1、考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 二元函数 f(x，y)= 其中 m，n 为正整数，函数在(0，0)处不连续，但偏导数存在，则 m，n 需满足 ( )（A）m2，n2（B） m2， n2（C） m2，n2（D）m2，n22 函数 x=f(x， y)= 在(0，0)点 ( )（A）连续，但偏导数不存在（B）偏导数存在，但不可微（C）可微（D）偏导数存在且连续3 函数 z=x3+y3 一 3x2 一 3y2 的极小值点是 ( )（A）(0 ，0)（B） (2，2)（C） (0，2)（D）(2 ，0)4 函数 z=
2、f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续是它在该点偏导数存在的 ( )（A）必要而非充分条件（B）充分而非必要条件（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件5 函数 f(x，y)=（A）等于 1（B）等于 2（C）等于 0（D）不存在6 设函数 ，则点(0，0)是函数 z 的 ( )（A）极小值点且是最小值点（B）极大值点且是最大值点（C）极小值点但非最小值点（D）极大值点但非最大值点7 设 f(x，y)= 则 fx(2，1)= ( )8 zx(x0，y 0)=0 和 zy(x0，y 0)=0 是函数 z=z(x，y)在点 (x0，y 0)处取得极值的( )（A）必要条件但非充分条件（B）
3、充分条件但非必要条件（C）充要条件（D）既非必要也非充分条件9 函数 f(x，y)= 不连续的点集为 ( )（A）y 轴上的所有点（B） x=0，y0 的点集（C）空集（D）x=0，y0 的点集10 函数 f(x， y)= 在(0，0)点 ( )（A）连续，偏导数存在（B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在（D）不连续，偏导数不存在二、填空题11 函数 f(x， y)=ln(x2+y2 一 1)的连续区域是_12 13 若函数 z=2x2+2y2+3xy+ax+by+c 在点( 一 2，3)处取得极小值一 3则常数a、b、c 之积 abc=_14 设 u=x4+y4 一 4x2y2,则
4、15 16 设 f(x，y)= 则 fx(0，1)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 f 在点(a，b)处的偏导数存在，求18 设 f(x)可导，F(x，y)= 一 x+，y0，19 试分析下列各个结论是函数 z=f(x，y)在点 P0(x0，y 0)处可微的充分条件还是必要条件(1)二元函数的极限 f(x，y)存在； (2)二元函数 z=f(x，y) 在点(x0，y 0)的某个邻域内有界；(3) f(x，y 0)=f(x0，y 0), f(x0,y)=f(x0，y 0)；(4)F(x)=f(x， y0)在点 x0 处可微，G(y)=f(x 0，y)在点 y0 处可
5、微； (5) fx(x，y 0)一fx(x0，y 0)=0， fy(x0，y)一 fy(x0，y 0)=0；(6)20 设 f(x，y)在点(0，0)处连续，且 其中a，b，C 为常数 (1)讨论 f(x，y)在点(0，0)处是否可微，若可微则求出 df(x，y)|(0,0)； (2)讨论 f(x，y)在点 (0，0)处是否取极值，说明理由21 设函数 f(x，y)可微，又 f(0，0)=0 ，f x(0，0)=a ，f y(0，0)=b，且 (t)=ft，f(t，t 2)，求 (0)22 设 z= +y(x+y)，其中 f 及 二阶可微，求 23 已知 其中 a0，a1，求 dz24 求 u
6、=xyzx+y+z 的全微分25 设 z= 其中 f，g 均可微，求26 设 u= 其中函数 f，g 具有二阶连续偏导数，求27 设 z=f(2xy)+g(x，xy)，其中函数 f(t)二阶可导，g(u，y)具有连续二阶偏导数，28 设函数 z=f(u)，方程 u=(u)+yxP(t)dt 确定 u 是 x，y 的函数，其中 f(u)，(u)可微，P(t),(u)连续，且 (u)1求29 设 f(x，y)=30 设 u=f(x， y，z)有连续偏导数，y=y(x)和 z=z(x)分别由方程 exy 一 y=0 和 ez 一xz=0 所确定，求31 设函数 f(u)在(0，+)内具有二阶导数，且
7、 满足等式(1)验证 (2)若 f(1)=0，f(1)=1，求函数 f(u)的表达式32 设 z=u(x，y)e ax+y, ，求常数 a，使考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 当(x，y) 沿 y=kx(k0)趋向点(0，0)时，当 m2，n2 时，k 取不同值，上式结果不唯一，所以函数在(0 ，0) 处极限不存在，故函数不连续又因为同理可得 fy(0，0)=0 ，故偏导数存在当 n2 时，有 n=1，因而，函数f(x，y)在(0,0) 处连续同理，当 m2 时，函数 f(x，y)
8、在(0，0)处连续综上，应选(B)【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 从讨论函数是否有偏导数和是否可微入手由于所以 fx(0，0)=0 ，同理fy(0，0)=0令 =zfx(0，0) x 一 fy(0，0) y=当( x，y)沿 y=x 趋于(0，0)点时，即 不是 的高阶无穷小，因此 f(x，y)在(0，0)点不可微，故选(B)【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 ，可得到 4 个驻点(0，0)(2，2)(0，2)和(2，0) 在(0，2)点和(2，0)点，均有 ACB20，因而这两个点不是极值点在(0，0)点，AC 一 B2=360，且 A
9、=一 60，所以(0，0)点是极大值点在 (2，2)点，AC 一B2=360，且 A=120，所以 (2，2)点是极小值点，故选(B)【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 在多元函数中，一点连续与一点可偏导无必然联系【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 当 xy0 时， ，当(x，y)(0，0)时，由夹逼准则，可得极限值为 0【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 由极值点的判别条件可知【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 D【试题解析】 若 z=z(x，
10、y)= 则(0 ，0)为其极小值点，但 zx(0，0)，zy(0，0)均不存在【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 C【试题解析】 f(x，y)当 x0 时，为二元连续函数，而当所以，(0，y 0)为 f(x，y)的连续点，故此函数的不连续点为空集【知识模块】 多元函数微分学10 【正确答案】 C【试题解析】 取 y=kx，可得 f(x，y)在(0，0)处不连续由偏导数定义，可得f(x，y)在(0，0)处的偏导数存在【知识模块】 多元函数微分学二、填空题11 【正确答案】 x 2+y21【试题解析】 一切多元初等函数在其有定义的区域内是连续的【知识模块】 多元函数微分学12 【正确答案
11、】 0【试题解析】 本题属于基本计算，考研中多次考过这种表达式【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 30【试题解析】 由极值的必要条件知在点(一 2，3)处，z x=0，z y=0，从而可分别求出 a、b、c 之值【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 12x 2 一 8y2【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 一 sin 【试题解析】 由 x=rcos，y=rsin ，得 u=【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 =fx(a，b
12、)+f x(a，b)=2fx(a，b) 【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 结论(1)(4) 中每一个分别都是 z=f(x，y)在点 P0(x0，y 0)处可微的必要条件，而非充分条件而结论(6)是其充分非必要条件因 z=f(x，y)在点P0(x0，y 0)处可微，故 z=f(x，y)在点 P0(x0，y 0)处连续，即f(x0，y 0)，则极限 必存在，于是 z=f(x，y)在点P0(x0，y 0)某邻域有界 结论(3)表示一元函数 F(x)=f(x，y 0)在 x0 处连续，G(y)=f(x0， y)在 y0 处连续，它是二元函数
13、 z=f(x，y)在点 P0(x0，y 0)处连续的必要条件，而非充分条件而 z=f(x，y)在点 P0(x0，y 0)处连续又是其可微的必要条件，且非充分条件 只要在 z=f(x，y)在 P0(x0，y 0)的全微分定义 z=Ax+By+o()，中取特殊情况，分别令y=0 与x=0 即证得结论(4)结论(5)的表示偏导函数 fx(x，y)在 y=y0 时的一元函数fx(x，y 0)在 x0 处连续，它仅是二元偏导函数 fx(x， y)在 P0(x0，y 0)处连续的一个必要条件，对 有类似的结果而 z=f(x，y)在P0(x0，y 0)处可微又是 fx(x，y) ，f y(x，y)在 P0(
14、x0，y 0)处连续的另一个必要条件，所以结论(5)既不是充分条件又是不是必要条件 结论(6)的等价形式是 z=f(x，y)一f(x0，y 0)=o()，= 它是相应全微分定义中 A=0，B=0 的情形，则结论(6)是其可微的充分非必要条件【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 (1)当(x，y)(0 ，0)时 ln(1+x2+y2)x 2+y2，由再由极限与无穷小的关系可知， =1+o(1)(o(1)为当(x，y)(0，0)时的无穷小量)f(x，y)一 f(0，0)-bx-cy=x 2+y2+(x2 一 y2)o(1)=o() 即f(x，y)一 f(0，0)=bx+cy+o()(0)
15、 由可微性概念 f(x,y)在点(0，0)处可微且df(x，y)| (0,0)=bdx+cdy(2)由 df(x，y)| (0,0)=bdx+cdy 于是当b，c 不同时为零时 f(x，y)在点(0，0)处不取极值当 b=c=0 时，由于因此 f(x，y)在点(0， 0)处取极小值【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 在 (t)=ft，f(t ，t 2)中令 u=t，v=f(t，t 2)，得 (t)=f(u ，v)，(t)=f1(u，v). +f2(u，v). =f1(u，v).1+f 2(u，v).f 1(t，t 2).1+f2(t，t 2).2t=f1t，f(t，t 2)+f2t
16、，f(t ， t2).f1(t，t 2)+f2(t，t 2).2t，所以 (0)=f 1(0，0)+f 2(0，0).f1(0，0)+f 2(0，0).2.0=a+b(a+0)=a(1+b)【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 令 u=xy，v=x+y ，则 z= +y(v)由于 f 及 二阶可微，而u=xy， v=x+y 均为初等函数，故满足 这里先求 较为简便一些由复合函数的求导法则，得【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 u x=(1+x)yzex+y+z，u y=(1+y)xzex+y+z，u z=(1+z)xyex+
17、y+z，du=e x+y+z(1+x)yzdx+(1+y)xzdy+(1+z)xydz【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 在方程 u=(u)+yxP(t)dt 两边分别对 x，y 求偏导数，得【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学30 【正确答案】 方程 exyy=0 两：边关于 x 求导，有方程 ez 一 xz=0 两边关于 x 求导，有于是【知识模块】 多元函数微分学31 【正确答案】 (1)求二元复合函数中必然包含 f(u)及 f“(u)，将，就能找出 f(u)与 f“(u)的关系式(2)解可降阶的二阶线性微分方程的通解和特解在方程 中，令 f(u)=g(u)，则 f“(u)=g(u)，方程变为 =0，这是可分离变量微分方程，解得 由初始条件 f(1)=1 得 C1=1，所以，f(u)= 两边积分得 f(u)=lnu+C 2由初始条件 f(1)=0 C2=0，所以 f(u)=lnu【知识模块】 多元函数微分学32 【正确答案】 所以 a=1【知识模块】 多元函数微分学
