1、考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 （A）等于 0（B）不存在（C）等于（D）存在但不等于 也不等于 02 3 （A）等于 0（B）不存在（C）等于（D）存在且不等于 0 及4 设 u=f(r)，而 f(r)具有二阶连续导数，则 =( )5 考虑二元函数 f(x，y)的下面 4 条性质： f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续 f(x，y)在点(x 0， y0)处的两个偏导数连续 f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微 f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数存在若用“P Q”表示可由性质 P 推出
2、性质 Q，则有 ( )（A）（B） （C） （D）6 设函数 u=u(x，y)满足 及(x，2x)=x ，u 1(x，2x)=x 2，u 有二阶连续偏导数，则 u11“(x，2x)=( )7 利用变量替换 u=x，y= ，可将方程 化成新方程 ( )8 若函数 u= 其中 f 是可微函数，且 =G(x，y)u，则函数G(x，y)= ( )（A）x+y（B） xy（C） x2 一 y2（D）(x+y) 29 已知 du(x，y)=axy 3+cos(x+2y)dx+3x2y2+bcos(x+2y)dy，则 ( )（A）a=2 ，b=一 2（B） a=3，b=2（C） a=2，b=2（D）a= 一
3、 2，b=210 设 u(x，y)在平面有界闭区域 D 上具有二阶连续偏导数，且则 u(x，y)的 ( )（A）最大值点和最小值点必定都在 D 的内部（B）最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上（C）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上（D）最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上11 设函数 z=(1+ey)cos xyey，则函数 z=f(x，y) ( )（A）无极值点（B）有有限个极值点（C）有无穷多个极大值点（D）有无穷多个极小值点二、填空题12 设 f 可微，则由方程 f(cx 一 az，cybz)=0 确定的函数 z=z(z，y)满足azx+bzy=_13 设
4、函数 z=z(x，y)由方程 sin x+2y-z=ez 所确定，则 =_14 函数 f(x， y，z)=一 2x2 在 x2 一 y2 一 2z2=2 条件下的极大值是_15 函数 u=arcsin 的定义域为_16 设 z=esinxy，则 dz=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 已知函数 u=u(x，y)满足方程 试选择参数 a，b，利用变换 u(x，y)=y(x，y)e ax+by 将原方程变形，使新方程中不出现一阶偏导数18 求二元函数 z=f(x，y)=x 2y(4 一 xy)在由直线 x+y=6，x 轴和 y 轴所围成的闭合区域 D 上的极值、最大值与最小
5、值19 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入 R(万元)与电台广告费 x1(万元)及报纸广告费用 x2(万元)之间的关系有如下经验公式： R=15+14x 1+32x28x1x22x12 一 10x22 (1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略； (2)若提供的广告费用为 15 万元，求相应的最优广告策略20 求 f(x，y)=x+xy 一 x2 一 y2 在闭区域 D=(x，y)| 0x1，0y2)上的最大值和最小值21 设 f(x，y)=kx 2+2kxy+y2 在点(0，0)处取得极小值，求 k 的取值范围22 设 f(x，y)具有二阶连续偏导数
6、，证明：由方程 f(x，y)=0 所确定的隐函数y=(x)在 x=a 处取得极值 b=(a)的必要条件是 f(a ，b)=0，f x(a，b)=0，f y(a，b)0 且当 r(a，b)0 时，b=(a) 是极大值；当 r(a，b)0 时，b=(a)是极小值，其中23 求函数 z=x2+y2+2x+y 在区域 D：x 2+y21 上的最大值与最小值24 求内接于椭球面 的长方体的最大体积25 在第一象限的椭圆 +y2=1 上求一点，使过该点的法线与原点的距离最大26 在球面 x2+y2+z2=5R2(x0，y0，z0)上，求函数 f(x，y，z)=ln x+ln y+3ln z的最大值，并利用
7、所得结果证明不等式 (a0，b0，c 0)27 设 讨论它们在点(0，0)处的 偏导数的存在性； 函数的连续性； 方向导数的存在性； 函数的可微性28 设 A，B，C 为常数， B2 一 AC0，A0u(x ，y)具有二阶连续偏导数，试证明：必存在非奇异线性变换 =1x+y，= 2x+y(1， 2 为常数)，29 设 f(x，y)在点 O(0，0)的某邻域 U 内连续，且试讨论 f(0，0)是否为 f(x，y)的极值?是极大值还是极小值?30 求函数 f(x，y)=x 2+2y2 一 x2y2 在区域 D=(x，y)|x 2+y24，y0)上的最大值与最小值31 设 h(t)为三阶可导函数，u
8、=h(xyz)，h(1)=f xy“(0，0)，h(1)=f yx“(0，0)，且满足=x2y2z2h“(xyz)，求 u 的表达式，其中32 求证：f(x，y)=Ax 2+2Bxy+Cy2 在约束条件 g(x,y)= 下有最大值和最小值，且它们是方程 k2 一(Aa 2+Cb2)k+(ACB2)a2b2=0 的根考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 当取 y=kx 时， 与 k 有关，故极限不存在【知识模块】 多元函数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 将 x 视为常数，属基本计
9、算【知识模块】 多元函数微分学3 【正确答案】 B【试题解析】 取 y=x,故原极限不存在【知识模块】 多元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 属基本计算，考研计算中常考这个表达式【知识模块】 多元函数微分学5 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查图 141 中因果关系的认知：【知识模块】 多元函数微分学6 【正确答案】 B【试题解析】 等式 u(x，2x)=x 两边对 x 求导得 u1+2u2=1，两边再对 x 求导得 u11“+2u12“+2u21“+4u22“=0， 等式 u1(x，2x)=x 2 两边对 x 求导得 u11“+2u12“=2x， 将式及 u12“=u21“，u
10、 11“=u21“代入 式中得 u11“(x，2x)=【知识模块】 多元函数微分学7 【正确答案】 A【试题解析】 由复合函数微分法 于是【知识模块】 多元函数微分学8 【正确答案】 B【试题解析】 则 u=xyf(t)，于是 =(x-y)xyf(t)=(xy)u，即 G(x，y)=x 一 y【知识模块】 多元函数微分学9 【正确答案】 C【试题解析】 由 du(x，y)=axy 3+cos(x+2y)-dx+3x2y2+bcos(x+2y)dy 可知，以上两式分别对 y，x 求偏导得 3axy2 一2sin(x+2y)=6xy2 一 bsin(x+2y)故得 a=2，b=2 【知识模块】 多
11、元函数微分学10 【正确答案】 B【试题解析】 令 由于 B2 一 AC0，函数 u(x，y)不存在无条件极值，所以，D 的内部没有极值，故最大值与最小值都不会在 D 的内部出现但是 u(x，y)连续，所以，在平面有界闭区域 D 上必有最大值与最小值，故最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上【知识模块】 多元函数微分学11 【正确答案】 C【试题解析】 本题是二元具体函数求极值问题，由于涉及的三角函数是周期函数，故极值点的个数有可能无穷，给判别带来一定的难度事实证明，考生对这类问题把握不好，请复习备考的同学们注意加强对本题的理解和记忆得驻点为(k,cosk-1),k=0,1，2，又 zxx“
12、=一(1+ey)cos x，z xy“=一 ey sin x，z yy“=ey(cos x 一 2 一 y)(1)当 k=0，2，4，时，驻点为(k，0) ，从而 A=z xx“(k，0)=一 2，B=z xy“(k，0)=0 ，C=z yy“(k，0)= 一1，于是 B2 一 AC=一 2 0，而 A=一 20，即驻点 (k，0)均为极大值点，因而函数有无穷多个极大值； (2)当 k=1，3，时，驻点为(k ，一 2)，此时A=zxx“(k，一 2)=1+e-2， B=zxy“(k 一 2)=0，C=z yy“(k，一 2)=一 e-2，于是 B2 一AC=(1+e-2).e-20，即驻点
13、(k，一 2)为非极值点综上所述，故选(C)【知识模块】 多元函数微分学二、填空题12 【正确答案】 c【试题解析】 方程两边求全微分，得 f1.(cdxadx)+f2.(fdybdz)=0，即【知识模块】 多元函数微分学13 【正确答案】 【试题解析】 方程两端对 x 求偏导数【知识模块】 多元函数微分学14 【正确答案】 一 4【试题解析】 由拉格朗日乘数法可得【知识模块】 多元函数微分学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 多元函数微分学16 【正确答案】 e sinxycos xy(ydx+xdy)【试题解析】 z x=esinxycos xy.y，z y=esinxy co
14、s xy.x，则 dz=esinxy cos xy(ydx+xdy)【知识模块】 多元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 等式 u(x，y)=v(x，y)e ax+by 两边同时求偏导数，由题意可知，应令 2a+k=0，-2b+k=0，解得 原方程变为【知识模块】 多元函数微分学18 【正确答案】 由方程组 得 x=0(0y6)及点(4， 0)，(2，1)而点(4，0)及线段 x=0(0y6)在 D 的边界上，只有点(2，1)在D 内部，可能是极值点 f xx“=8y 一 6xy 一 2y2，f xy“=8x 一 3x2 一 4xy，f yy“=一2
15、x2 在点(2，1) 处，且 A0，因此点(2，1) 是 z=f(x，y)的极大值点，极大值 f(2，1)=4 在 D 的边界x=0(0y6)及 y=0(0x6)上，f(x，y)=0在边界 x+y=6 上，y=6 一 x 代入 f(x，y)中得，z=2x 3 一 12x2(0x6) 由 z=6x2 一 24x=0 得 x=0，x=4在边界 x+y=6 上对应 x=0，4，6 处 z 的值分别为：z| x=0=2x3 一 12x2|x=0=0，z| x=4=2x312x2|=一64，z| x=6=2x312x2|x=6=0 因此知 z=f(x，y)在边界上的最大值为 0，最小值为f(4，2)=一
16、 64 将边界上最大值和最小值与驻点(2 ，1) 处的值比较得，z=f(x ，y) 在闭区域 D 上的最大值为 f(2，1)=4，最小值为 f(4，2)=一 64【知识模块】 多元函数微分学19 【正确答案】 (1)利润函数为 z=f(x1，x 2)=15+14x1+32x28x1x2-2x1210x22 一(x1+x2) =15+13x1+31x28x1x22x12 一 10x22函数 z=f(x1，x 2)在(075 ，125)的二阶导数为 =一 20由于 B2 一 AC=64-80=一 160，A=一 40，所以函数 z=f(x1，x 2)在(075，125)处达到极大值，也即最大值所以
17、投入电台广告费 075 万元，报纸广告费 125万元时，利润最大 (2)若广告费用为 15 万元，则需求利润函数 z=f(x1，x 2)在x1+x2=15 时的条件极值 构造拉格朗日函数 F(x 1，x 2，)=15+13x 1+31x28x1x22x12 一 10x22+(x1+x215) ，由方程组得 x1=0，x 2=15即将广告费 15 万元全部用于报纸广告，可使利润最大【知识模块】 多元函数微分学20 【正确答案】 这是闭区域上求最值的问题由于函数 f(x，y)=x+xy 一 x2 一 y2在闭区域 D 上连续，所以一定存在最大值和最小值 首先求 f(x，y)=x+xyx 2 一y2
18、 在闭区域 D 内部的极值：g(x，y)=(fxy“)一 fxx“fyy“=一 3 得 f(x，y)=x+xy x2 一 y2 在闭区域 D 内部的极大值再求 f(x，y)在闭区域 D 边界上的最大值与最小值：这是条件极值问题，边界直线方程即为约束条件在 aT 轴上约束条件为 y=0(0x1)，于是拉格朗日函数为 F(x，y，)=x+xy x2 一 y2+y，在下面边界的端点(0，0) ，(1 ，0) 处 f(0，0)=0 ，f(1 ，0)=0，所以，下面边界的最大值为 ，最小值为 0同理可求出：在上面边界上的最大值为一 2，最小值为一 4;在左面边界上的最大值为 0，最小值为一 4；在右面边
19、界上的最大值为 ，最小值为一 2比较以上各值，可知函数 fx,y)=x+xy 一 x2 一 y2 在闭区域 D 上的最大值为 ，最小值为一 4【知识模块】 多元函数微分学21 【正确答案】 由 f(x，y)=kx 2+2kxy+y2，可得 f x(x，y)=2kx+2ky，f xx“(x，y)=2k， fy(x，y)=2kx+2y ，f yy“(x，y)=2， f xy“(x，y)=2k， 于是， 若 =B2 一AC=4k2 一 4k0 且 A=2k0，故 0k1； 若=B 2 一 AC=4k2 一 4k=0，则 k=0或 k=1， 当 k=0 时，f(x，y)=y 2，由于 f(x，0)0，
20、于是点(0，0)非极小值点 当k=1 时， f(x， y)=(x+y)2，由于 f(x，一 x)0，于是点(0，0)也非极小值点 综上所述，k 的取值范围为(0，1)【知识模块】 多元函数微分学22 【正确答案】 y=(x) 在 x=a 处取得极值的必要条件是 (a)=0而设 b=(a)，则 于是fx(a，b)=0，f y(a，b)0又【知识模块】 多元函数微分学23 【正确答案】 由于 x2+y21 是有界闭区域，z=x 2+y2+2x+y 在该区域上连续，因此一定能取到最大值与最小值(2)函数在区域内部无偏导数不存在的点 (3)再求函数在边界上的最大值与最小值点，即求z=x2+y2+2x+
21、y 满足约束条件 x2+y2=1 的条件极值点此时， z=1+2x+y 用拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数 L(x，y，)=1+2x+y+(x 2+y21)，【知识模块】 多元函数微分学24 【正确答案】 设该内接长方体体积为 v，p(x，y，z)(x0，y0，z 0) 是长方体的一个顶点，且位于椭球面上，由于椭球面关于三个坐标平面对称，所以v=8xyz，x0，y0,z0 且满足条件 因此，需要求出 v=8xyz在约束条件 下的极值设 L(x，y，z ，)=8xyz+，求出 L 的所有偏导数，并令它们都等于 0，有， ，分别乘以x，y，z，有由题意知，内接于椭球面的长方体的体积没有最小值，而存在
22、最大值，因而以点为顶点所作对称于坐标平面的长方体即为所求的最大长方体，体积为【知识模块】 多元函数微分学25 【正确答案】 椭圆上任意一点(x，y) 处的法线方程为 即记 f(x，y)= ，x0，y0，约束条件为 g(x，y)= ，构造拉格朗日函数 h(x，y，)=f(x，y)+g(x，y) 根据条件极值的求解方法，先求根据实际问颢，距离最大的法线是存在的，驻点只有一个，所得即所求，故可断定所求的点为【知识模块】 多元函数微分学26 【正确答案】 L(x ，y， z，)=ln x+In y+3ln z+(x 2+y2+z2 一 5R2)，并令由前 3 式得 x2=y2= 代入第 4 式得可疑点
23、，因 xyz3 在有界闭集 x2+y2+z2=5R2(x0，y0 ，z0)上必有最大值，且最大值必在 x0，y0，z0 取得，故 f=ln xyz3 在 x2+y2+z2=5R2 也有最大值，而唯一，故最大值为 ，又 ln x+ln y+3 ln z,故 x2y2z627R10令 x2=a，y 2=b，z 2=c，又知x2+y2+z2=5R2，则 (a0，b 0，c 0)【知识模块】 多元函数微分学27 【正确答案】 (1) 按定义易知 fx(0，0)=0，f y(0，0)=0 |f(x，y)一 0|=0(当(x，y)(0 ，0) ，所以 f(x，y)在点(0，0)处连续 l 0=cos ，s
24、in ，f=f(0+x，0+y) 一 f(0，0)= 按可微定义，若可微，则(2)以下直接证明成立，由此可推知 ， ，均成立事实上，按可微的定义知，g(x，y)在点(0，0) 处可微【知识模块】 多元函数微分学28 【正确答案】 代入所给方程，将该方程化为由于 B2 一 AC0，A0，所以代数方程 A2+2B+C=0 有两个不相等的实根 1 与2取此 1 与 2，此时 12A+(1+2)B+C=代入变换后的方程，成为变换的系数行列式 1 一 20【知识模块】 多元函数微分学29 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微分学30 【正确答案】 先求 f(x，y)在 D 的内部的驻点由 f x(x，
25、y)=2x-2xy2=0，f y(x，y)=4y 一 2x2y=0，解得 x=0 或 y=1；x= 或 y=0经配对之后，位于区域 D 内部的点为 经计算，再考虑 D 的边界上的 f(x，y)在 y=0 上，f(x，0)=x2，最大值 f(2，0)=4，最小值 f(0，0)=0又在 x2+y2=4 上，令 g(x)=4x 3 一 10x=0，【知识模块】 多元函数微分学31 【正确答案】 u x=yzh(xyz)，u xy“=zh(xyz)+xyz2h“(xyz)， u xyz“=h(xyz)+xyzh“(xyz)+2xyzh“(xyz)+x2y2z2h“(xyz)故 3xyzh“(xyz)+
26、h(xyz)=0，令 xyz=t，得3th“(t)+h(t)=0设 v=h(t)，得 3tv+v=0，分离变量，得又 f(x，0)=0 ，则易知 fx(0，0)=0，当(x，y)(0 ，0)时， 于是 fx(0，y)=一 y，所以 fxy“(0，0)=一 1，由对称性知 fyx“(0，0)=1，所以 h(1)=一 1，h(1)=1，【知识模块】 多元函数微分学32 【正确答案】 因为 f(x，y)在全平面连续， 为有界闭区域，故f(x，y)在此约束条件下必有最大值和最小值 设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)分别为最大值点和最小值点，令 则(x 1，y 1)，(x2，y 2)应满足方程记相应乘子为1， 2，则(x 1，y 1， 1)满足 解得1=Ax12+2Bx1y1+Cy12 同理 2=Ax22+2Bx2y2+Cy22即 1， 2 是 f(x，y)在椭圆上的最大值和最小值又方程组和 有非零解，系数行列式为 0，即 化简得 2 一(Aa 2+Cb2)+(ACB2)a2b2=0，所以1， 2 是上述方程(即题目所给方程)的根【知识模块】 多元函数微分学
