)(4)（D）(1)(3)10 n 阶矩阵 A= 的秩为 n-1，则 a=( )（A）1（B）
6、1(1-n) （C） -1（D）1(n-1)二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 设 1， 2， ， s 是一个 n 维向量组， 和 也都是 n 维向量判断下列命题的正确性 如果 ， 都可用 1， 2， s 线性表示，则 + 也可用1， 2， s 线性表示 如果 ， 都不可用 1， 2， s 线性表示，则+ 也不可用 1， 2， s 线性表示 如果 可用 1， 2， s 线性表示，而 不可用 1， 2， s 线性表示，则 + 可用 1， 2， s 线性表示 如果 可用 1， 2， s 线性表示，而 不可用 1， 2， s 线性表示，则+ 不可用 1， 2， s 线性表示12
7、设 Ab=C，证明：(1)如果 B 是可逆矩阵，则 A 的列向量和 C 的列向量组等价(2)如果 A 是可逆矩阵，则 B 的行向量组和 C 的行向量组等价13 (1)如果矩阵 A 用初等列变换化为 B，则 A 的列向量组和 B 的列向量组等价(2)如果矩阵 A 用初等行变换化为 B，则 A 的行向量组和 B 的行向量组等价14 如果 1， 2， t 可以用 1， 2， s 线性表示，并且 r(1， 2， s)=r(1， 2， t)，则 1， 2， s 1， 2， t15 设 1=(2， 1，2，3) T， 2=(-1，1，5，3) T， 3=(0，-1，-4，-3) T， 4=(1，0，-2，
8、-1) T， 5=(1，2，9，8) T求 r(1， 2， 3， 4， 5)，找出一个最大无关组16 设 1=(1， -1，2，4)， 2=(0，3，1，2)， 3=(3，0，7，14)， 4=(1，-2，2，0)，5=(2， 1，5， 10) 求 r(1， 2， 3， 4， 5) 求一个最大线性无关组，并且把其余向量用它线性表示17 设 1=(1+A，1，1，1)， 2=(2，2+A ，2，2)， 3=(3，3，3+A ，3) ，4=(4， 4，4， 4+A)问 A 为什么数时 1， 2， 3， 4 线性相关?在 1， 2， 3， 4线性相关时求出一个最大线性无关组18 已知 r(1， 2，
9、 s)=r(1， 2， s，)=k，r( 1， 2， s， ，)=k+1，求 r(1， 2， s，-)19 设 A= ，已知 r(A*)+r(A)=3，求 a，b 应该满足的关系20 已知 A= ，求 r(AB-A)21 3 阶矩阵 A= ，已知 r(AB)小于 r(A)和 r(B)，求 a，b 和 r(AB)22 设 ， 都是 3 维列向量，A= T+T证明 (1)r(A)2 (2)如果 ， 线性相关，则 r(A)223 设 2=(1， 0，2，3) T， 2=(1，1，3，5) T， 3=(1，-1，a+2，1)T， 4=(1，2，4，a+8) T， =(1，1，b+3，5) T 问： (
10、1)a，b 为什么数时， 不能用1， 2， 3， 4 表示? (2)a ，b 为什么数时， 可用 1， 2， 3， 4 表示，并且表示方式唯一?24 给定向量组() 1=(1，0，2) T， 2=(1，1，3) T， 3=(1，-1，a+2) T 和()1=(1，2，a+3) T， 2=(2，1，a+6) T， 3=(2，1，a+4) T当 a 为何值时( )和()等价?a 为何值时() 和()不等价?25 求常数 a，使得向量组 1=(1，1，a) T， 2=(1，a ，1) T， 3=(a，1，1) T 可由向量组 1=(1，1，a) T， 2=(-2，a，4) T， 3=(-2，a，a)
11、 T 线性表示，但是 1， 2， 3 不可用 1， 2， 3 线性表示26 已知 可用 1， 2， 3 线性表示，但不可用 1， 2， 3 线性表示证明 (1) a 不可用 1， 2， ， s-1 线性表示； (2) s 可用 1， 2， s-1， 线性表示27 已知(2 ，1，1，1) T，(2，1，a，a) T，(3，2，1，a) T，(4，3，2，1) T 线性相关，并且 a1，求 a28 设 1=(1， 1，1，3) T， 2=(-1，-3，5，1) T， 3=(3，2，-1，p+2) T， 2=(-2，-6，10，p) T P 为什么数时， 1， 2， 2， 4 线性相关 ?此时求
12、r(1， 2， 2， 4)和写出一个最大无关组考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷 7 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 (A) 不对，当 k1=k2=kr=0 时，对任何向量组1， 2， rk11+k21+krs=0 都成立 (B)不对， 1， 2， r 线性相关时，也存在不全为零的实数 k1，k 2，k r，使得 k11+k21+krr0； (C) 就是线性无关的意义 (D)不对，线性相关的向量组也可能有线性无关的部分组【知识模块】 向量组的线性关系与秩2 【正确答案】 B【试题解析】 r( 1， 2， 3， 4
13、， 5)=3，说明 1， 2， 3， 4， 5 的一个部分组如果包含向量超过 3 个就一定相关，但是相关不一定包含向量超过 3 个(D)不对 r(1， 2， 3， 4， 5)=3，则 A 的行向量组的秩也是 3，因此存在 3 个行向量线性无关，但是不是任何 3 个行向量都线性无关排除(A) A 的秩也是 3，因此有 3阶非零子式，但是并非每个 3 阶子式都不为 0，(C)也不对 下面说明(B)对()与 1， 2， 3， 4， 5 等价，则(I)的秩=r( 1， 2， 3， 4， 5)=3=() 中向量的个数，于是()线性无关，由定义() 是最大无关组【知识模块】 向量组的线性关系与秩3 【正确
14、答案】 A【试题解析】 ， ， 直接从定理 32 得到 明显不对，例如 3 不能用 1， 2 线性表示，而 3=4 时， 3， 4 都不能用 1， 2 线性表示但是1， 2， 3， 4 线性相关 容易用秩说明：A 1，A 2，A 3，A 4 的秩即矩阵(A1，A 2，A 3，A 4)的秩，而(A 1，A 2，A 3，A 4)=A(1， 2， 3， 4)，由矩阵秩的性质， r(A 1，A 2，A 3，A 4)r(1， 2， 3， 4)A 1，A 2，A 3，A 4 无关，秩为 4，于是 1， 2， 3， 4 的秩也一定为 4，线性无关 也可从秩看出：A 可逆时，r( 1， 2， 3， 4)=r(
15、A1，A 2，A 3，A 4)=4【知识模块】 向量组的线性关系与秩4 【正确答案】 C【试题解析】 利用“用秩判断线性表示”的有关性质 当 r=n 时，任何 n 维向量添加进 1， 2， s 时，秩不可能增大，从而 (A)正确 如果(B)的条件成立，则任何 n 维向量组 1， 2， t 都可用 1， 2， s 线性表示，从而r(1， 2， ， t)r(1， 2， s)如果取 1， 2， n 是一个 n 阶可逆矩阵的列向量组，则得 n=r( 1， 2， n)r(1， 2， s)n， 从而r(1， 2， ， s)=n，(B)正确 (D) 是(B)的逆否命题，也正确 由排除法，得选项应该为(C)
16、下面分析为什么 (C)不正确 r=s 只能说明 1， 2， s 线性无关，如果 rn，则用(B)的逆否命题知道存在 n 维向量不可用 1， 2， s 线性表示，因此(C)不正确【知识模块】 向量组的线性关系与秩5 【正确答案】 A【试题解析】 (C) 和(D) 容易排除，因为 ()的相关性显然不能决定 r 和 s 的大小关系的(A)是定理 3 8 的推论的逆否命题根据该推论，当向量组()可以用()线性表示时，如果 rs ，则( ) 线性相关因此现在( ) 线性无关，一定有 rs(B)则是这个推论的逆命题，是不成立的也可用向量组秩的性质(定理 38)来说明(A) 的正确性：由于( )可以用 ()
17、线性表示，有r( )r()s又因为() 线性无关，所以 r()=r于是 rs【知识模块】 向量组的线性关系与秩6 【正确答案】 D【试题解析】 从条件(A) 可推出 1， 2， s 的秩不小于 1， 2， s 的秩s， 1， 2， ， s 线性无关即(A)是充分条件，但它不是必要条件 条件(C)也是充分条件，不是必要条件 条件(B)既非充分的，又非必要的 两个矩阵等价就是它们类型相同，并且秩相等现在( 1， 2， s)和( 1， 2， s)都是 ns矩阵，( 1， 2， s)的秩为 s，于是 1， 2， s 线性无关(即矩阵(1， 2， s)的秩也为 s) (1， 2， s)和 (1， 2，
18、s)等价【知识模块】 向量组的线性关系与秩7 【正确答案】 B【试题解析】 本题考察 AB 的行列式AB，而条件显然是不能用来计算AB而利用方阵“可逆 满秩”，转化为“r(AB)是否=AB 的阶数 m”的判断则是可行的有不等式 r(AB)minr(A)，r(B)minm，n如果 mn，则r(AB)minr(A)，r(B)minm，n=nm 于是 r(AB)m，从而 AB 不可逆，AB=0因此 (B)成立(如果 mn，r(AB)minr(a) ，r(B)minm，n=m不能断定 r(AB)与 m 的关系，(C)，(D)都不一定成立)【知识模块】 向量组的线性关系与秩8 【正确答案】 A【试题解析
19、】 AB 是 m 阶矩阵，AB 可逆，则 m=r(AB)r(A)m，得 r(a)=m同理得 r(B)=m【知识模块】 向量组的线性关系与秩9 【正确答案】 A【试题解析】 部分组是最大无关组的条件是个数达到秩，并且线性无关 r(1， 2， 3， 4， 5)=3，这 4 个部分组都包含 3 个向量，只要线性无关就是最大无关组因为 1， 2， 3， 4， 5 和 1， 2， 3， 4， 5 有相同线性关系，只要看对应的 1， 2， 3， 4， 5 的部分组的相关性 1， 2， 3和 1， 2， 5 都是相关的， 1， 2， 4 和 1， 3， 4 都无关于是(1)和(3)不是最大无关组，(2)和(
20、4)是【知识模块】 向量组的线性关系与秩10 【正确答案】 B【试题解析】 用行列式做由于 r(A)=n-1，A =0求出A=1+(n-1)a(1-a)n-1，要使得A=0，a 必须为 1 或 1(1-n)，排除了(C) ，(D)又显然 a=1 时r(A)=1，排除了(A) ，选(B)【知识模块】 向量组的线性关系与秩二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 正确的是和 ，和都不对 显然 不对，可用一个反例说明 取 不可用 1， 2， s 线性表示， =-，则 也不可用1， 2， s 线性表示，但是 +=0，是可用 1， 2， s 线性表示 用反证法说明不对 对如果
21、 + 可用 1， 2， s 线性表示，则因为 可用1， 2， s 线性表示，所以 =(+)- 也可用 1， 2， s 线性表示，与条件矛盾 n 维向量组 1， 2， s 可以用 1， 2， s 线性表示，即1， 2， s 中的每一个都可以用 1， 2， s 线性表示 向量组之间的线性表示问题与矩阵乘法有密切关系：乘积矩阵 AB 的列向量组可以用 A 的列向量组线性表示，而 AB 的行向量组可以用 B 的行向量组线性表示 反过来，如果向量组 1， 2， s 可以用 1， 2， s 线性表示，则矩阵 (1， 2， s)可分解为矩阵( 1， 2， s)和一个矩阵 C 的乘积(C 这样构造：它的第 i
22、 个列向量就是 i 对 1， 2， s 的分解系数)称 C 为 1， 2， s 对 1， 2， s 的表示矩阵(C 不一定是唯一的，唯一的充分必要条件是 1， 2， s 线性无关) 向量组的线性表示关系有传递性，即如果向量组 1， 2， s 可以用1， 2， s 线性表示，而 1， 2， s 可以用 1， 2， s 线性表示，则1， 2， s 可以用 1， 2， s 线性表示 当向量组 1， 2， s 和1， 2， s 互相都可以线性表示时，就说它们等价，并记作 1， 2， s1， 2， s 等价关系也有传递性【知识模块】 向量组的线性关系与秩12 【正确答案】 (1)由上面的说明，C 的列向
23、量组可以用 A 的列向量组线性表示当 B 是可逆矩阵时，有 CB-1=A，于是 A 的列向量组又可以用的 C 列向量组线性表示 (2)C 的行向量组可以用 B 的行向量组线性表示当 A 是可逆矩阵时，A -1C=B，于是 B 的行向量组又可以用的 C 的行向量组线性表示【知识模块】 向量组的线性关系与秩13 【正确答案】 (1)利用初等变换与初等矩阵的关系，当矩阵 A 用初等列变换化为B 时，存在一系列初等矩 P1，P 2，P s，使得 AP 1，P 2，P s=B 由于P1，P 2，P s 是可逆矩阵， A 的列向量组和 B 的列向量组等价 (2)当矩阵 A 用初等行变换化为 B 时，存在一
24、系列初等矩阵 P1，P 2，P s，使得 Ps， P2，P 1=B 由于 Ps，P 2，P 1 是可逆矩阵， A 的行向量组和 B 的行向量组等价【知识模块】 向量组的线性关系与秩14 【正确答案】 r( 1， 2， s， 1， 2， t)=r(1， 2， s)，这是定理37 的直接得出的 如果 1， 2， t 可以用 1， 2， s 线性表示，则 r(1， 2， t)r(1， 2， s)【知识模块】 向量组的线性关系与秩15 【正确答案】 以 1， 2， 3， 4， 5 为列向量作矩阵 A，用初等行变换把 A 化为阶梯形矩阵： 于是 r(1， 2， 3， 4， 5)=3.v 是 1， 2，
25、4， 4， 5 的一个最大无关组【知识模块】 向量组的线性关系与秩16 【正确答案】 构造矩阵 A=(1T， 2T， 3T， 4T， 5T)，并对它作初等行变换：记 B 和 C 分别是中间的阶梯形矩阵和右边的简单阶梯形矩阵B 有 3 个非零行，则 r( 1， 2， 3， 4， 5)=3 B 的台角在 1，2，4 列，则 1， 2， 4 是1， 2， 3， 4， 5 的一个最大无关组设 C 的列向量组为 1， 2， 3， 4， 5，则1， 2， 3， 4， 5 和 1， 2， 3， 4， 5 有相同线性关系. 显然3=31+2， 5+21+2，于是 3=31+2， 5=21+2【知识模块】 向量
26、组的线性关系与秩17 【正确答案】 a=0 或-10.a=0 时，每个向量都构成最大线性无关组 a=-10，其中任何 3 个都构成最大线性无关组【知识模块】 向量组的线性关系与秩18 【正确答案】 只用看 - 能不能用 1， 2， s 线性表示 由条件知， 可用 1， 2， ， s 线性表示， 不能用 1， 2， s， 线性表示，从而也就不能用 1， 2， ， s 线性表示于是 - 不能用 1， 2， s 线性表示从而r(1， 2， s，-)=k+1 【知识模块】 向量组的线性关系与秩19 【正确答案】 根据伴随矩阵的秩的性质，r(A *)+r(A)=3 这个条件说明了 r(A)=2 则 a+
27、2b 和 a-b 必须有一个为 0(否则 r(A)=3)，但是 a-b 为 0 则 r(A)2于是得 r(A)=2 的条件是 a+2b=0 且 a-b0，即 a=-2b 并且 ab或者表示为：a=-2b0 【知识模块】 向量组的线性关系与秩20 【正确答案】 如果先求出 AB-A，再求它的秩，计算量比较大注意到 AB-A=A(B-E)，而 B-E 是可逆矩阵，则根据矩阵秩的性质，r(AB-A)=r(A)，直接计算 r(A)就简单多了 得 r(AB-A)=r(A)=2【知识模块】 向量组的线性关系与秩21 【正确答案】 条件 r(AB)小于 r(A)，说明 B 不可逆类似地 r(AB)小于 r(
28、B)，说明 A 不可逆于是A=B=0 求出A=-4a+8b-12，B=a+b-3，则a，b 满足 解得 a=1，b=2r(AB) r(A)3，则 r(AB)1再由 AB 不是零矩阵(如它的(2，3)位元素为 4)，得 r(AB)=1(说明 AB 不是零矩阵也可用反证法得到：如果 AB=0，则 r(A)+r(B)3，而显然 r(A)=r(B)=2)【知识模块】 向量组的线性关系与秩22 【正确答案】 (1)r(A)r( T)+r(T)，而 r(T)r()1，同理 r(T)1 (2)不妨假设 =c，则 A=T+c(cT)=(1+c2)T，于是 r(A)r( T)12【知识模块】 向量组的线性关系与
29、秩23 【正确答案】 利用秩来判断较简单为此计算出 r(1， 2， 3， 4)和r(1， 2， 3， 4，)作比较 构造矩阵( 1， 2， 3， 4) ，并用初等行变换化为阶梯形矩阵：( 1， 2， 3， 4)= (1)当a+1=0，而 b0 时，r( 1， 2， 3， 4)=2，而 r(1， 2， 3， 4，)=3，因此 不能用 1， 2， 3， 4 线性表示 (2)当 a+10 时(b 任意 )，r( 1， 2， 3， 4)=r(1， 2， 3， 4，)=4 ， 可用 1， 2， 3， 4 表示，并且表示方式唯一 (如果a+1=0，而 b=0，则 r(1， 2， 3， 4)=r(1， 2，
30、 3， 4，)=2，因此 能用1， 2， 3， 4 线性表示，但是表示方式不唯一)【知识模块】 向量组的线性关系与秩24 【正确答案】 思路()和() 等价用秩来刻画，即 r( 1， 2， 3， 1， 2， 3)=r(1， 2， 3)=r(1， 2， 3)( 1， 2， 3 1， 2， 3)当 a+1=0 时，r( 1， 2， 3)=2，而r(1， 2， 3， 1， 2， 3)=3，因此( )与()不等价当 a+10 时，r(1， 2， 3， 1， 2， 3)=r(1， 2， 3)=3再来计算 r(1， 2， 3)( 1， 2， 3)则 r(1， 2， 3)=3(与 a 无关)于是 a+10
31、时() 与()等价【知识模块】 向量组的线性关系与秩25 【正确答案】 本题的要求用秩来表达就是 r(1， 2， 3)=r(1， 2， 3， 1， 2， 3)r( 1， 2， 3) 方法一(计算秩)(1， 2， 3 1， 2， 3) 当 a1和-2 时， r(1， 2， 3)=r(1， 2， 3， 1， 2， 3)=3，不符合要求当 a=-2 时，r(1， 2， 3)=2，r( 1， 2， 3)=2，不符合要求当 a=1 时，r( 1， 2， 3)=1，r( 1， 2， 3)=3，必有 r(1， 2， 3， 1， 2， 3)=3，符合要求，得 a=1 方法二 由上面秩的关系式，得 r(1， 2
32、， 3)3，即 1， 2， 3 线性相关， 1， 2， 3=0求出 1， 2， 3=-(a-1) 2(a+2)，a=1 或-2 a=1 时，r(1， 2， 3)=1，r( 1， 2， 3)=r(1， 2， 3， 1， 2， 3)=3，适合要求 a=-2 时，r(1， 2， 3)=r(1， 2， 3)=2，不合要求【知识模块】 向量组的线性关系与秩26 【正确答案】 r( 1， 2， s，)=r( 1， 2， s)，r( 1， 2， s-1，)=r(1， 2， s-1)+1 于是有 r( 1， 2， s)=r(1， 2， s-1，)r(1， 2， s-1，) =r( 1， 2， s-1)+1r(
33、1， 2， s) 从而其中两个“”号都为等号于是 r( 1， 2， s-1)+1=r(1， 2， s) 因此， s 不可用1， 2， s-1 线性表示 r( 1， 2， s-1，)=r( 1， 2， s-1，)， 因此，s 可用 1， 2， s-1， 线性表示【知识模块】 向量组的线性关系与秩27 【正确答案】 因为这 4 个向量线性相关，所以以它们为列向量的 4 阶行列式为0求出此行列式的值： =(a-1)(2a-1)，得 a=12【知识模块】 向量组的线性关系与秩28 【正确答案】 计算 r(1， 2， 2， 4)(1， 2， 2， 4)=则当 p=2 时，r(1， 2， 2， 4)=3， 1， 2， 2， 4 线性相关， 1， 2， 2 是一个最大无关组当p2 时，r( 1， 2， 2， 4)=4， 1， 2， 2， 4 线性无关【知识模块】 向量组的线性关系与秩
