1、考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(，y) sin ，则 f(，y)在(0，0) 处( )（A）对 可偏导，对 y 不可偏导（B）对 不可偏导，对 y 可偏导（C）对 可偏导，对 y 也可偏导（D）对 不可偏导，对 y 也不可偏导2 设 f(0，y 0)，f y(0，y 0)都存在，则( )（A）f(，y)在( 0，y 0)处连续（B） f(，y)存在（C） f(，y)在( 0，y 0)处可微（D） (，y 0)存在3 设 f(，y) 在点 (0，0)的某邻域内连续，且满足 3，则函数 f(，y) 在
2、点 (0，0)处( )（A）取极大值（B）取极小值（C）不取极值（D）无法确定是否有极值二、填空题4 _5 设 ，则 _6 设 z ，则 dz _7 设 zln( )，则 _ 8 设 zf(，y) 2arctan y 2arctan ，则 _9 设 f(，y) 满足 2，f( ，0)1，f y(，0)，则 f(，y)_10 z f(y)yg( 2y 2)，其中 f，g 二阶连续可导，则 _11 设 zf( 2y 2， )，且 f(u，v)具有二阶连续的偏导数，则 _12 设 zyf( )，其中 f(u)可导，则 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 u ，求 du14
3、设 zyf( 2y 2)，其中 f 可导，证明： 15 设 z ，其中 f，g 二阶可导，证明： 016 设 uf(y， 2y 2)，其中 f 二阶连续可偏导，求 17 设 zfg(y)，zy，其中 f 二阶连续可偏导， g 二阶可导，求 18 设 zz(z，y)由 yzyz 确定，求 19 举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续20 设 f(，y) 讨论函数 f(，y)在点(0，0)处的连续性与可偏导性21 讨论 f(，y) 在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性22 讨论 f(，y) 在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性23 设 zf(e tsint，tant)，求
4、24 设 z siny，求 25 设 z f(t，e t)dt，f 有一阶连续的偏导数，求 26 设 u ，求 du27 设函数 z z(，y)由方程 2y 2z 2yf(z 2)所确定，其中厂是可微函数，计算并化成最简形式28 设 f(t)二阶可导，g(u，v)二阶连续可偏导，且 zf(2y)g(，y)，求 29 设 zf(e siny， 2y 2)，且 f(u，v)二阶连续可偏导，求 30 设 zf( 2y 2，y，z)，其中 f(u，v，w)二阶连续可偏导，求 31 设 zz(，y)由 zyz yez y 0 确定，求 及 dz32 设 zf(yg( yz)，其中 f，g 可微，求 33
5、 设 uf(z) ，其中 z 是由 zy() 确定的 ，y 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函数证明：34 设 yf()yg(z)，且 f(z)yg(z)0 ，其中 zz( ，y)是 z，y 的函数证明：z g(z) yf(z) 35 设 zf(，y)由方程 zy zy 0 确定，求 dz考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 不存在，所以 f(，y)在(0，0)处对 不可偏导； 因为0，所以 fy(0，0)0，即f(，y)在(0，0)处 y 可偏导，应选 B【知识模块】
6、多元函数微分学2 【正确答案】 D【试题解析】 多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，A 不对； 函数 f(，y)在(0，0)处可偏导，但 f(，y)不存在，B 不对； f(，y)在( 0，y 0)处可偏导是可微的必要而非充分条件，C 不对， 应选 D，事实上由 f(0，y 0) 存在得 f(0，y 0)f( 0，y 0)【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 3，根据极限保号性，存在 0，当 0 时，有 0，而 21siny0， 所以当 0 时，有 f(，y) f(0，0)0，即 f(，y)f(0，0)，所以f(，y)在点(0，0)处取极大值，选 A【知识模块】
7、多元函数微分学二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 sin2y(yddy)【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 y 2y 1【试题解析】 由 2 得 2y 1() 因为 fy(，0) ，所以 1()，即2y， 再由 2y 得 f(，y)y 2y 2()， 因为 f(，0)1，所以2() 1，故 f(，y)y 2y1【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】
8、 y 2f(y)2g( 2y 2)4y 2g(2 y2)【试题解析】 2yg( 2y 2)， y 2f(y)2g( 2y 2)4y 2g( 2y 2)【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 2z【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 由 u 得【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 2yf( 2y 2)， f( 2 y2)2y 2f(2y 2)，则【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 f
9、12f 2， f 12yf 2 f 112f 122f 22(f212f 22)f 114f 124 2f 222f 2 f 112yf 122f 22y(f212yf 22) f 114yf 124y 2f 222f 2 2f 114( y)f124(y)f 224f 2【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 g(y)f 1f 2 g(y)f 1g(y)g(y)f 11f 12g(y)f 21 f 22 g(y)f1g(y)g(y)f 11g(y)g(y)f 12f 22【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 令 Fy yz，【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 设
10、 f(，y) ，显然 f(，y)在点(0，0)处连续， 但不存在，所以 f(，y)在点(0，0)处对 不可偏导，由对称性，f(，y)在点(0，0)处对 y 也不可偏导 设 f(，y)因为所以 f(，y)在点(0 ，0)处可偏导，且 f(0，0)f y(0，0)0 因为所以 (，y)不存在，而 f(0，0)0，故f(，y) 在点(0，0)处不连续【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 因为， 所以 (，y)不存在，故函数 f(，y)在点(0，0) 处不连续 因为， 所以函数 f(，y)在点(0，0)处 对 ，y 都可偏导【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 因为 0 ， 且0，
11、 所以 (，y) 0f(0，0)， 即函数 f(，y)在点(0，0)处连续 因为 0，所以 f(0，0)0，根据对称性得yy(0， 0)0，即函数 f(，y)在(0，0)处可偏导 z f (0，0)f y(0，0)yf(，y) f(0，0)f y(0，0)y ， 因为不存在， 所以函数 f(，y)在(0，0)不可微【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 因为 f(，y)0f(0，0)，所以 f(，y)在点(0，0)处连续 因为 0，所以 f(0，0)0，由对称性得 fy(0，0)0，即函数 f(，y)在点(0，0)处可偏导 z f (0，0)f y(0，0)yf(，y)f (0，0)
12、fy(0，0)y ysin ， 因为 0， 且 0， 所以函数 f(，y)在点(0 ，0)处可微【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 e t(sintcost)f 1f 2sec2t【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 2y 2 z2yf(z 2)两边对 求偏导得 22z yf(z 2)2yzf(z 2) ， 解得 2y 2z 2yf(z 2)两边对 y求偏导得 2y2z f(z 2)2yzf(z 2) ，【知识模块】 多元函数微分
13、学28 【正确答案】 2f(2y)g 1(，y) yg 2(，y)， 2f(2 y)g 12(，y)g 2(，y)yg 22(，y)【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 f 1esiny2f 2， fe cosye siny(f 11ecosy2yf12)2(f 21ecosy2yf 22) f 1ecosy f 11e2sin2y2e (ysinycosy)f124yf 22【知识模块】 多元函数微分学30 【正确答案】 2f 1yf 2f 3， 2(2yf 11f 12)f 2y(2yf 21f 22)2yf 31f 32 4yf 112(y)f 12f 2yf 222yf 31
14、f 32【知识模块】 多元函数微分学31 【正确答案】 方程 yzye z 0 两边对 求偏导得方程 yz ye zy 0 两边对 y 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学32 【正确答案】 等式 z f(yg(yz)两边对 求偏导得等式 zf( yg(yz)两边对 y 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学33 【正确答案】 ，zy(z)两边对 求偏导得zy(z) 两边对 y 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学34 【正确答案】 y f(z)yg(z)两边分别对 ，y 求偏导，得【知识模块】 多元函数微分学35 【正确答案】 对 zy zy 0 两边求微分，得 dzdyde zy de zy (dzdyd)0 解得dz dy【知识模块】 多元函数微分学
