1、考研数学二（多元函数微积分）历年真题试卷汇编 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (11 年 )设函数 f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足 f(0)0，g(0)0，且 f(0)=g(0)=0，则函数 z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是（A）f“(0)0，g“(0)0（B） f“(0)0g“(0)0（C） f“(0)0，g“(0)0（D）f“(0)0，g”(0)02 (12 年 )设函数 f(x,y)可微，且对任意 x,y 都有 则使不等式 f(x1，y 1)f(x 2，y 2)成立的一个充分条件是（A）x 1x 2
2、，y 1y 2（B） x1x 2，y 1y 2（C） x1x 2，y 1y 2（D）x 1x 2，y 1y 23 (12 年 )设区域 D 由曲线 y=sinx，y=1 围成则 (xy51)dxdy=（A）（B） 2（C）一 2（D）-4 (13 年 )设 其中函数 f 可微，则 =5 (13 年 )设 Dk 是圆域 D=(x，y)|x 2+y21在第 k 象限的部分，记 (yx)dxdy(k=1，2，3，4)，则（A）I 10（B） I20（C） I30（D）I 406 (14 年 )设函数 u(x，y)在有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足（A）u(x ，y
3、)的最大值和最小值都在 D 的边界上取得（B） u(x，y)的最大值和最小值都在 D 的内部取得（C） u(x，y)的最大值在 D 的内部取得，最小值都在 D 的边界上取得（D）u(x ，y)的最小值在 D 的内部取得，最大值都在 D 的边界上取得7 (15 年 )设函数 f(u，v)满足 依次是8 (15 年 )设 D 是第一象限中由曲线 2xy=1，4xy=1 与直线 y=x， 围成的平面区域，函数 f(x，y)在 D 上连续则 f(x，y)dxdy=9 (16 年 )已知函数 f(x，y)= ，则（A）f x一 fy=0（B） fx+fy=0（C） fx一 fy=f（D）f x+fy=f
4、10 (17 年) 设 f(x，y)具有一阶偏导数，且对任意的(x,y) 都有则（A）f(0，0)f(1 ，1) （B） f(0，0)f(1 ，1)（C） f(0，1)f(1 ，0)（D）f(0,1)(1，0)11 (18 年)二、填空题12 (12 年) 设 其中函数 f(u)可微，则13 (14 年) 设 z=z(x,y)是由方程 e2yz+x+y2+z= 确定的函数，则14 (15 年) 若函数 z=z(x， y)由方程 ex+2y+3z+xyz=1 确定，则 dz|(0,0)=_15 (17 年) 设函数 f(x，y)具有一阶连续偏导数，且 df(x，y)=ye ydx+x(1+y)e
5、ydy，f(0，0)=0，则 f(x，y)=_ 16 (17 年)17 (18 年) 设函数 z=z(x， y)由方程 lnz+ez-1=xy 确定，则三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 (11 年) 已知函数 f(x,y)具有二阶连续偏导数，且 f(1，y)=0f(x,1)=0, f(x，y)dxdy=a，其中 D=(x，y)|0x1，0y1，计算二重积分 I= xyfxy“(x,y)dxdy19 (12 年) 求函数 f(x，y)= 的极值20 (12 年) 计算二重积分 ，其中区域 D 由曲线 r=1+cos(0)与极轴围成21 (13 年) 求曲线 x3 一 xy+
6、y3=1(x0，y0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离22 (13 年) 设平面区域 D 由直线 x=3y，y=3y 及 x+y=8 围成，计算23 (14 年) 设平面区域 D=(x，y)|1x 2+y24，x0， y0，计算24 (15 年) 已知函数 f(x，y)满足 fxy“=(x，y)=2(y+1)e x，f x(x,0)=(x+1)ex，f(0，y)=y2+2y，求 f(x，y)的极值25 (15 年) 计算二重积分 x(x+y)dxdy，其中 D=(x，y)|x 2+y22，yx 226 (16 年) 已知函数 z=z(x,y)由方程(x 2+y2)z+lnz+2(x+y+1
7、)=0 确定求 z=z(x,y)的极值27 (16 年) 设 D 是由直线 y=1,y=x，y=一 x 围成的有界区域，计算二重积分28 (17 年) 设函数 f(u，v)具有 2 阶连续偏导数，y=f(e x，cosx)，求29 (17 年) 已知平面区域 D=(x，y)|x 2+y22y计算二重积分30 (18 年) 设平面区域 D 由曲线 ，(0t2)与 x 轴围成，计算二重积分 (x+2y)dxdy31 (18 年) 将长为 2m 的铁丝分成三段。依次围成圆、正方形与正三角形三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在，求出最小值考研数学二（多元函数微积分）历年真题试卷汇编 4 答案与解析
8、一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 =f(x)g(y)|(0,0)=f(0)g(0)=0 =f(x)g(y)|(0,0)=f(0)g(0)=0=f“(x)g(y)|(0,0)=f“(0)g(0)0 =f(x)g“(y)|(0,0)=f(0)g“(0)0=f(x)g(y)|(0,0)=0 则 ACB20 故 z=f(x)g(y)在(0，0)点取极小值应选(A)【知识模块】 多元函数微积分2 【正确答案】 D【试题解析】 由于偏导数本质上就是一元函数导数，则由可知，f(x，y)关于变量 x 是单调增的，关于变量 y 是单调减的因此，当 x
9、1x 2，y 1y 2 时， f(x 1，y 1)f(x 2，y 1)，f(x 2，y 1)f(x 2，y 2)则 f(x1，y 1)f(x 2，y 2)故应选(D)【知识模块】 多元函数微积分3 【正确答案】 D【试题解析】 作辅助线 y=一 sinx 如图，将区域 D 分为两部分 D1 和D2，其中 D1 关于 x 轴对称，D 2 关于 y 轴对称，而 xy5 分别关于变量 x 和 y 都是奇函数，则【知识模块】 多元函数微积分4 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 D1 和 D3 关于直线 y=x 对称则而在 D2 上，yx
10、0在 D1 上 y 一 x0则 I20I 10 故应选(B)【知识模块】 多元函数微积分6 【正确答案】 A【试题解析】 由题设 ，可知，B0，A+C=0，则 AC-B 20 故函数 u(x，y) 在区域 D 内无极值点，因此,u(x，y)的最大值和最小值都在 D 的边界上取得故应选(A)【知识模块】 多元函数微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分8 【正确答案】 B【试题解析】 由题设知积分域 D 如右图所示，曲线 2xy=1，4xy=1。在极坐标下方程分别为 2r 2cossin=1,4r2cossin=1 直线 y=x，在极坐标下的方程为 则故应选(B)【知
11、识模块】 多元函数微积分9 【正确答案】 D【试题解析】 故应选(D)【知识模块】 多元函数微积分10 【正确答案】 D【试题解析】 直接法由 知 f(x，y)关于变量 x 单调增关于变量 y 单调减，从而 f(1，0)一 f(0，0)0 f(0， 0)-f(0，1)0 而 f(1，0)一 f(0，1)=f(1，0)一 f(0，0)+f(0，0)一 f(0，1)0 即 f(0，1)f(1，0)故应选(D)【知识模块】 多元函数微积分11 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分二、填空题12 【正确答案】 0【试题解析】 因为 则【知识模块】 多元函数微积分13 【正确答案】
12、 【试题解析】 将 x=y= 代入 e2yz+x+y2+z= 得【知识模块】 多元函数微积分14 【正确答案】 【试题解析】 将 x=0，y=0 代入 ex+2y+3z+xyz=1 中得 e3z=1，则 z=0 方程ex+2y+3z+xyz=1 两端微分得 e x+2y+3z(dx+2dy+3dz)+yzdx+xzdy+xydz=0 将x=0，y=0，z=0 代入上式得 dx+2dy+3dz=0 则 dz|(0,0)=【知识模块】 多元函数微积分15 【正确答案】 xye y【试题解析】 df(x，y)=ye ydx+x(1+y)eydy =(yey)dx+xd(yey)=d(xyey) 则
13、f(x，y)=xyey+C 由 f(0 ，0)=0 知 C=0 f(x，y)=xye y【知识模块】 多元函数微积分16 【正确答案】 一 lncos1【试题解析】 交换累次积分次序得【知识模块】 多元函数微积分17 【正确答案】 【试题解析】 将 x=2，y= 代入 lnz+ez-1xy 得，z=1方程 lnz+ez-1=xy 两端对 x 求偏导得【知识模块】 多元函数微积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 因为 f(1，y)=0 ，f(x，1)=0所以 fy(1，y)=0，f x(x，1)=0 。 从而 I=01xdx01yfxy“(x，y)dy= 01
14、xyfx(x,y)|y=0y=1 一 01fx(x，y)dydx =- 01dy01xfx(x,y)dx=-01xf(x,y)|x=0x=1-01f(x,y)dxdy =01dy01f(x，y)dx=a 【知识模块】 多元函数微积分19 【正确答案】 令 得驻点(1,0)和(-1,0) 在点(1,0)处，由于 B 2 一 AC=一 2e-10A= 0 所以 f(1，0)= 是 f(x,y)的极大值 在点(一 1，0)处，由于 B2 一 AC=一 2e-10A= 0 所以 f(一 1，0)= 是 f(x，y) 的极小值【知识模块】 多元函数微积分20 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分2
15、1 【正确答案】 设(x，y)为曲线上的点，目标函数为 f(x，y)=x 2+y2，构造拉格朗日函数 L(x， y，)=x 2+y2+(x3 一 xy+y3 一 1)令 =2x+(3x2 一 y)=0 =2y+(3y2 一 x)=0 =x3 一 xy+y3 一 1=0当 x0，y0 时,由，得 即 3xy(yx)=(x+y)(x 一 y)得 y=x，或 3xy=一(x+y)( 由于x0，y0，舍去) 将 y=x 代入 得 2x3-x2 一 1=0，即(2x 2+x+1)(x-1)=0，所以(1，1)为唯一可能的极值点，此时 当 x=0，y=1 或 x=1,y=0 时故所求最长距离为 ，最短距离
16、为 1【知识模块】 多元函数微积分22 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分23 【正确答案】 由于积分域 D 关于直线 y=x 对称，则【知识模块】 多元函数微积分24 【正确答案】 由 fxy“=2(y+1)ex，得 fx=(y+1)2ex+(x) 因为 fx(x，0)=(x+1)e x，所以 ex+(x)=(x+1)ex 得 (x)=xex，从而 fx=(y+1)2ex+xex 对 x 积分得 f(x，y)=(y+1)2ex+(x 一 1)ex+(y) 因为 f(0，y)=y 2+2y，所以 (y)=0，从而 f(x，y)=(x+y2+2y)ex 于是 fy=(2y+2)ex，f
17、xy“=(x+y2+2y+2)ex，f yy“=2ex。 令 fx=0，f y=0，得驻点(0 ，一 1)，所以 A=f xx“(0一 1)=1，B=f xy“(0一 1)=0，C=f yy“(0一 1)=2 由于 AC-B20，A0，所以极小值为 f(0，一 1)=一 1.【知识模块】 多元函数微积分25 【正确答案】 因为区域 D 关于 y 轴对称，所以 xydxdy=0【知识模块】 多元函数微积分26 【正确答案】 在(x 2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0 两边分别对 x 和 y 求偏导数，得将式代入方程(x 2+y2)z+lnz+2(x+y+1)=0，得 可知 z=1从而 对
18、中两式两边分别再对 x,y 求偏导数，得由于ACB20， A0所以 z(一 1，一 1)=1 是 z(x，y)的极大值【知识模块】 多元函数微积分27 【正确答案】 因为区域 D 关于 y 轴对称，所以【知识模块】 多元函数微积分28 【正确答案】 因为 y=f(ex，cosx)所以当 x=0 时，u=e0=1，v=cos0=1所以【知识模块】 多元函数微积分29 【正确答案】 D 的边界曲线在极坐标系下的方程为 r=2sin(0)，所以【知识模块】 多元函数微积分30 【正确答案】 因为 D 关于直线x= 对称，所以 设曲线 (0t2)的直角坐标方程为y=y(x)(0x2)，则 =02dx0
19、y(x)(2y+)dy=0y2(x)+y(x)dx 又 02y2(x)dx=02(1-cost)3dt =02(13cost+3cos2tcos3t)dt =5 02y(x)dx=02(1 一 cost)2dt =02(12cost+cos2t)dt =3 所以 (x+2y)dxdy=(5+3)【知识模块】 多元函数微积分31 【正确答案】 设圆的半径为 x，正方形与正三角形的边长分别为 y 和 z，则问题化为：函数 f(x，y，z)=x 2+y2+ 在条件 2x+4y+3z=2(x0，z 0，z0)下是否存在最小值令 L(x， y，z ，)=x 2+y2+ +(2x+4y+3z 一 2)考虑方程组又当 2x+4y+3z=2且 xyz=0 时f(x，y,z)的最小值为 所以三个图形的面积之和存在最小值，最小值为【知识模块】 多元函数微积分
