1、考研数学二（多元函数积分学）模拟试卷 23 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 =0，则 f(x，y)在点(0，0) 处( )（A）不连续。（B）连续但两个偏导数不存在。（C）两个偏导数存在但不可微。（D）可微。2 设函数 (x，y)=(xy)+(x 一 y)+xy xy (t)dt，其中函数 具有二阶导数，具有一阶导数，则必有( )3 设函数 z=f(x，y)的全微分为 dz=xdx+ydy，则点(0，0)( )（A）不是 f(x，y)的连续点。（B）不是 f(x，y) 的极值点。（C）是 f(x，y) 的极大值点。（D）是 f(x， y)的极小
2、值点。4 设 D 为单位圆 x2+y21， I1= (x3+y3)dxdy，I 2= (x4+y4)dxdy，I 3= (2x6+y5)dxdy，则( )（A）I 1I 2 I3。（B） I3I 1I 2。（C） I3I 2I 1。（D）I 1I 3 I2。5 累次积分 01dxx1f(x，y)dy+ 12dy02y f(x，y)dx 可写成( )（A） 02dxx2x f(x，y)dy 。（B） 01dy02y f(x，y)dx。（C） 01dxx2x f(x，y)dy。（D） 01dyy2y f(x，y)dx 。6 设 f(x)= =( )（A）1。（B） 1 一 。（C） 1+ 。（D）
3、e1。7 设有平面闭区域，D=(x，y)一 axa，xya，D 1=(x，y)0xa ，xya，则 (xy+cosxsiny)dxdy=( )二、填空题8 设 f(x，y)= 在点(0，0)处连续，则 a=_。9 设 z=z(x，y)由方程 z+ez=xy2 所确定，则 dz=_。10 设函数 z=z(x，y)由方程 z=e2x3z +2y 确定，则 =_。11 设 z=z(x，y)是由方程 xyz+ ln2 确定的隐函数，则在点(0，一 1，1)的全微分 dz=_。12 设函数 f(，)具有二阶连续偏导数 z=f(x,xy)，则 =_。13 交换积分次序 1 0dy21y f(x，y)dx=
4、_ 。14 已知极坐标系下的累次积分 I= ，其中 a0 为常数，则 I 在直角坐标系下可表示为_。15 D 是圆周 x2+y2=Rx 所围成的闭区域，则 =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设 y=y(x)， z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 F(x，y， z)=0 所确定的函数，其中 f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 。17 设 z=f(x2 一 y2，e xy)，其中 f 具有连续二阶偏导数，求 。18 设函数 =f(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式=0，确定 a，b 的值，使等式通过变换 =x+ay，=x+by 可化简为 =0
5、。19 已知 =2x+y+1， =x+2y+3，(0 ，0)=1 ，求 (x，y)及 (x，y)的极值，并问此极值是极大值还是极小值?说明理由。20 求二元函数 z=f(x，y)=x 2y(4 一 x 一 y)在直线 x+y=6，x 轴与 y 轴围成的闭区域D 上的最大值与最小值。21 求二重积分 maxxy，1dxdy，其中 D=(x，y)0x2，0y2。22 设 D=(x， y)(x 一 1)2+(y 一 1)2=2，计算二重积分 (x+y)d。23 计算二重积分 x 2+y2 一 1d，其中 D=(x，y)0x1，0y1。24 计算二重积分 x(y+1)d，其中积分区域 D 是由 y 轴
6、与曲线所围成。25 设函数 f(x)在区间0， 1上连续，且 01f(x)dx=A，求 01dxx1f(x)f(y)dy。考研数学二（多元函数积分学）模拟试卷 23 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由 =0 知 f(x，y)一 f(0，0)+2x 一y=o()(当(x ，y)(0 ，0)时)，即得 f(x，y)一 f(0，0)=一 2x+y+o()，由微分的定义可知 f(x，y)在点(0，0)处可微，故选 D。【知识模块】 多元函数微积分学2 【正确答案】 B【试题解析】 先分别求出 ，再进一步比较结果。因为 =(x+y
7、)+(x 一 y)+(x+y)一 (x 一 y)， =(x+y)一 (x 一 y)+(x+y)+(x 一 y)，于是=(x+y)+(x 一 y)+(x+y)一 (x 一 y)， =(x+y)一 (x 一 y)+(x+y)+(x 一 y)， =(x+y)+(x 一 y)+(x+y)一 (x 一 y)，可见有 ，因此正确选项为 B。【知识模块】 多元函数微积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 根据 dz=xdx+ydy 可得 =y，则又在(0，0)处，ACB 2=1 0，根据二元函数极值点的判断方法可知，(0，0) 为函数z=f(x，y)的一个极小值点。因此正确选项为 D。【知识模块】 多元函数
8、微积分学4 【正确答案】 D【试题解析】 由于积分域 D 关于两个坐标轴都对称，而 x3 是 x 的奇函数，y 3 是 y的奇函数，则 I1= (x3+y3)dxdy=0， y5dxdy=0，积分区域关于 y=x 对称，从而由轮换对称性可知 I3= (x6+y6)dxdy，由于在 D 内x1，y1，则 x6+y6x4+y4，则 0 (x6+y6)dxdy (x4+y4)dxdy，从而有，I 1I 3I 2。故选D。【知识模块】 多元函数微积分学5 【正确答案】 C【试题解析】 原积分域为直线 y=x，x+y=2 ，与 y 轴围成的三角形区域，故选C。【知识模块】 多元函数微积分学6 【正确答案
9、】 B【试题解析】 积分区域如图 145 交换积分次序 故应选 B。【知识模块】 多元函数微积分学7 【正确答案】 A【试题解析】 将闭区间 D=(x，y)一 axa，xya用直线 y=一 x 将其分成两部分 D2 和 D3，如图 l 一 48 所示，其中 D2 关于 y 轴对称，D 3 关于 x 轴对称，xy关于 x 和 y 均为奇函数，所以在 D2 和 D3 上，均有 xydxdy=0。而 cosxsiny 是关于 x 的偶函数，关于 y 的奇函数，在 D3 积分不为零，在 D2 积分值为零，因此故选项 A 正确。【知识模块】 多元函数微积分学二、填空题8 【正确答案】 0【试题解析】 因
10、为 0 xx0，利用夹逼定理知，=0。又知 f(0，0)=a，则 a=0。【知识模块】 多元函数微积分学9 【正确答案】 (y2dx+2xydy)【试题解析】 【知识模块】 多元函数微积分学10 【正确答案】 2【试题解析】 偏导数法。在 z=e2x3z +2y 的两边分别对 x，y 求偏导，z 为 x，y 的函数。【知识模块】 多元函数微积分学11 【正确答案】 2dx+dy【试题解析】 方程两边微分，有 xydz+xzdy+yzdx+ =0，将x=0，y=一 1，z=1 代入上式，得一 dx+ =0，即有 dz=2dx+dy。【知识模块】 多元函数微积分学12 【正确答案】 xf 12+f
11、2+xyf22【试题解析】 由题干可知， =f1+f2y， =xf12+f2+xyf22。【知识模块】 多元函数微积分学13 【正确答案】 12dx01x f(x，y)dy【试题解析】 由累次积分的内外层积分限可确定积分区域 D(如图 1411)：一1y0，1 一 yx2。则有 1 0dy1y 2f(x，y)dx=f(x，y)dxdy。交换积分次序 1 0dy21y f(x，y)dx=一 1 0dy1y 2f(x，y)dx=一12dx1x 0f(x， y)dy=12dx01x f(x，y)dy。【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 0adx f(x，y)dy【试题解析】 先将，表示
12、成 I= f(x，y)d，用 D 的极坐标表示 ，0racos，因此可知区域 D： 。如图 14 一 15 所示：如果按照先 y 后 x 的积分次序，则有 D：0xa ，因此可得 I=0adx f(x，y)dy。【知识模块】 多元函数微积分学15 【正确答案】 【试题解析】 圆周 x2+y2=Rx 所围成的闭区域用极坐标表示为【知识模块】 多元函数微积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 分别在 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0 的两端对 x 求导，得整理后得 解得(Fy+xfFz0)。【知识模块】 多元函数微积分学17 【正确答案】 因为由已知条
13、件可得 =2xf1+yexyf2， =一2yf1+xexyf2， =2xf11( 一 2y)+f12xe xy+exyf2+xyexyf2+yexyf21(一 2y)+f22xe xy=一 4xyf11+2(x2 一 y2)exyf12+xye2xyf22+exy(1+xy)f2。【知识模块】 多元函数微积分学18 【正确答案】 根据已知 有根据 10ab+12(a+b)+80，舍去 因此可知 a=一 2，b=一 2。【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 由 =2x+y+1，有 (x，y)=x 2+xy+x+(y)，再结合 =x+2y+3，有 x+(y)=x+2y+3，得 (y)=
14、2y+3，(y)=y 2+3y+C。于是 (x，y)=x2+xy+x+y2+3y+C。又由 (0，0)=1 得 C=1，因此 (x，y)=x 2+xy+y2+x+3y+1。【知识模块】 多元函数微积分学20 【正确答案】 先求在 D 内的驻点，即因此在 D 内只有驻点 相应的函数值为 f(2， 1)=4。再求 f(x，y)在 D 边界上的最值在 x 轴上 y=0，所以 f(x，0)=0。在 y 轴上 x=0，所以 f(0，y)=0 。在 x+y=6 上，将 y=6 一 x 代入 f(x，y)中，得 f(x， y)=2x2(x 一 6)，因此 fx=6x2 一 24x=0。得 x=0(舍)，x=
15、4。所以 y=6 一x=2。于是得驻点 相应的函数值 f(4，2)=x 2y(4 一 x 一 y) (4，2) =一 64。综上所述，最大值为 f(2，1)=4，最小值为 f(4，2)=一 64。【知识模块】 多元函数微积分学21 【正确答案】 曲线 xy=1 将区域分成两个区域 D1 和 D2+D3(如图 1 一 4 一 16)=1+2ln2+ln2。【知识模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学23 【正确答案】 记 D1=(x，y)x 2+y21，(x，y)D，D2=(x，y) x 2+y21，(x，y) D，因此【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】 引入极坐标(r，) 满足 x=rcos， y=rsin，在极坐标(r，)中积分区域 D 可表示为 D=(r，)0 ，2cosr2) ，【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 交换积分次序可得 01dxx1f(x)f(y)dy=01dy0yf(x)f(y)dx=01dx0xf(y)f(x)dy，因此，可得 01dxx1f(x)f(y)dy= 01dxx1f(x)f(y)dy+01dx0xf(x)f(y)dy= 01dx01f(x)f(y)dy= 01f(x)dx 01f(y)dy= A2。【知识模块】 多元函数微积分学
