1、考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 AB=0，A， B 是两个非零矩阵，则（A）A 的列向量组线性相关B 曰的行向量组线性相关（B） A 的列向量组线性相关B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关B 的行向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关2 设 1， 2， ， s 都是 n 维向量，A 是 mn 矩阵，下列选项中正确的是( )（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性
2、无关（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关3 1， 2， ， s， 线性无关，而 1， 2， s， 线性相关，则（A） 1， 2， 3，+ 线性相关（B） 1， 2， 3，c+ 线性无关（C） 1， 2， 3，+c 线性相关（D） 1， 2， 3，+c 线性无关4 设 1， 2， 3 线性无关，则( )线性无关：（A） 1+2， 2+3， 3-1（B） 1+2， 2+3， 1+22+3（C） 1+22，2 2+33，3 3+1（D） 1+2+3，2 1-32+223，3 1+52-53二、
3、填空题5 已知 1， 2， 3 线性无关 1+t2， 2+2t3， 3+4t1 线性相关则实数 t 等于_6 已知 1， 2， 3， 4 是齐次方程组 AX=0 的基础解系，记1=1+t2， 2=2+t3， 3=3+t4， 4=4+t1实数 t=_时， 1， 2， 3， 4，也是 AX=0 的基础解系?7 设 A 为 3 阶正交矩阵，它的第一行第一列位置的元素是 1，又设 =(1，0，0) T，则方程组 AX=的解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 已知 1， 2 都是 3 阶矩阵 A 的特征向量，特征值分别为-1 和 1，又 3 维向量 3满足 A3=2+3证明 1，
4、2， 3 线性无关9 设 n 维向量组 1， 2， s 线性相关，并且 10，证明存在 1ks，使得 k可用 1， k-1 线性表示10 设 A 为 n 阶矩阵， 00，满足 A0=0，向量组 1， 2 满足 A1=2，A 22=2证明 0， 1， 2 线性无关11 设 A 为 n 阶矩阵， 1 为 AX=0 的一个非零解，向量组 2， 2， s 满足 Ai-1i=1(i=2，3 ，s)证明 1， 2， s 线性无关12 设 A 是 n 阶矩阵，k 为正整数， 是齐次方程组 AkX=0 的一个解，但是 Ak-10证明 ，A ，A k-1线性无关13 设 1， 2， ， s 线性无关， i=i+
5、i+1，i=1 ，s-1 ， s=s+1判断1， 2， s 线性相关还是线性无关 ?14 设 1， 2， 3， 4 线性无关， 1=21+3+4， 2=21+3+4， 3=2-4， 4=3+4， 5=2+3 (1)求 r(1， 2， 3， 4， 5)； (2)求 1， 2， 3， 4， 5的一个最大无关组15 设 1， 2， 3 都是 n 维非零向量，证明： 1， 2， 3 线性无关 对任何数s，t， 1+s3， 2+t3 都线性无关16 设 1， 2， ， s， 都是 n 维向量，证明：r( 1， 2， s，)=17 设 A 是 mn 矩阵证明：r(A)=1 存在 m 维和 n 维非零列向量
6、 和 ，使得A=T18 设 1， 2， ， s 和 1， 2， t 都是 n 维向量组，证明r(1， 2， s， 1， 2， t)r(1， 2， s)+r(1， 2， t)19 设 A 和 B 是两个列数相同的矩阵， 表示 A 在上，B 在下构造的矩阵证明r(A)+r(B)20 证明 r(A+B)r(A)+r(B)21 设 A 是 n 阶矩阵，满足(A-aE)(A-bE)=0，其中数 ab证明：r(A-aE)+r(A-bE)=n22 设 A 是 n 阶矩阵，证明23 设 1， 2， ， r 和 1， 2， s 是两个线性无关的 n 维向量证明：向量组1， 2， r； 1， 2， s线性相关 存
7、在非零向量 r，它既可用1， 2， r 线性表示，又可用 1， 2， s 线性表示24 设 A=(1， 2， n)是实矩阵，证明 ATA 是对角矩阵 1， 2， n 两两正交25 设 A 为实矩阵，证明 r(ATA)=r(A)26 设 1， 2， ， s 是一组两两正交的非零向量，证明它们线性无关27 设 1， 2， ， s 和 1， 2， t 是两个线性无关的 n 维实向量组，并且每个i 和 j 都正交，证明 1， 2， s， 1， 2， t 线性无关28 设 A 为 n 阶正交矩阵， 和 都是 n 维实向量，证明：(1)内积(，)=(A，A)(2)长度A=考研数学二（向量组的线性关系与秩）
8、模拟试卷 8 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 用秩矩阵的行(列)向量组线性相关，即其的秩小于行(列)数设 A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，则由 AB=0 得到 r(A)+r(B)n由于 A，B 都不是零矩阵，r(A)0，r(B)0于是 r(A)n ，r(B)n n 是 A 的列数，B 的行数，因此 A 的列向量组线性相关B 的行向量组线性相关【知识模块】 向量组的线性关系与秩2 【正确答案】 A【试题解析】 本题考的是线性相关性的判断问题，可以用定义说明(A)的正确性，做法如下：因为 1， 2， s 线性相关，所
9、以存在不全为 0 的数 c1，c 2，c s使得 c 11+c22+css=0，用 A 左乘等式两边，得 c 1A1+c2A2+csAs=0，于是 A1，A 2，A s 线性相关但是用秩来解此题，则更加简单透彻只要应用两个基本性质，它们是：1 1， 2， s 线性无关 r(1， 2， s)=s2r(AB)r(B)矩阵 (A1，A 2，A s)=A(1， 2， s)，因此 r(A1，A 2， ，A s)r(1， 2， s)于是，若 1， 2， s 线性相关，有 r(1， 2， ， s)s，从而 r(A1，A 2，A s)s，A 1，A 2，A s 线性相关【知识模块】 向量组的线性关系与秩3 【
10、正确答案】 D【试题解析】 由于 1， 2， 3， 线性无关， 1， 2， 3 是线性无关的于是根据定理 32， 1， 2， 3，c+( 或 +c)线性相关与否取决于 x+(或 +c)可否用1， 2， 3 线性表示 条件说明 不能由 1， 2， 3 线性表示，而 可用1， 2， 3 线性表示 c+ 可否用 1， 2， 3 线性表示取决于 c，当 c=0 时c+= 可用 1， 2， 3 线性表示；c0 时 c+ 不可用 1， 2， 3 线性表示c 不确定，(A)， (B)都不能选 而 +c 总是不可用 1， 2， 3 线性表示的，因此(C)不对，(D)对【知识模块】 向量组的线性关系与秩4 【正
11、确答案】 C【试题解析】 容易看出(A)中的向量组的第 2 个减去第 1 个等于第 3 个，所以相关(B) 组的前两个之和等于第 3 个，也相关于是(A)和(B)都可排除现在只用判断(C)组是否相关 (若相关，选 (D)，若无关，选(C) 1+22，2 2+33，3 3+1对 1， 2， 3 的表示矩阵为 C 可逆，于是r(1+22，2 2+33，3 3+1)=r(C)=3，因而(C) 组向量线性无关【知识模块】 向量组的线性关系与秩二、填空题5 【正确答案】 -12【试题解析】 本题可以用定义做，但是表述比较哕嗦，用秩比较简单证明1+t2， 2+2t3， 3+4t1 线性相关就是要证明其秩小
12、于 3 记矩阵A=(1+t2， 2+2t3， 3+4t1)用矩阵分解，有 A=(1， 2， 3) 记C= 由于 1， 2， 3 线性无关，( 1， 2， 3)是列满秩的，于是根据矩阵秩的性质， r( 1+t2， 2+2t3， 3+4t2)=r(A)=r(C) 于是1+t2， 2+2t3， 3+4t2 线性相关 r(C)3 C =0 求出c=1+8t 3，于是得 8t3=-1，t=-12【知识模块】 向量组的线性关系与秩6 【正确答案】 -1【知识模块】 向量组的线性关系与秩7 【正确答案】 (1，0，0) T【试题解析】 设 A=(1， 2， 3)A 为正交矩阵，列向量是单位向量于是 1 是(
13、1，0， 0)T则 = 1=A(1，0，0) T， 解为(1，0，0) T.【知识模块】 向量组的线性关系与秩三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 根据特征向量的性质， 1， 2 都是 A 的特征向量，特征值不相等，于是它们是线性无关的根据定理 32，只用再证明 3 不可用 1， 2 线性表示 用反证法如果 3 可用 1， 2 表示，设 3=c11+c22，用 A 左乘等式两边，得 2+3=c11+c22， 减去原式得 2=-2c11， 与 1， 2 线性无关矛盾，说明 3 不可用1， 2 线性表示【知识模块】 向量组的线性关系与秩9 【正确答案】 因为 1， 2
14、， s 线性相关，所以存在不全为 0 的数c1，c 2，c s，使得 x 11+c22+css=0 设 ck 是 c1，c 2，c s 中最后一个不为 0 的数，即 ck0，但 ik 时，c i=0则 k1(否则 1=0，与条件矛盾)，并且有c11+c22+ckk=0则于 k= 1- 2- k-1.【知识模块】 向量组的线性关系与秩10 【正确答案】 用定义证明即要说明当 c1，c 2， c3 满足 c10+c21+c32=0 时它们一定都是 0 记此式为(1)式，用 A 乘之，得 c 20+c3A2=0 (2) 再用 A 乘(2)得c30=0由 00，得 c3=0代入(2) 得 c2=0再代
15、入 (1)得 c1=0【知识模块】 向量组的线性关系与秩11 【正确答案】 用定义法 设 c11+c22+css=0(1)，要推出系数 ci 都为 0 条件说明 Aii=A1=0(i=1，2，3，s) 用 As-1 乘(1)的两边，得 cs1=0，则 cs=0 再用 As-2 乘(1)的两边，得 cs-11=0，则 cs-1=0 这样可逐个得到每个系数都为 0【知识模块】 向量组的线性关系与秩12 【正确答案】 用定义证明 设 c1+c2A+c kAk-1=0，要推出每个 ci=0 先用 Ak-1 乘上式两边，注意到当 mk时，A m=0(因为 AkX=0)，得到 c1Ak-1=0又因为 Ak
16、-10，所以 c1=0上式变为 c2Aa+ckAk-1=0再用 Ak-2 乘之，可得到c2=0如此进行下去，可证明每个 ci=0【知识模块】 向量组的线性关系与秩13 【正确答案】 1， 2， ， s 对 1， 2， s 的表示矩阵为C=1+(-1) s+1于是当 s 为偶数时，C =0，r(c)s，从而 r(1， 2， s)s， 1， 2， s 线性相关当 s 为奇数时，C=2 ，r(C)=s，从而 r(1， 2， s)=s， 1， 2， s 线性无关【知识模块】 向量组的线性关系与秩14 【正确答案】 (1) 1， 2， 3， 4， 5 对 1， 2， 3， 4 的表示矩阵为用初等行变换化
17、为阶梯形矩阵：则 r(1， 2， 3， 4， 5)=r(C)=3 (2)记C 的列向量组为 1， 2， 3， 4， 5则由(1)的计算结果知 1， 2， 4 是线性无关的又 ( 1， 2， 4)=(1， 2， 3， 4)(1， 2， 4)得到 r(1， 2， 4)=r(1， 2， 4)=3， 1， 2， 4 线性无关，是 1， 2， 3， 4， 5 的一个最大无关组【知识模块】 向量组的线性关系与秩15 【正确答案】 “ ”用定义法也不麻烦 (请读者自己做)，但是用 C 矩阵法更加简单 1+s3， 2+t3 对 1， 2， 3 的表示矩阵为 显然对任何数s，t， C 的秩都是 2，于是 1+s
18、3， 2+t3 的秩为 2，线性无关 “ ”在 s=t=0 时，得 1， 2 线性无关，于是只要再证明 3 不可用 1， 2 线性表示用反证法如果3 可以用 1， 2 线性表示，设 3=c11+c22，则因为 3 不是零向量，c 1，c 2 不能全为 0不妨设 c10，则有 c1(1- 3)+c22=0，于是 1- 3， 2 线性相关，即当s= ，t=0 时 1+s3， 2+t3 相关，与条件矛盾【知识模块】 向量组的线性关系与秩16 【正确答案】 把 1， 2， s 的一个最大无关组放在 1， 2， s， 中考察，看它是否也是 1， s， 的最大无关组 设()是 1， 2， s 的一个最大无
19、关组，则它也是 1， 2， s， 中的一个无关组 问题是：()增添 后是否相关? 若 可用 1， 2， s 表示，则 可用()表示( 因为1， 2， s 和()等价!) ，于是()增添 后相关，从而()也是1， 2， s， 的最大无关组， r(1， 2， s，)=r( 1， 2， s) 若 不可用 1， 2， s 表示，则 不可用()表示， ()增添 后无关，从而()不是 1， 2， ， s， 的最大无关组，此时 ()， 是 1， 2， s， 的最大无关组，r( 1， 2， s，)=r( 1， 2， s)+1【知识模块】 向量组的线性关系与秩17 【正确答案】 “ ”记 A 的列向量组为 1，
20、 2， n，则因为 r(A)=1，所以r(1， 2， n)=1于是 A 一定有非零列向量，记 为一个非零列向量，则每个i 都是 的倍数设 i=bi，i=1 ，2，n记 =(b1，b 2，b n)T，则 0，并且 A=(1， 2， n)=(b1，b 2，b n)=T “ ”设 A=T，则 r(A)r()=1由于 ， 都不是零向量，可设 的第 i 个分量 i0， 的第 j 个分量 bj0则A 的(i， j)位元素为 aibj0，因此 A0，从而 r(A)0得 r(A)=1【知识模块】 向量组的线性关系与秩18 【正确答案】 取 1， 2， s， 1， 2， t的一个最大无关组() ，记() 1 是
21、() 中属于 1， 2， s 中的那些向量所构成的部分组，() 2 是() 中其余向量所构成的部分组于是() 1 和() 2 分别是属于 1， 2， s 和1， 2， t 的无关部分组，因此它们包含向量个数分别不超过r(1， 2， s)和 r(1， 2， t)。从而 r( 1， 2， s， 1， 2， t)=()中向量个数=() 1 中向量个数 +() 2 中向量个数r( 1， 2， s)+r(1， 2， t)【知识模块】 向量组的线性关系与秩19 【正确答案】 对 作等行交换，把 A 和 B 分别化为阶梯矩阵 C 和 D.则矩阵有 r(A)+r(B)个非零行，于是【知识模块】 向量组的线性关
22、系与秩20 【正确答案】 r(A+B)r(A+B B)对矩阵(A+BB)进行初等列变换：左边 A+B 各列都减去右边 B 的对应列，化为(A B)于是r(A+B)r(A+BB)=r(AB)r(A)+r(B)【知识模块】 向量组的线性关系与秩21 【正确答案】 一方面，根据矩阵秩的性质，由 (A-aE)(A-bE)=0 得到 r(A-aE)+r(A-bE)n另一方面，用矩阵的秩的性质，有 r(a-aE)+r(a-bE)r(A-aE)-(A-bE)=r(b-a)E)=n两个不等式结合，推出 r(A-aE)+r(A-bE)=n【知识模块】 向量组的线性关系与秩22 【正确答案】 当 r(A)=n 时
23、，A 可逆，从而 A*也可逆，秩为 n 当 r(A)n-1 时，它的每个余子式 Mij(是 n-1 阶子式)都为 0，从而代数余子式 Aij 也都为 0于是A*=0，r(A *)=0 当 r(A)=n-1 时，A=0 ，所以 AA*=0于是 r(A)+r(A*)17,由于 r(A)n-1，得到 r(A*)1 又由 r(A)=n-1 知道 A 有 n-1 阶非 0 子式，从而存在代数余子式 Ahk 不为 0，于是 A*0，r(A *)0于是 r(A*)=1【知识模块】 向量组的线性关系与秩23 【正确答案】 “ ”因为 1， 2， r； 1， 2， s线性相关，所以存在c1，c 2，c r， r
24、+1，c r+s 不全为 0，使得c11+c22+crr+cr+11+cr+22+cr+ss=0 记 =c11+c22+crr=-(cr+11+cr+22+cr+ss)，则 0(否则由 1， 2， r 和 1， 2， s 都线性无关，推出 c1， c2，c s， r+1，c r+s 全为 0)，并且它既可用 1， 2， r 表示，又可用 1， 2， s 表示 “ ”设 0，它既可用 1， r 表示，又可用1， s 表示 记 =c11+c22+crs=t11+t22+trs，则 c1，c 2，c r 和t1，t 2，t s 都不全为 0，而 c11+c22+crs-t11+t22+trs=0.根
25、据定义，1， 2， r； 1， 2， s线性相关【知识模块】 向量组的线性关系与秩24 【正确答案】 A TA 的(i，j)位元素为( i， j)于是 ATA 是对角矩阵 当 ij 时，ATA 的(i ，j) 位元素为 0 当 ij时， i， j 正交 1， 2， n 两两正交【知识模块】 向量组的线性关系与秩25 【正确答案】 通过证明 ATAX=0 和 AX=0 同解，来得到结论 A TAX=0 和AX=0 同解，即对于实向量 ，A TA=0 A=0 “ ”显然 “ ”ATA=0 TATA=0，从而(A ，A)= TATA=0，得 A=0【知识模块】 向量组的线性关系与秩26 【正确答案】
26、 计算秩 以 1， 2， s 为列向量组构造矩阵A=(1， 2， s)，A TA 是对角矩阵，并且对角线上的元素依次为 2， 2， 2，它们都不为 0于是 r(1， 2， s)=r(A)=r(ATA)=s， 从而 1， 2， s 线性无关【知识模块】 向量组的线性关系与秩27 【正确答案】 用定义证明设 c 11+c22+css+k11+k22+ktt=0，记=c11+c22+css=-(k11+k22+ktt)，则(，)=(c11+c22+css，k 11+k22+ktt)=0 即 =0，于是c1，c 2，c s，k 1，k 2，k s 全都为 0【知识模块】 向量组的线性关系与秩28 【正确答案】 (1)(A， A)=TATA=T=(，) (2)(，)=(A，A)两边求算术平方根，得= A【知识模块】 向量组的线性关系与秩
