1、考研数学二（多元函数积分学）模拟试卷 19 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x，y)= 则 f(x，y)在点(0，0)处( )（A）两个偏导数都不存在。（B）两个偏导数存在但不可微。（C）偏导数连续。（D）可微但偏导数不连续。2 考虑二元函数 f(x，y)的四条性质： f(x，y)在点(x 0，y 0)处连续；f(x，y)在点(x0，y 0)处的两个偏导数连续； f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微；f(x，y)在点(x0，y 0)处的两个偏导数存在。则有( )3 设 z= f(xy)，其中函数 f 可微，则 =( )（A）2yf (x
2、y)。（B）一 2yf(xy)。（C） f(xy)。（D） f(xy)。4 设 f(x，y)与 (x，y) 均为可微函数，且 (x，y)0。已知(x 0，y 0)是 f(x，y)在约束条件 (x，y)=0 下的一个极值点，下列选项正确的是( )（A）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)=0。（B）若 fx(x0，y 0)=0，则 fy(x0，y 0)0。（C）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)=0。（D）若 fx(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)0。5 设 D 是圆域 Dk=(x，y)x 2+y21位于第 k 象限的部分，记 Ik= (y 一 x)
3、dxdy(k=1，2，3，4)，则 ( )（A）I 10。（B） I20。（C） I30。（D）I 40。6 设函数 f(x， y)连续，则 12dxx2f(x，y)dy+ 12dyy4y f(x，y)dx=( )（A） 12dx14x f(x，y)dy 。（B） 12dxx4x f(x，y)dy。（C） 12dy14y f(x，y)dx。（D） 12dyy2f(x，y)dx 。7 设 f(x，y)为连续函数，则 d01f(rcos，rsin)rdr 等于( )8 设区域 D 由曲线 y=sinx，x= ，y=1 围成，则 (x5y 一 1)dxdy=( )（A）。（B） 2。（C）一 2。（
4、D）一 。二、填空题9 设连续函数 z=f(x，y)满足 =0，则 dz (0，1) =_。10 设函数 f()可微，且 f(2)=2，则 z=f(x2+y2)在点(1，1)处的全微分 dz (1，1)=_。11 设函数 z= ，则 dz (1，1) =_。12 设 f(x，y， z)= ，则 df(x，y，z) (1，1，1) =_。13 设函数 f(，)由关系式 fxg(y)，y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y)0，则 =_。14 积分 01dx dy=_。15 设平面区域 D 由直线 y=x，圆 x2+y2=2y 及 y 轴所围成，则二重积分xyd=_。16 设 D
5、 为不等式 0x3，0y1 所确定的区域，则 minx，ydxdy=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设 z=f(x，y)，x=g(y， z)+( )，其中 f，g， 在其定义域内均可微，求 。18 设 z=f(x+y，x 一 y，xy) ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求出与 。18 设 z=z(x，y)是由方程 x2+y2 一 z=(x+y+z)所确定的函数，其中 具有二阶导数且 一 1。19 求 dz；20 记 (x，y)= 。21 设函数 f()具有二阶连续导数，而 z=f(exsiny)满足方程 =e2xz，求 f()。22 求曲线 x3 一 xy+y3=1
6、(x0，Y0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。23 已知函数 z=f(x，y)的全微分 dz=2xdx 一 2ydy，并且 f(1，1)=2。求 f(x，y)在椭圆域 D=(x， y)x 2+ 1上的最大值和最小值。24 计算二重积分 I= ydxdy，其中 D 是由 x 轴，y 轴与曲线 =1 所围成的区域，a 0，b0。25 求二重积分 yd，其中 D 是由曲线 r=2(1+cos)的上半部分与极轴所围成的区域。26 设 D=(x， y)x 2+y2 ，x0，y0 ，1+x 2+y2表示不超过 1+x2+y2 的最大整数。计算二重积分 xy1+x2+y2dxdy。27 计算积分 。考
7、研数学二（多元函数积分学）模拟试卷 19 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由偏导数定义，有 fx(0，0)= =0，由对称性知 fy(0，0)=0 ，而上式极限不存在。事实上， 故 f(x，y)在(0，0)点不可微。应选 B。【知识模块】 多元函数微积分学2 【正确答案】 A【试题解析】 由于 f(x，y)的两个偏导数连续是可微的充分条件，而 f(x，y)可微是其连续的充分条件，因此正确选项为 A。【知识模块】 多元函数微积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 先根据函数求出偏导数的表达形式，再将结果代入应该选A。【知识
8、模块】 多元函数微积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 令 F=f(x，y)+(x，y)，若 fx(x0，y 0)=0，由(1)得 =0 或 x(x0，y 0)=0。当 =0 时，由(2)得 fy(x0，y 0)=0，但 0 时，由(2)及 y(x0， y0)0 得 fy(x0，y 0)0 因而 A，B 错误。若 fx(x0，y 0)0，由(1) ，则0，再由(2)及 y(x0，y 0)0，则 fy(x0，y 0)0。【知识模块】 多元函数微积分学5 【正确答案】 B【试题解析】 根据极坐标系下二重积分的计算可知所以，I 1=I3=0，I 2= ，应该选 B。【知识模块】 多元函数微积分学6
9、 【正确答案】 C【试题解析】 12dxx2f(x， y)dy+12dyy4y f(x，y)dx 的积分区域为两部分(如图 14-4)： D1=(x，y)1x2，xy2；D2=(x，y)1y2 ，yx4 一 y，将其写成一个积分区域为D=(x，y)1y2，1x4 一 y。故二重积分可以表示为 12dy14y f(x，y)dx，故答案为 C。【知识模块】 多元函数微积分学7 【正确答案】 C【试题解析】 由题设可知，积分区域 D 如图 146 所示，则原式= ，故选 C。【知识模块】 多元函数微积分学8 【正确答案】 D【试题解析】 区域 D 如图 l 一 49 中阴影部分所示，引入曲线 y=一
10、 sinx 将区域分为 D1，D 2，D 3，D 4 四部分。 由于 D1，D 2 关于 y 轴对称，可知在 D1D2 上关于 x 的奇函数积分为零，故 x5ydxdy=0；又由于 D3，D 4 关于 x 轴对称，可知在 D3D4 上关于 y 的奇函数为零，故x5ydsdy=0。因此 =。故选D。【知识模块】 多元函数微积分学二、填空题9 【正确答案】 2dx 一 dy【试题解析】 根据 =0 以及函数 z 的连续性可知 f(0，1)=1，从而已知的极限可以转化为 =0。或者 f(x，y)一f(0，1)=2x 一 (y 一 1)+ 。根据可微的定义，f(x，y)在点(0，1) 处是可微的，且有
11、 fx(0，1)=2，f y(0，1)=一 1，dz (0，1) =2dxdy。【知识模块】 多元函数微积分学10 【正确答案】 4(dx+dy)【试题解析】 由题干可知，dz=f (x2+y2)(2xdx+2ydy)，则 dz (1，1) =f(2)(2dx2dy)=4(dx+dy)。【知识模块】 多元函数微积分学11 【正确答案】 (1+2ln2)dx 一(1+2ln2)dy【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学12 【正确答案】 dx 一 dy【试题解析】 由 f(x，y，z)= ，有 lnf= (lnxlny)，两边分别对 x、y,z 求偏导，得 代入点(1，1，1)，得fx=1
12、，f y=1，f z=0，故 df(x，y，z) (1，1，1) =dxdy。【知识模块】 多元函数微积分学13 【正确答案】 【试题解析】 令 =xg(y)，=y，则 f(，)= +g()，所以，【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 1 一 sin1【试题解析】 积分区域 D 如图 1412 所示，=01(1 一 y)sinydy=1 一 sin1。【知识模块】 多元函数微积分学15 【正确答案】 【试题解析】 通过直角坐标变换求解，已知直线和圆的交点为(1，1)，上半圆周的方程为 y=1+ 。因此直角坐标区域为 D：0x1，xy1+ 。所以可得【知识模块】 多元函数微积分学16
13、 【正确答案】 【试题解析】 由题干可知， minx，ydxdy= 01dyy3ydx+01dy0yxdx= 。【知识模块】 多元函数微积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 由 z=f(x，y)，有 dz=f1dx+f2dy。由 x=g(y，z)+( )有dx=g1dy+g2dz+ ，dy= ，代入出表达式中，得，其中分母不为 0。【知识模块】 多元函数微积分学18 【正确答案】 由题意 =f1+f2+yf3， =f1一 f2+xf3，所以dz= =(f1+f2+yf3)dx+(f1一 f2+xf3)dy， =f111+f 12( 一 1)+f13x+f
14、211+f 22( 一 1)+f23x+f 3+yf311+f 32(一 1)+f33x=f 3+f11一f22+xyf33+(x+y)f13+(x 一 y)f23。【知识模块】 多元函数微积分学【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 对方程两端同时求导得 2xdx+2ydy 一 dz=(x+y+z)(dx+dy+dz)，整理得 ( +1)dz=(一 +2x)dx+(一 +2y)dy，因此 dz=(因为 一 1)。【知识模块】 多元函数微积分学20 【正确答案】 由第(I)问可知， ，所以【知识模块】 多元函数微积分学21 【正确答案】 由题意 =f()exsiny， =f()exc
15、osy， =f()exsiny+f()e2xsin2y， =一 f()exsiny+f()e2xcos2y，代入方程 =e2xz 中，得到 f()一f()=0，解得 f()=C1e+C2e ，其中 C1，C 2 为任意常数。【知识模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 构造函数 L(x，y)=x 2+y2+(x3 一 xy+y3 一 1)，令得唯一驻点 x=1，y=1，即 M1(1，1)。考虑边界上的点，M 2(0，1)，M 3(1，0)，距离函数 f(x，y)= 在三点的取值分别为 f(1，1)= ， f(0，1)=1，f(1，0)=1，因此可知最长距离为 ，最短距离为 1。【知识模块】
16、 多元函数微积分学23 【正确答案】 根据题意可知 =一 2y，于是 f(x，y)=x 2+C(y)，且 C(y)=一 2y，因此有 C(y)=一 y2+C，由 f(1，1)=2 ，得 C=2，故 f(x，y)=x 2 一 y2+2。令=0 得可能极值点为 x=0，y=0。且A=B2 一 AC=40，所以点(0 ，0) 不是极值点，也不可能是最值点。下面讨论其边界曲线 x2+ =1 上的情形，令拉格朗日函数为 F(x，y，)=f(x，y)+(x 2+ 一 1)，解得可能极值点 x=0，y=2，=4；x=0，y= 一2，=4；x=1，y=0 ，=一 1；x=一 1，y=0，=一 1。将其分别代入
17、 f(x，y)得，f(0，2)= 一 2，f(1，0)=3 ，因此 z=f(x，y)在区域 D=(x，y)x 2+ 1内的最大值为 3，最小值为一 2。【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】 积分区域 D 如图 1417 的阴影部分所示。【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 积分区域 D 如图 1419 所示， D 的极坐标表示是：0，0r2(1+cos)，因此【知识模块】 多元函数微积分学26 【正确答案】 令 D1= (x，y)0x 2+y21，x0，y0，D2=(x，y) 1x 2+y2 ，x0，y0。则有【知识模块】 多元函数微积分学27 【正确答案】 设二重积分区域为 D，D 1 是 D 的第一象限部分，由对称性，得【知识模块】 多元函数微积分学
