1、考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 函数 f(x，y)在(x 0，y 0)处偏导数存在，则在该点函数 f(x，y)( )（A）有极限（B）连续（C）可微（D）以上结论均不成立二、填空题2 设 f(x，y， z)=exyz2 其中 z=z(x，y)是由 x+y+z+xyz=0 确定的隐函数，则fx(0，1，-1)=_3 已知 z= =_4 设 2sin(x+2y-3z)=z+2y-3z，则 =_5 设 f(x，y)可微，f(1 ，2)=2，f x(1，2)=3 ，f y(1，2)=4，(x)=f(x，f(x，2
2、x)，则(1)=_6 设 ，则 2fx(0，0)+f y(0，0)=_7 由 z=zey+z 确定 z=z(x，y)，则 dz(e，0)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 设 f(x，y)= ，试讨论 f(x，y)在点(0，0)处的连续性，可偏导性和可微性9 设二元函数 f(x，y)的二阶偏导数连续，且满足 fxx(x，y)=f yy(x，y)，f(x，2x)=x2，f x(x，2z)=x，求 fxx(x，2x)10 设 z=arctan ，求 dz11 设 z=(x2+y2)12 设 z=x2arctan13 设 z=f(exsiny，x 2+y2)，其中 f 具有二阶
3、连续偏导数，求14 已知 u(x，y)= ，其中 f，g 具有二阶连续导数，求 xuxx+yuxy15 z= +g(ex，siny)， f 的二阶导数连续，g 的二阶偏导数连续，求16 设 z=f(u,x，y)，u=xe y，其中 f 具有二阶偏导数，求17 设 z=f(2x-y，ysinx)，其中 f(u，v)具有连续的二阶偏导数，求18 设 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足19 设 z=yf(x2-y2)，求20 设 z=z(x，y)，由方程21 设 z=xf(x，u，v)，其中22 设 z=f(x，y)是由方程 z-y-z+xez-y-x=0 所确定的二元函数，求 dz23 设 (
4、u，v，)由一阶连续的偏导数，z=z(x，y)是由 (bz-cy，cx-az ，ay-bx)=0 确定的函数，求24 设 z=z(x，y)是由 f(y-z，yz)=0 确定的，其中 f 对各个变量有连续的二阶偏导数，求25 设函数 z=z(x，y)由方程 x2+y2+z2=xyf(z2)，其中 f 可微，求 的最简表达式26 设函数 z=z(x，y)由方程 z=f(y+z，y+z) 所确定，其中 f(x，y)具有二阶连续偏导数，求 dz27 若 =x+y 且满足 z(z，0)=z，z(0，y)=y 2，求 z(x，y)28 设 z=f(x，y)二阶可偏导， =2，且 f(x，0)=1，f y(
5、x，0)=x ，求 f(x，y)29 设 f(x，y)二阶连续可偏导，g(x ，y)=f(e xy，x 2+y2)，且证明：g(x，y)在(0，0)处取极值，并判断是极大值还是极小值，求极值30 试求 z=f(x，y)=x 3+y3-3xy 在矩形闭域 D=(x，y) 0x2，-1y2)上的最大值、最小值31 求函数 f(x，y)=4x-4y-x 2-y2 在区域 D：x 2+y218 上最大值和最小值32 求函数 z=x2+2y2-x2y2 在 D=(x，y)x 2+y24，y0上的最小值与最大值33 求 u=x2+y2+z2 在约束条件 ，下的最小值和最大值考研数学二（多元函数微分学）模拟
6、试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 取 f(x，y)= 显然 f(x，y)在(0，0)处偏导数存在，但 不存在，所以应选(D)【知识模块】 多元函数微分学二、填空题2 【正确答案】 1【试题解析】 f x=exyz2+ x+y+z+xyz=0 两边关于 x 求偏导得将 x=0，y=1，z=-1 代入得 ，故fx(0，1，-1)=1【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 【试题解析】 lnz= ，两边关于 x 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 1【试题解析】 两边关于 x 求偏导得 2co
7、s(x+2y-3z)2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z 两边关于 y 求偏导得 2cos(x+2y-3z)【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 47【试题解析】 (x)=f x(x，f(x，2x)+f y(x，f(x ，2x).f x(x，2x)+2f y(x，2x)， 则(1)=fx(1，f(1 ，2)+f y(1，f(1 ，2).f x(1，2)+2f y(1，2) =f x(1，2)+f y(1，2).fx(1，2)+2f y(1，x)=3+4(3+8)=47【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 -2【试题解析】 令 = =2 得 f(x，y)=-3x+4y+o(
8、)，由二元函数可全微定义得 fx(0，0)=-3，f y(0，0)=4，故 2fx(0，0)+fy(0，0)=-2【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 【试题解析】 x=e，y=0 时，z=1x=ze y+z 两边关于 x 求偏导得 1=x=zey+z 两边关于 y 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 由 =0=f(0，0)得 f(x，y)在(0，0)处连续即 f(x，y)在(0，0)处可微【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 f(x，2x)=x 2 两边关于 x 求导得 fx(x，2x)+2f y(x，2x)
9、=2x，由fx(x，2x)=x 得 fy(x，2x)= fx(x，2x)=x 两边关于 x 求导得 fxx(x，2x)+2f xy(x，2x)=1，f y(x，2x)= 两边关于 x 求导得 fyx(x，2x)+2f yy(x，2x)= ，解得 fxx(x，2x)=0【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 =exsinyf1+2xf2， =excosf2+exsiny(excosyf11+2yf12)+2x(excosyf21+zyf22) =
10、excosyf1+e2xsinycosyf11+2ex(ysiny+xcosy)f“12+4xyf“22【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 =2f1+ycosxf2， =2(-f11+sinxf12)+cosxf2+ycosx(-f21+sinxf“22)=-2f11+(2sinx-ycosx)f“12+cosxf2+ysinxcosxf2【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 =fy1+xf2， =y(yf11+xf12)+f2+
11、x(yf21+xf22)=y2f11+2xyf+x2f22+f2， =xf1-yf2， =x(xf11-yf12)-f2-y(xf21-yf22)=x2f11-2xyf12+y2f22-f2， =(x2+y2)(f11+f22)=x2+y2【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 =0 两边关于 x 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 =f+xf1+f2.(-tanx)+f3.xsiny-1.siny=f+xf1-xtanxf2+xsinysinyf3；=xf3xsinycosylnx【知识模块】 多元函数微分学22 【
12、正确答案】 方法一 z-y-x+xez-y-x=0 两边关于 x，y 求偏导得方法二 z-y-x+xez-y-x=0 两边微分得 dz-dy-dx+d(xez-y-x)=0，即 dz-dy-dx+(ez-y-x-xez-y-x)dx-xez-y-xdy+xez-y-xdz=0，解得【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 (bz-cy，cx-az ，ay-bx)=0 两边关于 x 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 f(y-x，yz)=0 两边关于 x 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 x 2+y2+z2=xyf(z2)两边关于 x 求偏导得【知
13、识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 x=f(y+z，y+x) 两边关于 x 求偏导得z=f(y+z，y+x)两边关于 y 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 由 由z(x， 0)=x 得 +(0)=x，从而 (x)=1，(0)=0；再由 z(0，y)=y 2 得 (y)=y2，故 z(x，y)= +x+y2【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 由 =2 得 =2y+(x)，由 fy(x，0)=x 得 (x)=x，即=2y+x，从而 z=y2+xy+(x)，再由 f(x，0)=1 得 (x)=1，故 f(x，y)=y 2+xy+1【知识模块】 多元函数微分学
14、29 【正确答案】 由 f(x，y)=1-x-y+ 得 f(x，y)=-(x-1)-y+由可微的定义得 f(1，0)=0 ， fx(1，0)=f y(1，0)=-1=xexyf2+2yf2，g x(0，0)=0，g y(0，0)=0 =y2exyyf1+yexy(yexyf11+2xf12)+2f1+2x(yexyf21+2xf22)， =(exy+xyexy)f1+yexy(xexyf11+2yf12)+2x(xexyf21+2yf22)， =x2exyf1+xexy(xexyf11+2yf12)+2f2+2y(xexyf21+2yf22)，则 A=gxx(0，0)=-2 ，B=g xy(0
15、，0)=-1，C=g yy(0，0)=-2， 因为 AC-B2=30 且 A0，所以 g(x，y) 在(0，0) 处取到极大值，极大值为 g(0，0)=0【知识模块】 多元函数微分学30 【正确答案】 当(x，y)在区域 D 内时，由f(1，1)=-1；在 L1：y=-1(0x2)上，z=x 3+3x-1，因为 z=3x2+30，所以最小值为 z(0)=-1，最大值为 z(2)=13；在L2：y=2(0x2)上，z=x 3-6x+8，由 z=3x2-6=0 得；在 L3：x=0(-1y2)上，z=y3，由 z=3y2=0 得 y=0，z(-1)=-1，z(0)=0，z(2)=8；在 L4：x=
16、2(-1y2)上，z=y 3-6y+8，由 z=3y2-6=0 得 ，故 z=x3+y3-3xy 在 D 上的最小值为 m=-1，最大值为 M=13【知识模块】 多元函数微分学31 【正确答案】 当 x2+y218 时，由 得 x=2，y=-2 ，f(2，-2)=8；当 x2+y2=18 时，令 F=4x-4y-x2-y2+(x2+y2-18)，而 f(3，-3)=6，f(-3 ，3)=-42， 故 f(x， y)在区域 D 上的最小值为 m=6，最大值为 M=42【知识模块】 多元函数微分学32 【正确答案】 当(x，y)位于区域 D 内时，在 L1：y=0(-2x2)上，z=x2，由 z=2x=0 得 x=0， z(2)=4，z(0)=0；在 L2： (0t)上，z=4cos2t+8sin2t-16sin2tcos2t=4+4sin2t-16sin2t(1-sin2t)=4-12sin2t+16sin4t=16(sin2t-当 sin2t=1 时，z 的最大值为 8；当 sin2t= 故 z 的最小值为 0，最大值为 8【知识模块】 多元函数微分学33 【正确答案】 令 F=x2+y2+z2+(x2+y2-z)+(x+y+z-4)，【知识模块】 多元函数微分学
