1、考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(，y) 在 (0，0)的某邻域内连续，且满足 3，则f(，y) 在(0 ，0)处( ) （A）取极大值（B）取极小值（C）不取极值（D）无法确定是否取极值2 设 uf(y，z)有二阶连续的偏导数，则 ( )（A）f 2f 11(z)f 12zf 22（B） f 12 zf 22（C） f2f 12zf 22（D）zf 223 函数 zf(，y)在点( 0，y 0)可偏导是函数 zf(，y)在点( 0，y 0)连续的( )（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件
2、（D）非充分非必要条件4 设可微函数 f(，y)在点( 0，y 0)处取得极小值，则下列结论正确的是 ( )（A）f( 0，y)在 yy 0 处导数为零（B） f(0，y)在 yy 0 处导数大于零（C） f(0，y)在 yy 0 处导数小于零（D）f( 0，y)在 yy 0 处导数不存在二、填空题5 设 zf( 2y 2z 2，yz)且 f 一阶连续可偏导，则 _6 设 yy(，z)是由方程 eyz 2y 2z 2 确定的隐函数，则 _7 设 zf(，y)是由 e2yy 2z 确定的函数，则 _8 设 yy()由 0 确定，则 _9 设 zz(，y)由 ze zy 2 确定，则 dz_10
3、设 zf(y，yz，z) ，其中 f 连续可偏导，则 _11 设 zyf( )，其中 f 可导，则 _12 由方程 yz 确定的隐函数 zz(，y)在点(1，0，1)处的微分为 dz _13 设 f(，y，z)e 2yz2，其中 zz(z ，y) 是由 yzyz0 确定的隐函数，则f(0，1，1)_14 设 f(，y)可微，且 f1(1，3)2，f 2(1，3)1，令 zf(2y， )，则dz (1,3)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 uf(，y，z)有连续的偏导数，yy() ，zz()分别由方程 eyy0 与ez z0 确定，求 16 设 yy()，zz()是由
4、方程 zf( y)和 F(，y，z)0 所确定的函数，其中f 和 F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 17 设 yf(，y)，其中 t 是由 G(，y，t)0 确定的 ，y 的函数，且 f(，t) ，G(，y，t)一阶连续可偏导，求 18 设 zz(，y)由方程 zlnz dt1 确定，求 19 设 0 且 F 可微，证明： zy20 设变换 可把方程 0 简化为 0，求常数a21 设 zf(y)，y，其中 f 二阶连续可偏导， 二阶可导，求 22 设 f(y，y) 2y 2 ，求 f(u，v)，并求 23 设 zf(，y)由 f(y ，y) 2y 2y 确定，求 dz24 求二元函
5、数 f(，y) 2(2y 2)ylny 的极值25 求函数 f(，y)( 22y)e y 的极值26 求 u 2 y2z 2 在 1 上的最小值27 平面曲线 L： 绕 z 轴旋转所得曲面为 S，求曲面 S 的内接长方体的最大体积考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 3，所以由极限的保号性，存在0，当 0 时， 0因为当0 时，y 20，所以当 0 时，有 f(，y)f(0，0)，即 f(，y) 在(0，0)处取极大值，选 A【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 C【试
6、题解析】 f 1zf 2， f 12f 2zf 22，选 C【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 如 f(，y) 在点(0，0)处可偏导，但不连续； 又如 f(，y) 在(0 ，0)处连续，但对 不可偏导【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 A【试题解析】 可微函数 f(，y)在点( 0，y 0)处取得极小值，则有 f(0，y 0)0，f y(0，y 0)0， 于是 f(0，y)在 yy 0 处导数为零，选 A【知识模块】 多元函数微分学二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 z f( 2y 2z 2，yz)两边对 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学6 【正
7、确答案】 【试题解析】 e yz 2y 2z 2 两边对 z 求偏导得， 从而【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 【试题解析】 将 代入 e2yzy 2z 中得 z0， e2yz y 2z 两边求微分得 2e2yz(zdyydz)d2ydydz0， 将 ，y ，z0 代入得【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 e 1【试题解析】 当 0 时，y1， 0 两边对 求导，得 10，将 0，y1 代入得 e1【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 【试题解析】 z e zy 2 两边求微分得 d(ze 2)d(y 2)，即dze zdzy 2d2ydy ，解得 dz【知识模块
8、】 多元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 z f( y，yz，z)两边求 求偏导得， 解得【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 z y【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案】 d dy【试题解析】 两边求微分得 yzdzdyydz(dydyzdz)0， 把(1，0，1)代入上式得 dzd dy【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 1【试题解析】 f (，y，z) ，yzyz 0 两边对 求偏导得 1 0， 将 0，y1，z1 代入得解得 f(0，1，1)1【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 7d 3dy【试题解析】 则2f 1(1，
9、3)3f 2(1，3)7， f 1(1，3)f 2(1，3)3， 则 dz (1，3) 7d3dy【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 ，方程 eyy0 求导得方程 ezz 0 两边对 求导得【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 z f( y)及 F(，y，z)0 两边对 求导数，得【知识模块】 多元函数微分学17 【正确答案】 将 yf(，t)与 G(，y，t)0 两边对 求导得【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 当 0 ，y0 时，z 1 zlnz 1 两边分别对 和 y 求偏导得 两边对 y 求偏导得【知识
10、模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 0 两边对 求偏导得两边对 Y 求偏导得【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 将 u，v 作为中间变量，则函数关系为 zf(u，v)，则有将上述式子代入方程 0 得根据题意得 解得 a3【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 z f(y)，y两边关于 y 求偏导得 f 1f 2 (f 11f 12)f 1f 21f 22 f 11()2f 12f 1f 22【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 令 从而 f(u，v)uv 于是【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 令 代入得 f(u，v)从而zf( ， y)y ，【
11、知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 二元函数 f(，y)的定义域为 D (，y)y0 ，因为 ACB 20 且 A0，所以 为 f(， y)的极小点，极小值为【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 由ACB 22 0 及 A20 得 (，y)(1，0) 为 f(，y)的极小值点，极小值为f(1，0)1【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 令 F 2y 2z 2( 1) ，u 2y 2 z2 在 1 上的最小值为【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 曲线 绕 轴旋转一周所得的曲面为 S：1 根据对称性，设内接长方体在第一卦限的顶点坐标为M(，y，z)，则体积为 V8yz 令 Fyz ( 1)，由由实际问题的特性及点的唯一性，当 时，内接长方体体积最大，最大体积为V ab2【知识模块】 多元函数微分学
