1、考研数学二（定积分及应用）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 M cos4d，N (sin3cos 4)d，P (2sin3cos 4)d，则有( ) （A）NPM（B） MPN（C） NM P（D）PM N2 设 f() F() 0f(t)dt(0，2)，则( ) （A）（B）（C）（D）3 下列广义积分发散的是( )（A）（B）（C）（D）二、填空题4 _5 0sin(t) 2dt_ 6 _7 _8 02sind _9 _10 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 当 0 时，f()，设 g() 当 0 时，求
2、 0f(t)g(t)dt12 () sincos2ln(1t 2)dt，求 ()13 设 () 0(t) 2f(t)dt，求 ()，其中 f()为连续函数14 设 () abln(2t)dt，求 ()，其中 a0，b015 设 f()连续，且 F() 0(2t)f(t)dt证明： (1)若 f()是偶函数，则 F()为偶函数； (2)若 f()单调不增，则 F()单调不减16 设 f() 0，求 02f(1)d17 18 0ncos d19 0ncosd20 02sincosd21 设 f()C，且 f() -f()sid，求 f()22 设 f() 1 ，求 01f()d23 f() 01f
3、()d，求 01f()d24 25 26 设 f()f( ) sin，且当 0，时，f()，求 3f()d27 设28 设 yarctan(1) 2，y(0)0，求 01y()d29 (1)设 f(t) 1t d，求 01t2f(t)dt (2)设 f() 0ecostdt，求 0f()cosd30 设 f()sin 3 f()d，求 0f()d考研数学二（定积分及应用）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 M cos4d0， N (sin3cos 4)d cos4d0， P (2sin3cos 4)d cos4
4、d0， P MN ，选 D【知识模块】 定积分及应用2 【正确答案】 B【试题解析】 当 01 时，F() 0t2dt ； 当 12 时， F() 0f(t)dt 01tdt 1(2t)dt ， 故选B【知识模块】 定积分及应用3 【正确答案】 A【知识模块】 定积分及应用二、填空题4 【正确答案】 (2ln21)【试题解析】 【知识模块】 定积分及应用5 【正确答案】 2sin 22 2cos2【试题解析】 0sin(t) 2dt 0sin(t) 2dt 0sinu2(du) 0sinu2du， 原式( 0sin2du)( 0sin2dusin 2)2sin 22 2cos2【知识模块】 定
5、积分及应用6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 定积分及应用7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 定积分及应用8 【正确答案】 4【试题解析】 02sin d 0sin d 2sin d， 而0sind 0sind 0sind， 2sind 0(t)sintdt 0sintdt 0tsintdt2 3 故 02sin4【知识模块】 定积分及应用9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 定积分及应用10 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 定积分及应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 0f(t)g(t)dt 0f(u)g(u)(du
6、) 0f(u)g(u)du， (1)当0 时， 0f(t)g(t)dt 0(u)sinudu sin； (2)当 时， 0f(t)g( t)dt (u)sinudu1， 于是 0)g( t)dt【知识模块】 定积分及应用12 【正确答案】 ()2ln(1cos 2)sin2ln(1sin 2)cos【知识模块】 定积分及应用13 【正确答案】 () 20f(t)dt2 0tf(t)dt 0t2f(t)dt， () 2 0f(t)dt 2f()2 0tf(t)dt2 2f() 2f() 2 0f(t)dt2 0tf(t)dt， ()2 0f(t)dt2f()2f()2 0f(t)dt， ()2f
7、()【知识模块】 定积分及应用14 【正确答案】 () abln(t)d( t) lndu， () 2ln( 2b)2ln( 2a)2ln( 2a)2ln【知识模块】 定积分及应用15 【正确答案】 (1)设 f( )f()， 因为 F() 0 (2t)f(t)dt (2u)f(u)(du) 0(2u)f(u)duF()， 所以 F()为偶函数 (2)F() 0(2t)f(t)dt 0f(t)dt2 0tf(t)dt， F() 0f(t)dtf() f() f() ，其中 介于 0 与 之间， 当 0 时，0 ，因为 f()单调不增，所以 F()0， 当 0 时，0，因为 f()单调不增，所以
8、 F()0， 从而 F()单调不减【知识模块】 定积分及应用16 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用17 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用18 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用19 【正确答案】 0ncosd 0cosd 02cosd (n-1)ncos d， 0cosd cos d cosd 2cosd 0(t)costdt 0t costdt 0costdt 23， 23cosd 0(t2) costdt 0t cost dt 2 0costdt 5， 则 0ncosd 3(2n1)n 2【知识模块】 定积分及应用20 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用21 【
9、正确答案】 令 f()sindA，则 f() A， 于是 f()sinAsin，两边从 到 积分得【知识模块】 定积分及应用22 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用23 【正确答案】 令 f01f()dA， 对 f() 01f()d 两边积分得A A，于是【知识模块】 定积分及应用24 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用25 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用26 【正确答案】 【知识模块】 定积分及应用27 【正确答案】 因为 ， 所以原式等于arctan 【知识模块】 定积分及应用28 【正确答案】 01y()dy() 01 一 01arctan(1) 2d y(1) 0
10、1(1)arctan(1) 2d(1) 01larctan(1) 2d arctan(1) 2d(1)2 arctantdt 【知识模块】 定积分及应用29 【正确答案】 (1) 因为 f(1)0，所以 (2)0f()cosd 0f()d(sin)f()sin 0 0f()sind 0f()sind 0ecossind 0ecosd(cos) e cos 0e -1e 【知识模块】 定积分及应用30 【正确答案】 令 f()dA，则 f()sin 3A ， f()sin 3A 两边积分得 -f()d -sind -Ad 即 A sin3d2 0sin3d 0sin3d 2 sin3d ， 从而 f()sin 3 ， 故【知识模块】 定积分及应用
