[考研类试卷]考研数学二(多元函数积分学)模拟试卷22及答案与解析.doc

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1、考研数学二(多元函数积分学)模拟试卷 22 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 设 z=f(x,y)在点(x 0,y 0)处可微, z 是 f(x,y)在点 (x0,y 0)处的全增量,则在点(x0,y 0)处( )(A)z=dz。(B) z=fx(x0,y 0)x+fy(x0,y 0)y。(C) z=fx(x0,y 0)dx+fy(x0,y 0)dy。(D)z=dz+o()。2 设函数 z(x,y)由方程 =0 确定,其中 F 为可微函数,且 F20,则=( )(A)x。(B) z。(C)一 x。(D)一 z。3 设函数 f(x),g(x) 均有二阶

2、连续导数,满足 f(0) 0,g(0)0,且 f(0)=g(0)=0,则函数 z=f(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是 ( )。(A)f (0)0,g (0)0。(B) f(0)0,g (0)0。(C) f(0)0,g (0)0。(D)f (0)0,g (0)0。4 设平面 D 由 x+y= ,x+y=1 及两条坐标轴围成,I 1= ln(x+y)3dxdy,I 2= (x+y)3dxdy,I 3= sin(x+y)3dxdy,则( )(A)I 1I 2 I3。(B) I3I 1I 2。(C) I1I 3I 2。(D)I 3I 2 I1。5 设函数 f(x, y)连续,则

3、二次积分 sinx1f(x,y)dy 等于( )(A) 01dyarcsiny f(x,y)dx。(B) 01dy arcsinyf(x,y)dx。(C) 01dy arcsiny f(x,y)dx。(D) 01dy arcsiny f(x,y)dx。6 设 f(x)为连续函数,F(t)= 1tdyytf(x)dx,则 F(2)等于( )(A)2f(2)。(B) f(2)。(C)一 f(2)。(D)0。7 设函数 f(t)连续,则二重积分 d2cos2f(r2)rdr=( )8 设区域 D=(x,y) x 2+y24,x0,y0 ,f(x)为 D 上的正值连续函数,a,b 为常数,则 d=(

4、)(A)ab 。(B) 。(C) (a+b)。(D) 。二、填空题9 设二元函数 z=xexy +(x+1)ln(1+y),则 dz (1,0) =_。10 设 z=(x+ey)x,则 =_。11 设函数 z=z(x,y)由方程(z+y) x=xy 确定,则 =_。12 设 z=xg(x+y)+y(xy),其中 g, 具有二阶连续导数,则 =_。13 积分 02dxx2ey2 dy=_。14 将 01dy0yf(x2+y2)dx 化为极坐标下的二次积分为 _。15 设 f(x,y)连续,且 f(x,y)=x+y f(,)dd ,其中 D 是由 y= ,x=1,y=2 所围成的区域,则 f(x,

5、y)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 =f(x,y,z),(x 2,e y,z)=0,y=sinx,其中 f, 都具有一阶连续偏导数,且 。17 设 z= ,其中 f 具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数,求 。18 设对任意的 x 和 y,有 =4,用变量代换 将f(x,y)变换成 g(,),试求满足 =2+2 的常数 a 和 b。19 设 z=z(x,y)是由 x2 一 6xy+10y2 一 2yzz2+18=0 确定的函数,求 z=z(x,y)的极值点和极值。20 求原点到曲面(xy) 2+z2=1 的最短距离。21 求二重积分 (x 一 y)dxdy

6、,其中 D=(x,y)(x 一 1)2+(y 一 1)22,yx 。22 计算二重积分 I= ,其中 D=(r,)0rsec,0。23 计算二重积分 dxdy,其中 D=(x,y)0x1,0y1。24 求 ,其中 D 是由圆 x2+y2=4 和(x+1) 2+y2=1 所围成的平面区域(如图 14-2)。25 已知函数 f(x,y)具有二阶连续偏导数,且 f(1, y)=0,f(x,1)=0, f(x,y)dxdy=a,其中 D=(x,y)0x1,0y1,计算二重积分 I= xyfxy(x,y)dxdy。考研数学二(多元函数积分学)模拟试卷 22 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,

7、只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于 z=f(x,y) 在点(x 0,y 0)处可微,则 z=fx(x0,y 0)x+fy(x0,y 0)y+o()=dz+o(), 故选 D。【知识模块】 多元函数微积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 对已知的等式 两边求全微分可得即正确选项为 B。【知识模块】 多元函数微积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 由 z=f(x)g(y),得而且=f(0)g(0)=0,f(0)0,g(0)0,当 f(0)0,g (0)0 时,B 2 一 AC0,且 A0,此时 z=f(x)g(y)在点(0 ,0)处取得极小值。因此正确选项为 A。

8、【知识模块】 多元函数微积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 显然在 D 上 x+y1,则 ln(x+y)30,0sin(x+y) 3(x+y) 3,从而有 故选 C。【知识模块】 多元函数微积分学5 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可知, x,sinxy1 ,可转化为 0y1,arcsinyx,故应选 B。【知识模块】 多元函数微积分学6 【正确答案】 B【试题解析】 交换累次积分的积分次序,得 F(t)= 1tdyytf(x)dx =1tdx1xf(x)dy =1t(x1)f(x)dx。 于是 F(t)=(t 一 1)f(t),从而 F(2)=f(2)。故选 B。【知识模块】 多元函

9、数微积分学7 【正确答案】 B【试题解析】 因为曲线 r=2 在直角坐标系中的方程为 x2+y2=4,而 r=2cos 在直角坐标系中的方程为 x2+y2=2x,即(x 一 1)2+y2=1,因此根据直角坐标和极坐标之间二重积分的转化可得原式= f(x2+y2)dy。【知识模块】 多元函数微积分学8 【正确答案】 D【试题解析】 由根据轮换对称性可得因此正确选项为 D。【知识模块】 多元函数微积分学二、填空题9 【正确答案】 2edx+(e+2)dy【试题解析】 由已知 =exy +xexy +ln(1+y), dz (1,0)=2edx+(e+2)dy。【知识模块】 多元函数微积分学10 【

10、正确答案】 2ln2+1【试题解析】 由 z=(x+ey)x,故 z(x,0)=(x+1) x,则代入 x=1 得,=2ln2+1。【知识模块】 多元函数微积分学11 【正确答案】 22ln2【试题解析】 把点(1,2)代入(z+y) x=xy,得到 z(1,2)=0 。在(z+y) x=xy 两边同时对x 求偏导数,有(z+y) xln(z+y)+ =y。将 x=1,y=2,z(1,2)=0 代入上式得=22ln2。【知识模块】 多元函数微积分学12 【正确答案】 g (x+y)+xg(x+y)+2y(xy)+xy2(xy)【试题解析】 由题干可知, =g(x+y)+xg(x+y)+y2(x

11、y), =g(x+y)+xg(x+y)+2y(xy)+xy2(xy)。【知识模块】 多元函数微积分学13 【正确答案】 (1 一 e4 )【试题解析】 如图 1410 积分区域,则02dxx2ey2 dy=02dy0yey2 dx=02yey2 dy=。【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 【试题解析】 如图 1414 所示,则有01dy0yf(x2y 2)dx= f(r2)rdr。【知识模块】 多元函数微积分学15 【正确答案】 x+ y【试题解析】 首先令 A= f(,)dd,则 A 为常数,此时 f(x,y)=x+Ay。【知识模块】 多元函数微积分学三、解答题解答应写出文字说

12、明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 在等式 =f(x,y,z)的两端同时对 x 求导数,得到如下等式而 =cosx,再在等式 (x2,e y,z)=0 的两端同时对 x求导数,得到 12x+ 2 =0,解得 (2x1+ey2cosx),因此,可得 (2x1+esinx2cosx)。【知识模块】 多元函数微积分学17 【正确答案】 根据复合函数的求导公式,有 ,于是【知识模块】 多元函数微积分学18 【正确答案】 由题意 g(,)=f(, (2 一 2), =f1+f2, =f1一f2,因此,有 =a2(f1)2+2(f2)2+2f1f2一 b2(f1)2+2(f2)2 一2f1f2=(

13、a2 一 b2)(f1)2+(a2 一 b2)(f2)2+2(a+b)f1f2=2+2。利用(f 1)2+(f2)2=4,即(f 2)2=4 一(f 1)2 得(a+b)( 2 一 2)(f1)2+2(a+b)f1f2+4a2 一 4b2=2+2 由此得a+b=0,4a=1,一 4b=1,故 。【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 在方程 x2 一 6xy+10y2 一 2yz 一 z2+18=0 的两端分别对 x,y 求偏导数,因此有 2x6y =0, (1) 6x20y2z =0 (2)令 将上式代入 x2 一 6xy+10y2 一 2yzz2+18=0,解得又 A= 0,所以

14、点(9,3)是 z(x,y)的极小值点,极小值为 z(9,3)=3 。类似地,由 可知 ACB2= 0,又 A= 0,故点( 一 9,一 3)是 z(x,y)的极大值点,极大值为 z(一 9,一 3)=一 3。【知识模块】 多元函数微积分学20 【正确答案】 根据题意,求曲面上的点(x,y,z)到原点的距离 d=在条件(x 一 y)2+z2=1 下达到最小值,运用拉格朗日函数法。令F(x,y,z,)=x 2+y2+z2+(x 一 y)2+z2 一 ,则有由(3)式,若 =一 1,代入(1),(2)得解得 x=0,y=0 。代入曲面方程(x 一 y)2+z2=1,得到 z2=1,d=1。若一 1

15、,由(3) 解得 z=0。由 (1),(2)得到 x=一 y。代入曲面方程(x 一 y)2+z2=1,得到 故所求的最短距离为 d= 。【知识模块】 多元函数微积分学21 【正确答案】 由已知条件,积分区域 D=(x,y)(x 一 1)2+(y 一 1)22,yx 。由(x 一 1)2+(y 一 1)22,得 r2(sin+cos),于是【知识模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 将极坐标转化为直角坐标,可得积分区域如图 1418 所示。D=(x,y)0x1,0yx,【知识模块】 多元函数微积分学23 【正确答案】 D 是正方形区域(如图 1421)。因在 D 上被积函数分块表示为max

16、x2,y 2= 于是要用分块积分法,用 y=x 将 D 分成两块:D=D 1D2,D 1=Dyx,D 2=Dyx。则有【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】 令 D1=(x,y)x 2+y24,D 2=(x,y)(x+1) 2+y21(如图 1 一423 所示)。根据图象的对称性, yd=0。【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 将二重积分 xyfxy(x,y)dxdy 转化为累次积分可得 xyfxy(x,y)dxdy=01dy01xyfxy(x,y)dx。首先考虑 01xyfxy(x,y)dx,注意这里把变量 y 看作常数,故有 01xyfxy(x,y)dx=y 01x

17、dfy(x,y)=xyf y(x, y) 01 01yfy(x,y)dx=yf y(1,y)一 01yfy(x,y)dx。由 f(1, y)=f(x,1)=0 易知,f y(1,y)=f x(x,1)=0。所以01xyfxy(x,y)dx= 一 01yfy(x,y)dx。因此 xyfxy(x,y)dxdy= 01dy01xyfxy(x,y)dx= 一01dy01yfy(x,y)dx ,对该积分交换积分次序可得,一 01dy01yfy(x,y)dx= 一01dx01yfy(x,y)dy 。再考虑积分 01yfy(x,y)dy ,注意这里把变量 x 看作常数,故有01yfy(x,y)dy= 01ydf(x,y)=yf(x,y) 01 一 01f(x,y)dy=一 01f(x,y)dy,因此xyfxy(x,y)dxdy=一 01dx01yfy(x,y)dy= 01dx01f(x,y)dy= f(x,y)dxdy=a。【知识模块】 多元函数微积分学

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