1、考研数学二（多元函数积分学）模拟试卷 22 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处可微， z 是 f(x，y)在点 (x0，y 0)处的全增量，则在点(x0，y 0)处( )（A）z=dz。（B） z=fx(x0，y 0)x+fy(x0，y 0)y。（C） z=fx(x0，y 0)dx+fy(x0，y 0)dy。（D）z=dz+o()。2 设函数 z(x，y)由方程 =0 确定，其中 F 为可微函数，且 F20，则=( )（A）x。（B） z。（C）一 x。（D）一 z。3 设函数 f(x)，g(x) 均有二阶
2、连续导数，满足 f(0) 0，g(0)0，且 f(0)=g(0)=0，则函数 z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是 ( )。（A）f (0)0，g (0)0。（B） f(0)0，g (0)0。（C） f(0)0，g (0)0。（D）f (0)0，g (0)0。4 设平面 D 由 x+y= ，x+y=1 及两条坐标轴围成，I 1= ln(x+y)3dxdy，I 2= (x+y)3dxdy，I 3= sin(x+y)3dxdy，则( )（A）I 1I 2 I3。（B） I3I 1I 2。（C） I1I 3I 2。（D）I 3I 2 I1。5 设函数 f(x， y)连续，则
3、二次积分 sinx1f(x，y)dy 等于( )（A） 01dyarcsiny f(x，y)dx。（B） 01dy arcsinyf(x，y)dx。（C） 01dy arcsiny f(x，y)dx。（D） 01dy arcsiny f(x，y)dx。6 设 f(x)为连续函数，F(t)= 1tdyytf(x)dx，则 F(2)等于( )（A）2f(2)。（B） f(2)。（C）一 f(2)。（D）0。7 设函数 f(t)连续，则二重积分 d2cos2f(r2)rdr=( )8 设区域 D=(x，y) x 2+y24，x0，y0 ，f(x)为 D 上的正值连续函数，a，b 为常数，则 d=(
4、)（A）ab 。（B） 。（C） (a+b)。（D） 。二、填空题9 设二元函数 z=xexy +(x+1)ln(1+y)，则 dz (1，0) =_。10 设 z=(x+ey)x，则 =_。11 设函数 z=z(x，y)由方程(z+y) x=xy 确定，则 =_。12 设 z=xg(x+y)+y(xy)，其中 g， 具有二阶连续导数，则 =_。13 积分 02dxx2ey2 dy=_。14 将 01dy0yf(x2+y2)dx 化为极坐标下的二次积分为 _。15 设 f(x，y)连续，且 f(x，y)=x+y f(，)dd ，其中 D 是由 y= ，x=1，y=2 所围成的区域，则 f(x，
5、y)=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 =f(x，y，z)，(x 2，e y，z)=0，y=sinx，其中 f， 都具有一阶连续偏导数，且 。17 设 z= ，其中 f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求 。18 设对任意的 x 和 y，有 =4，用变量代换 将f(x，y)变换成 g(，)，试求满足 =2+2 的常数 a 和 b。19 设 z=z(x，y)是由 x2 一 6xy+10y2 一 2yzz2+18=0 确定的函数，求 z=z(x，y)的极值点和极值。20 求原点到曲面(xy) 2+z2=1 的最短距离。21 求二重积分 (x 一 y)dxdy
6、，其中 D=(x，y)(x 一 1)2+(y 一 1)22，yx 。22 计算二重积分 I= ，其中 D=(r，)0rsec，0。23 计算二重积分 dxdy，其中 D=(x，y)0x1，0y1。24 求 ，其中 D 是由圆 x2+y2=4 和(x+1) 2+y2=1 所围成的平面区域(如图 14-2)。25 已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1， y)=0，f(x，1)=0， f(x，y)dxdy=a，其中 D=(x，y)0x1，0y1，计算二重积分 I= xyfxy(x，y)dxdy。考研数学二（多元函数积分学）模拟试卷 22 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，
7、只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于 z=f(x，y) 在点(x 0，y 0)处可微，则 z=fx(x0，y 0)x+fy(x0，y 0)y+o()=dz+o()， 故选 D。【知识模块】 多元函数微积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 对已知的等式 两边求全微分可得即正确选项为 B。【知识模块】 多元函数微积分学3 【正确答案】 A【试题解析】 由 z=f(x)g(y)，得而且=f(0)g(0)=0，f(0)0，g(0)0，当 f(0)0，g (0)0 时，B 2 一 AC0，且 A0，此时 z=f(x)g(y)在点(0 ，0)处取得极小值。因此正确选项为 A。
8、【知识模块】 多元函数微积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 显然在 D 上 x+y1，则 ln(x+y)30，0sin(x+y) 3(x+y) 3，从而有 故选 C。【知识模块】 多元函数微积分学5 【正确答案】 B【试题解析】 由题设可知， x，sinxy1 ，可转化为 0y1，arcsinyx，故应选 B。【知识模块】 多元函数微积分学6 【正确答案】 B【试题解析】 交换累次积分的积分次序，得 F(t)= 1tdyytf(x)dx =1tdx1xf(x)dy =1t(x1)f(x)dx。 于是 F(t)=(t 一 1)f(t)，从而 F(2)=f(2)。故选 B。【知识模块】 多元函
9、数微积分学7 【正确答案】 B【试题解析】 因为曲线 r=2 在直角坐标系中的方程为 x2+y2=4，而 r=2cos 在直角坐标系中的方程为 x2+y2=2x，即(x 一 1)2+y2=1，因此根据直角坐标和极坐标之间二重积分的转化可得原式= f(x2+y2)dy。【知识模块】 多元函数微积分学8 【正确答案】 D【试题解析】 由根据轮换对称性可得因此正确选项为 D。【知识模块】 多元函数微积分学二、填空题9 【正确答案】 2edx+(e+2)dy【试题解析】 由已知 =exy +xexy +ln(1+y)， dz (1，0)=2edx+(e+2)dy。【知识模块】 多元函数微积分学10 【
10、正确答案】 2ln2+1【试题解析】 由 z=(x+ey)x，故 z(x，0)=(x+1) x，则代入 x=1 得，=2ln2+1。【知识模块】 多元函数微积分学11 【正确答案】 22ln2【试题解析】 把点(1，2)代入(z+y) x=xy，得到 z(1，2)=0 。在(z+y) x=xy 两边同时对x 求偏导数，有(z+y) xln(z+y)+ =y。将 x=1，y=2，z(1，2)=0 代入上式得=22ln2。【知识模块】 多元函数微积分学12 【正确答案】 g (x+y)+xg(x+y)+2y(xy)+xy2(xy)【试题解析】 由题干可知， =g(x+y)+xg(x+y)+y2(x
11、y)， =g(x+y)+xg(x+y)+2y(xy)+xy2(xy)。【知识模块】 多元函数微积分学13 【正确答案】 (1 一 e4 )【试题解析】 如图 1410 积分区域，则02dxx2ey2 dy=02dy0yey2 dx=02yey2 dy=。【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 【试题解析】 如图 1414 所示，则有01dy0yf(x2y 2)dx= f(r2)rdr。【知识模块】 多元函数微积分学15 【正确答案】 x+ y【试题解析】 首先令 A= f(，)dd，则 A 为常数，此时 f(x，y)=x+Ay。【知识模块】 多元函数微积分学三、解答题解答应写出文字说
12、明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 在等式 =f(x，y，z)的两端同时对 x 求导数，得到如下等式而 =cosx，再在等式 (x2，e y，z)=0 的两端同时对 x求导数，得到 12x+ 2 =0，解得 (2x1+ey2cosx)，因此，可得 (2x1+esinx2cosx)。【知识模块】 多元函数微积分学17 【正确答案】 根据复合函数的求导公式，有 ，于是【知识模块】 多元函数微积分学18 【正确答案】 由题意 g(，)=f(， (2 一 2)， =f1+f2， =f1一f2，因此，有 =a2(f1)2+2(f2)2+2f1f2一 b2(f1)2+2(f2)2 一2f1f2=(
13、a2 一 b2)(f1)2+(a2 一 b2)(f2)2+2(a+b)f1f2=2+2。利用(f 1)2+(f2)2=4，即(f 2)2=4 一(f 1)2 得(a+b)( 2 一 2)(f1)2+2(a+b)f1f2+4a2 一 4b2=2+2 由此得a+b=0，4a=1，一 4b=1，故 。【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 在方程 x2 一 6xy+10y2 一 2yz 一 z2+18=0 的两端分别对 x，y 求偏导数，因此有 2x6y =0， (1) 6x20y2z =0 (2)令 将上式代入 x2 一 6xy+10y2 一 2yzz2+18=0，解得又 A= 0，所以
14、点(9，3)是 z(x，y)的极小值点，极小值为 z(9，3)=3 。类似地，由 可知 ACB2= 0，又 A= 0，故点( 一 9，一 3)是 z(x，y)的极大值点，极大值为 z(一 9，一 3)=一 3。【知识模块】 多元函数微积分学20 【正确答案】 根据题意，求曲面上的点(x，y，z)到原点的距离 d=在条件(x 一 y)2+z2=1 下达到最小值，运用拉格朗日函数法。令F(x，y，z，)=x 2+y2+z2+(x 一 y)2+z2 一 ，则有由(3)式，若 =一 1，代入(1)，(2)得解得 x=0，y=0 。代入曲面方程(x 一 y)2+z2=1，得到 z2=1，d=1。若一 1
15、，由(3) 解得 z=0。由 (1)，(2)得到 x=一 y。代入曲面方程(x 一 y)2+z2=1，得到 故所求的最短距离为 d= 。【知识模块】 多元函数微积分学21 【正确答案】 由已知条件，积分区域 D=(x，y)(x 一 1)2+(y 一 1)22，yx 。由(x 一 1)2+(y 一 1)22，得 r2(sin+cos)，于是【知识模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 将极坐标转化为直角坐标，可得积分区域如图 1418 所示。D=(x，y)0x1，0yx，【知识模块】 多元函数微积分学23 【正确答案】 D 是正方形区域(如图 1421)。因在 D 上被积函数分块表示为max
16、x2，y 2= 于是要用分块积分法，用 y=x 将 D 分成两块：D=D 1D2，D 1=Dyx，D 2=Dyx。则有【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】 令 D1=(x，y)x 2+y24，D 2=(x，y)(x+1) 2+y21(如图 1 一423 所示)。根据图象的对称性， yd=0。【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 将二重积分 xyfxy(x，y)dxdy 转化为累次积分可得 xyfxy(x，y)dxdy=01dy01xyfxy(x，y)dx。首先考虑 01xyfxy(x，y)dx，注意这里把变量 y 看作常数，故有 01xyfxy(x，y)dx=y 01x
17、dfy(x，y)=xyf y(x， y) 01 01yfy(x，y)dx=yf y(1，y)一 01yfy(x，y)dx。由 f(1， y)=f(x，1)=0 易知，f y(1，y)=f x(x，1)=0。所以01xyfxy(x，y)dx= 一 01yfy(x，y)dx。因此 xyfxy(x，y)dxdy= 01dy01xyfxy(x，y)dx= 一01dy01yfy(x，y)dx ，对该积分交换积分次序可得，一 01dy01yfy(x，y)dx= 一01dx01yfy(x，y)dy 。再考虑积分 01yfy(x，y)dy ，注意这里把变量 x 看作常数，故有01yfy(x，y)dy= 01ydf(x，y)=yf(x，y) 01 一 01f(x，y)dy=一 01f(x，y)dy，因此xyfxy(x，y)dxdy=一 01dx01yfy(x，y)dy= 01dx01f(x，y)dy= f(x，y)dxdy=a。【知识模块】 多元函数微积分学
